三角測量（測量）

測量において、三角測量とは、三辺測量のように点までの距離を直接測定するのではなく、三角法を使用して固定された基線の両端にある既知の点からの角度のみを測定することによって点の位置を決定するプロセスです。これにより、1 つの辺と 2 つの角度がわかっている三角形の 3 番目の点として点を固定できます。

三角測量は、三角測量ネットワークと呼ばれる非常に大きな三角形のシステムの正確な測量を指すこともあります。これは、1615年から1617年にかけてのウィレブロード・スネルの研究に続くもので、スネルは、既知の3点を基準とした角度から点の位置を特定する方法を示しましたが、その角度は、以前に固定された点ではなく、新しい未知の点で測定されました。これは、再交差と呼ばれる問題です。最初に適切な最大スケールの三角形のメッシュを確立すると、測量誤差が最小限に抑えられます。その後、三角形内の点はすべて、それを参照することで正確に位置を特定できます。このような三角測量方法は、1980年代に 全地球航法衛星システムが登場するまで、正確な大規模な土地測量に使用されていました。

Aと B の位置がわかっている場合、三角測量を使用して船の位置を見つけることができます。A の観測者は角度 α を測定し、 Bの観測者は角度β を測定します。

三角形の 1 辺の位置と 2 つの角度がわかれば、その頂点の位置を計算できます。次の式は、平面に対してのみ厳密に正しいものです。地球の曲率を考慮する必要がある場合は、 球面三角法を使用する必要があります。

AとBの間の距離は次式で表されます。 ${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle \ell ={\frac {d}{\tan \alpha }}+{\frac {d}{\tan \beta }}}$

三角関数の恒等式Tan α = sin α / cos α および sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin βを使用すると、これは次と等価です。

${\displaystyle \ell =d\left({\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}+{\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\right)}$

${\displaystyle \ell =d\ {\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$

したがって：

${\displaystyle d=\ell \ {\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}}$

これにより、いずれかの観測点からの未知の点の距離、観測点からの北/南および東/西のオフセット、そして最終的に完全な座標を簡単に決定できます。

今日、三角測量は測量、航海、計測、天体測定、両眼視、模型ロケット、武器の砲方向など、さまざまな目的で使用されています。

実際には、三角測量の方法は、ローマの専門測量士であるアグリメンソールによって使用されていなかったようですが、イブン・アル・サッファル（1035年没）などのアラビア語のアストロラーベに関する論文を通じて中世スペインに導入されました。 ^[1]アブ・ライハン・ビルニー（1048年没）も、地球の大きさやさまざまな場所間の距離を測定するために三角測量技術を導入しました。^[2]当時、簡略化されたローマの技術は、プロの測量士が使用するより洗練された技術と共存していたようです。しかし、そのような方法がラテン語に翻訳されることはまれであり（11世紀の幾何学のマニュアルであるGeomatria incerti auctorisはまれな例外です）、そのような技術がヨーロッパの他の地域に浸透したのはゆっくりとしたものでした。^{[1]スペインでそのような技術に対する認識と使用が高まったことは、角度を測定するために特別に使用された中世の}ヤコブの杖 によって証明されています。これは約1300年のものです。正確に測量された海岸線はポルトラン海図に記されており、現存する最古のものは 1296 年のものである。

陸上では、地図製作者ジェンマ・フリシウスが、1533年に出版した小冊子『Libellus de Locorum describendorum ratione（場所を記述する方法に関する小冊子）』の中で、地図作成の際に遠くの場所を正確に位置付けるために三角測量法を使うことを提案した。この小冊子は、ピーター・アピアンのベストセラー『コスモグラフィカ』の新版（1524年）の付録として製本された。この提案は非常に大きな影響力を持ち、この手法はドイツ、オーストリア、オランダ全土に広まった。天文学者のティコ・ブラーエはスカンジナビアでこの方法を適用し、1579年に彼の天文台が置かれていたヴェン島のエーレスンド海峡両岸の主要なランドマークを参考にした詳細な三角測量を完了し、1584年に島の土地計画を作成した。^[3] イギリスでは、ウィリアム・カニンガムの『宇宙図』（1559年）、バレンタイン・リーの『あらゆる土地の測量論』（1562年）、ウィリアム・ボーンの『航海規則』（1571年）、トーマス・ディッグスの『幾何学実務パントメトリア』（1571年）、ジョン・ノルデンの『測量士の対話』（1607年）など、 19世紀中ごろから出版された測量に関する書籍の数々にフリシウスの方法が取り入れられた。クリストファー・サクストンは1570年代の郡の地図に地物を配置するために大まかな三角測量法を使用した可能性があると言われていますが、他の説では、主要な見晴らしの良い地点から地物までのおおよその方位を取得し、推測だけで距離を推定した可能性があると考えています。^[4]

三角測量網の現代的な体系的な使用は、オランダの数学者ウィレブロード・スネルの研究に端を発しています。彼は 1615 年に、合計 33 個の三角形を含む一連の四角形を使用して、アルクマールからブレダまでの距離、およそ 72 マイル (116 km) を測量しました。スネルは距離を 3.5% 低く見積もっていました。2 つの町は子午線上で 1 度離れていたため、彼はその測定値から地球の円周の値を計算することができました。この偉業は、1617 年に出版された著書Eratosthenes Batavus (オランダのエラトステネス) のタイトルで称賛されています。スネルは、地球の曲率を考慮して平面公式を修正する方法を計算しました。また、未知の点での頂点間の角度を使用して三角形内の点の位置を再計算、つまり計算する方法も示しました。これらは、コンパスに依存する頂点の方位よりもはるかに正確に測定できました。これにより、最初にコントロール ポイントの大規模なプライマリ ネットワークを調査し、その後、そのプライマリ ネットワーク内で二次的な補助ポイントを配置するという重要なアイデアが確立されました。

スネルの方法はジャン・ピカールによって引き継がれ、彼は1669年から1670年にかけて、パリからアミアン近郊のスールドンの時計塔まで北に伸びる13個の三角形の連鎖を使用して、パリ子午線に沿って緯度1度を測量しました。機器と精度の向上により、ピカールの測定は地球の半径をかなり正確に測定した最初のものとして評価されています。次の世紀にわたって、この研究はカッシーニ家によって最も顕著に拡張されました。1683年から1718年の間に、ジャン＝ドミニク・カッシーニと息子のジャック・カッシーニは、ダンケルクからペルピニャンまでのパリ子午線全体を測量しました。 1733年から1740年にかけて、ジャックと息子のセザール・カッシーニは、子午線弧の再測量を含む、国土全体の最初の三角測量を行い、1745年に厳密な原則に基づいて作成された最初のフランスの地図を出版しました。

三角測量法は、地方の地図作成にはこの頃には十分に確立されていたが、他の国々が国全体の地図を作成するために詳細な三角測量ネットワーク調査を確立し始めたのは、18 世紀末になってからであった。イギリスの主要三角測量は、 1783 年に陸地測量部によって開始されたが、完了したのは 1853 年であった。また、最終的にエベレスト山とその他のヒマラヤ山脈の山々に名前を付け、地図を作成したインドの大三角測量は、 1801 年に開始された。ナポレオン時代のフランスでは、フランスの三角測量は1801 年からジャン＝ジョゼフ・トランショによってドイツのラインラントにまで拡張され、その後、1815 年以降にプロイセンの将軍カール・フォン・ミュッフリングによって完了された。一方、数学者カール・フリードリヒ・ガウスは、1821年から1825年にかけてハノーバー王国の三角測量（ガウス測量法 [de]）を委託され、その際に最小二乗法を適用して、未知数よりも多くの現実世界の測定値が与えられた大規模な連立方程式の問題に最適な解を見つけました。

現在、測位のための大規模な三角測量網は、1980年代以降に確立された全地球航法衛星システムに大部分取って代わられていますが、初期の測量の基準点の多くは、グレートブリテンの再三角測量（1936年～1962年）のために設置されたコンクリートの三角測量柱や、現在ユネスコ世界遺産に登録されているシュトルーヴェ測地弧（1816年～1855年）のために設置された三角測量点など、景観の中に貴重な歴史的特徴として今も残っています。

• 英仏調査（1784-1790）
• ビルビータワー
• 大三角測量
• マルチラテレーション、他の既知のポイント間の到着時間差を使用してポイントを計算する
• 視差
• 切除（方向）
• ソケットセット
• 球面三角法
• 恒星の三角測量
• 立体視
• 三角点

• Bagrow, L. (1964)地図学の歴史; RA Skelton による改訂・増補。ハーバード大学出版局。
• Crone, GR (1978 [1953])地図とその作成者: 地図作成の歴史入門(第 5 版)。
• トゥーリー、RV & ブリッカー、C. (1969)地図学の歴史: 2500 年の地図と地図製作者
• Keay, J. (2000) 『The Great Arc: The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Named』 ロンドン: Harper Collins ISBN 0-00-257062-9。 
• マーディン、P . (2009)栄光の子午線：地球測定競争における危険な冒険。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-75533-5。