バイタンジェント

幾何学において、曲線Cの複接線とは、 2 つの異なる点PとQでC に接し、これらの点においてCと同じ方向を持つ直線L のことです。つまり、L はPとQにおける接線です。

一般に、代数曲線には、無限の数の割線がありますが、有限の数の従接線しかありません。

ベズーの定理は、双接線を持つ代数平面曲線の次数は少なくとも 4 でなければならないことを示しています。四次曲線の 28 個の双接線の例は 19 世紀の有名な幾何学であり、立方体表面の 27 本の直線との関係が示されました。

2 つの互いに交わらない凸多角形の 4 つの従接線は、バイナリ検索に基づくアルゴリズムによって効率的に見つけることができます。このアルゴリズムでは、各多角形の辺のリストにバイナリ検索ポインターを保持し、2 つのポインターでの辺の接線がどこで交差するかに応じて、各ステップでポインターの 1 つを左または右に移動します。この従接線の計算は、凸包を 動的に維持するためのデータ構造の重要なサブルーチンです (Overmars & van Leeuwen 1981)。Pocchiola と Vegter (1996a、1996b) は、疑似三角測量に基づく手法を使用して、複数の互いに交わらない凸曲線のシステムで他のどの曲線とも交差しないすべての従接線セグメントを効率的にリストするアルゴリズムについて説明しています。

ユークリッド最短経路問題を解決する可視性グラフアプローチを高速化するために、二重接線を使用できます。多角形の障害物の集合における最短経路は、その二重接線のいずれかに沿ってのみ障害物の境界に出入りできるため、二重接線上にある可視性エッジによって形成される可視性グラフのサブグラフにダイクストラのアルゴリズムを適用することで、最短経路を見つけることができます(Rohnert 1986)。

二重接線は、交差する 2 つの点で曲線と交差する可能性がある点で、割線とは異なります。直線ではない二重接線も考えられます。たとえば、曲線の対称セットは、 2 つの点で曲線に接する円の中心の軌跡です。

円のペアに対する二重接線は、ヤコブ・シュタイナーが1826年に構築したマルファッティの円、2つの滑車を結ぶベルトの長さを計算するベルト問題、共通の接円を持つ4つの円の集合を特徴付けるケーシーの定理、および特定の二重接線の交点の共線性に関する モンジュの定理で重要な役割を果たしている。

• Overmars, MH ; van Leeuwen, J. (1981)、「平面における構成の維持」、Journal of Computer and System Sciences、23 (2): 166–204、doi :10.1016/0022-0000(81)90012-X、hdl : 1874/15899。
• Pocchiola, Michel; Vegter, Gert (1996a)、「可視性複合体」、International Journal of Computational Geometry and Applications、6 (3): 297–308、doi :10.1142/S0218195996000204、第9回ACMシンポジウム計算幾何学(1993) 328–337の予備版]。、2006-12-03にオリジナルからアーカイブ、 2007-04-12に取得。
• ポッキオラ、ミシェル; ヴェグター、ゲルト (1996b)、「擬似三角測量によるトポロジカルスイープ可視性複体の計算」、離散および計算幾何学、16 (4): 419–453、doi : 10.1007/BF02712876。
• Rohnert, H. (1986)、「凸多角形障害物のある平面における最短経路」、Information Processing Letters、23 (2): 71–76、doi :10.1016/0020-0190(86)90045-1。