三線座標

幾何学において、与えられた三角形に対する点の三線座標 $x : y : z$ は、三角形の3 つの辺からの相対的な方向付き距離を表します。三線座標は同次座標の一例です。比 $x$ $:$ $y$ は、点から頂点 $A$ と $Bの反対側の$ 辺(必要に応じて延長) までの垂線距離の比です。比 $y$ $:$ $z$ $は、点から頂点B$ と $C$ の反対側の辺までの垂線距離の比です。同様に、 $z$ $:$ $x$ と頂点 $C$ と $A$ についても同じです。

右の図において、示された内部点の三線座標は、実際の距離 ( $a'$ 、 $b'$ 、 $c'$ ) 、または比率形式で $ka' : kb' : kc'$ (任意の正の定数 $k$ に対して)となります。点が基準三角形の辺上にある場合、対応する三線座標は 0 です。外部点が三角形の内部から辺を挟んで反対側にある場合、その辺に関連付けられた三線座標は負の値になります。3 つの三線座標すべてが非正になることはあり得ません。

表記法

比率表記 $x:y:z$ 三線座標には、順序付き三重表記よりもがよく使用されます。 $(x,y,z),$ 後者は、方向付き距離の3つ組のために予約されている。 $(a',b',c')$ 特定の三角形に対する相対的な三線座標。 $x:y:z,$ 比率に影響を与えることなく、任意の値でスケーリングできます。括弧で囲まれたカンマ区切りの3つ組表記 $(x,y,z)$ 慣習的にこれは例えばとは異なるトリプルを表すため、混乱を招く可能性があります $(2x,2y,2z),$ しかし、これらの同等の比率 $x:y:z={}\!$ $2x:2y:2z$ 同じ点を表している。

例

三角形 $△$ $ABC$ の内心の三線座標は $1$ $: 1$ $: 1$ です。つまり、内心から辺 $BC、CA、ABまでの（方向付き）距離は、$ $($ $r$ $、$ $r$ $、$ $r$ $)$ で表される実際の距離に比例します。ここで、 $rは$ $△$ $ABC$ の内半径です。辺の長さが $a、b、c の$ 場合、次のようになります。

一般に、内心は重心とは異なります。重心の重心座標は $1 : 1 : 1$ です（これらは、三角形 $△ BGC$ 、 $△ CGA$ 、 $△ AGB$ の実際の符号付き面積に比例します。ここで、 $G$ は重心です）。

例えば、辺 $BC$ の中点は、実際の辺距離における三線座標を持つ。 $(0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})$ 三角形の面積 $Δ$ は、任意に指定された相対距離では $0 : ca : ab$ $に簡略化されます。A からBC$ への垂線の足の実際の辺距離での座標は次のとおりです $。$ $(0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),$ 純粋に相対的な距離では、これは $0 : cos C : cos B$ に単純化される。^{[ 1 ]}^{: p. 96}

公式

共線性と同時性

三線座標は、三角形の幾何学において多くの代数的手法を可能にします。例えば、3つの点 ${\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}$ 行列式が共線であるのは、行列式が共線である場合に限る。 $D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}$ ゼロに等しい。したがって、 $x : y : z$ $が変数点である場合、点P$ と $U$ を通る直線の式は $D = 0$ である。^{[ 1 ]}^{: p. 23}このことから、すべての直線は $x、y、z$ に関して同次な線形方程式を持つ。 $lx+my+nz=0$ $実係数の場合、 l : m : n が辺の長さ$ $a : b : c$ に比例しない限り、有限点の実直線となる。この場合、無限遠点の軌跡となる。^{[ 1 ]}^{: p. 40}

この命題の双対は、線が ${\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}$ 点 $(α, β, γ)で$ 一致するのは、 $D = 0$ の場合に限る。^{[ 1 ]}^{: p.28}

$また、 D$ の行列式を評価する際に実際の方向距離を用いる場合、三角形 $△ PUX$ の面積は $KD$ となり、 $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$ （そして $Δは上記のように三角形$ $△ ABC$ の面積である）三角形 $△ PUXが$ $△ ABC$ と同じ向き（時計回りまたは反時計回り）である場合、 $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$ さもないと。

平行線

三線形方程式で表される2つの直線 $lx+my+nz=0$ そして $l'x+m'y+n'z=0$ ^{並列であるのは、 [ 1 ]}^:^{p. 98、}^#xiの場合のみである。 ${\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,$ ここで $、a、b、c$ は辺の長さである。

2本の線の間の角度

三線形方程式で表される2つの直線の間の角度の正接 $lx+my+nz=0$ そして $l'x+m'y+n'z=0$ ^{[ 1 ]}^：^第48条によって規定されている。 $\pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.$

^{したがって、 [ 1 ]}^:^{第 49 条}であれば、それらは垂直である。 $ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.$

高度

頂点 $A$ から辺 $BCへの$ 高さの式は^[¹^]^：^p.98、^#xです。 $y\cos Bz\cos C=0.$

頂点からの距離で表した線

頂点 $A、B、Cからの距離が$ $p、q、rで、$ 対辺が $a、b、c$ である直線の式は^[¹^]^：^p.97、^#viiiである。 $apx+bqy+crz=0.$

実距離三線座標

座標値 $a'、b'、c'$ が辺への実際の垂直距離である三線は^{[ 1 ]}^{: p. 11を満たす。} $aa'+bb'+cc'=2\Delta$ $三角形の辺a、b、c$ と面積 $Δ$ について。これは、この記事の冒頭の図で確認できます。内部の点 $P$ が三角形 $△ ABC$ を 3 つの三角形 $△ PBC$ 、 $△ PCA$ 、 $△ PAB$ に分割し、それぞれの面積が与えられています。 ${\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.$

2点間の距離

実距離三線 $a$ $i$ $:$ $b$ $i$ $:$ $c$ $i$ を持つ2点間の距離 $dは、$ ^[¹^]^：^p.46で与えられる。 $d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C$ あるいはより対称的な方法で $d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).$

点から線までの距離

実際の距離を表す三線座標で表した点 $a'$ $:$ $b'$ $:$ $c'$ から直線までの距離 $d$ $lx+my+nz=0$ [ ¹^]^：^p.48 $d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.$

二次曲線

変数三線点 $x$ $:$ $y$ $:$ $z$ における円錐曲線の式は^[¹^]^:^p.118である。 $rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.$

線形項も定数項もありません。

半径 $r$ で中心が実距離座標 $(a', b', c')にある円の方程式は$ ^{[ 1 ]}^:^p.287である。 $(x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.$

円錐曲線

三角形の任意の外接円錐曲線の三線形座標 $x, y, z$ における方程式は^[¹^]^:^{p. 192である。} $lyz+mzx+nxy=0.$

パラメータ $l、m、n が$ それぞれ辺の長さ $a、b、c$ （またはそれらに対向する角度の正弦）に等しい場合、この式は外接円を与える。^{[ 1 ]}^{： p.199}

$それぞれの円錐外接曲線は、それぞれ固有の中心を持つ。中心がx' : y' : z'$ である円錐外接曲線の三線形座標における方程式は^{[ 1 ]}^:^{p. 203}である。 $yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.$

インコニックス

三角形に内接するすべての円錐曲線は、三線形座標で方程式で表される。 ^{[ 1 ]}^{： p.208} $l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,$ ただし、特定されていない兆候のうち、ちょうど1つまたは3つが陰性である。

内接円の式は次のように簡略化できます^{[ 1 ]}^{： p.210、p.214} $\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,$ 例えば、頂点 $Aの$ ^反対側の側線に隣接する外接円の式は^[¹^]のように書くことができる^。p.215 $\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.$

3次曲線

多くの三次曲線は三線形座標を用いて容易に表現できる。例えば、点 $X$ の $P-共役が直線$ $UX$ 上にあるような点 $Xの軌跡である、ピボット自己同共役三次曲線$ $Z (U, P)$ は、行列式によって与えられる。 ${\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.$

名前の付いた立方体 $Z (U, P)$ には、次のものがある。

トムソン立方体： $Z(X(2),X(1))$ ⁠、そこで⁠ $X(2)$ は重心であり、 $X(1)$ 中央にあります
フォイエルバッハ立方体： $Z(X(5),X(1))$ ⁠、そこで⁠ $X(5)$ フォイエルバッハポイント
ダルブー立方体： $Z(X(20),X(1))$ ⁠、そこで⁠ $X(20)$ ド・ロンシャンのポイントは
ノイベルク立方体： $Z(X(30),X(1))$ ⁠、そこで⁠ $X(30)$ ⁠はオイラーの無限遠点です。

変換

三線座標とサイドラインからの距離の間

$点の位置を示すために任意の三線座標x : y : z$ を選択した場合、その点から辺までの実際の距離は $a' = kx$ 、 $b' = ky$ 、 $c' = kz$ で与えられ、ここで $k は$ 次の式で決定できます。 $k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}$ ここで $、a、b、c$ はそれぞれ辺 $BC、CA、AB$ の長さであり、 $∆は$ $△ ABC$ の面積である。

重心座標と三線座標の間

$三線座標x : y : z$ を持つ点の重心座標は $ax : by : cz$ であり $、a、b、c$ は三角形の辺の長さです。逆に、重心 $α : β : γ$ を持つ点の三線座標は ${\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.$

デカルト座標と三線形座標の間

基準となる三角形 $△ ABC$ が与えられたとき、頂点 $Bの位置を$ デカルト座標の順序対で表し、それをベクトルとして代数的に表現します。 ${\vec {B}},$ 頂点 $C$ を原点として定義する。同様に、頂点Aの位置ベクトルを次 $の$ ように定義する。 ${\vec {A}}.$ ⁠すると、基準三角形 $△$ $ABC$ に関連付けられた任意の点 $Pは$ 、デカルト座標系においてベクトルとして定義できる。 ${\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.$ この点 $P の$ 三線座標が $x : y : z$ である場合、直交座標表現の係数 $k 1$ および $k 2$ $から三線座標への変換式は、辺の長さがa、b、c$ で、対向する頂点が $A、B、C$ の場合、次のようになります。 $x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},$ そして、三線形座標からデカルト座標表現の係数への変換式は次のようになります。 $k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.$

より一般的には、頂点のデカルト座標が既知であり、ベクトルで表される任意の原点を選択した場合、 ${\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}$ ⁠また、点 $Pの$ 三線座標が $x : y : z$ である場合、そのデカルト座標は ${\vec {P}}$ これらは、 $重心座標ax、by、cz$ を重みとして使用した、これらの頂点のデカルト座標の加重平均です $。したがって、三線形座標x、y、z$ からデカルト座標ベクトルへの変換式は次のようになります。 ${\vec {P}}$ 点の ⁠は次のように与えられます ${\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},$ 辺の長さは ${\begin{aligned}&\left|{\vec {C}}-{\vec {B}}\right|=a,\\&\left|{\vec {A}}-{\vec {C}}\right|=b,\\&\left|{\vec {B}}-{\vec {A}}\right|=c.\end{aligned}}$

参考文献

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 William Allen Whitworth ( 1866 ) Trilinear Coordinates and Other Methods of Analytical Geometry of Two Dimensions: an elementary treatise、コーネル大学歴史数学モノグラフからのリンク。

外部リンク

ワイススタイン、エリック W. 「三線形座標」 . MathWorld .
クラーク・キンバーリング著『三角形中心百科事典 - ETC』には、64,000個の三角形中心の三線座標（および重心座標）が掲載されています。

[WW-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 William Allen Whitworth ( 1866 ) Trilinear Coordinates and Other Methods of Analytical Geometry of Two Dimensions: an elementary treatise、コーネル大学歴史数学モノグラフからのリンク。

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