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幾何学では、対称線はすべての三角形に関連付けられた3 本の特定の線です。対称線は、三角形の中線 (頂点と反対側の中点を結ぶ線) を取り、対応する角の二等分線(同じ頂点を通り、その角を半分に分ける線) でその線を反射することによって作成されます。対称線と角の二等分線によって形成される角度は、中線と角の二等分線の間の角度と同じ大きさですが、角の二等分線の反対側にあります。
3つの対称線は、ルモワーヌ点と呼ばれる三角形の中心で交わる。ロス・ホンスバーガーは、その存在を「現代幾何学の至宝の一つ」と呼んだ。[1]
等角性
幾何学では、多くの場合、三角形の頂点を通る 3 本の特別な直線、つまりセビアンを取ると、対応する角の二等分線に関するそれらの反射、つまり等角線も興味深い特性を持ちます。たとえば、三角形の 3 本のセビアンが点Pで交差する場合、それらの等角線も点で交差し、これをPの等角共役点と呼びます。
対称線はこの事実を例証します。
- 図では、中線（黒色）が重心 Gで交差しています。
- 対称中線（赤色）は中線と等角であるため、対称中線も 1 つの点Lで交差します。
この点は三角形の対称点、あるいはルモワーヌ点、グレブ点とも呼ばれます。
点線は角度の二等分線です。対称線と中線は角度の二等分線に関して対称です (そのため、「対称線」という名前が付けられています)。
対称線の構築
△ ABCを三角形とする。BとCの接線が外接円と交わる点Dを作図する。ADは△ ABCの対称線である。[2]
最初の証明。ADの∠ BACの角の二等分線を横切る反射がM'でBC と交わるとします。すると次のようになります。
2 番目の証明。D' をDの等角共役として定義します。二等分線に関するCDの反射は、 C を通りABに平行な線であることが簡単にわかります。同じことがBDにも当てはまり、したがってABD'C は平行四辺形です。AD' は明らかに中線です。平行四辺形の対角線は互いに二等分し、AD は二等分線に関する反射だからです。
3番目の証明。ω を中心D を持ちBとC を通る円とし、O を △ ABC の外心とする。直線AB、ACはそれぞれ P、Q で ω と交わるとする。∠ ABC = ∠ AQPなので、三角形△ ABCと△ AQPは相似である。
PQ はωの直径であり、したがってD を通過することがわかります。M をBCの中点とします。D はPQの中点であるため、相似性から∠ BAM = ∠ QADとなり、結果が導かれます。
4 番目の証明。Sを円弧BCの中点とします。| BS | = | SC |なので、AS は∠ BACの角の二等分線です。MをBCの中点とすると、D は外接円に対するMの逆数になります。このことから、外接円は焦点M、D を持つアポロニアン円であることがわかります。したがって、 AS は角∠ DAMの二等分線であり、目的の結果が得られました。
四面体
対称点の概念は（不規則な）四面体にも適用されます。四面体ABCD の2 つの平面P、Q、およびAB は、平面ABCおよびABDと等しい角度を形成する場合、等角共役です。Mを辺CDの中点とします。辺ABを含み、平面ABMと等角である平面は、四面体の対称面と呼ばれます。対称面は、対称点と呼ばれる点で交差することが示されています。これは、四面体の面からの二乗距離を最小にする点でもあります。[3]
参考文献
- ^ ホンスバーガー、ロス(1995)、「第 7 章: 対称点」、19 世紀および 20 世紀のユークリッド幾何学のエピソード、ワシントン DC:アメリカ数学協会。
- ^ 趙玉飛 (2010).幾何学における 3 つの補題(PDF)。 p. 5.
- ^ サデク、ジャワド;バニ・ヤグーブ、マジッド。 Rhee、Noah (2016)、「Isogonal Conjugates in a Tetrahedron」(PDF)、Forum Geometricorum、16 : 43–50。