測度保存力学系

数学において、測度保存力学系は、力学系の抽象的な定式化、特にエルゴード理論における研究対象である。測度保存系はポアンカレ再帰定理に従い、保存系の特殊な場合である。これらは、幅広い物理系、特に古典力学の多くの系（特にほとんどの非散逸系）や熱力学的平衡状態にある系の形式的、数学的基礎を提供する。

測度保存力学系は、確率空間と、その上の測度保存変換として定義される。より詳細には、それはシステムである^{[ 1 ]}

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

以下の構造を持つ：

• ${\displaystyle X}$集合です。
• $\displaystyle {\mathcal {B}}}$は上のσ代数である${\displaystyle X}$、
• ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]} は確率測度なので、${\displaystyle \mu (X)=1}$、 そして${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$、
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$は、尺度を保持する測定可能な変換です。${\displaystyle \mu }$つまり、${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$。

測度保存変換が逆変換を用いて定義される理由について疑問が生じるかもしれない。${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$順変換の代わりに${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$これは直感的に理解できる。

単位区間における典型的な尺度について考えてみましょう。${\displaystyle [0,1]}$そして地図${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ if }}x<1/2\\2x-1{\text{ if }}x>1/2\\\end{cases}}}$これはベルヌーイ写像です。次に、単位区間に均一な塗料の層を塗布します。${\displaystyle [0,1]}$そしてペイントを前方にマッピングします。${\displaystyle [0,1/2]}$半分は全体に薄く広がっている${\displaystyle [0,1]}$、そして${\displaystyle [1/2,1]}$半分の厚みでも同じ効果が得られます。薄い塗料を2層重ねることで、全く同じ塗料の厚みを再現できます。

より一般的には、塗料はサブセットに到達するだろう${\displaystyle A\subset [0,1]}$サブセットから${\displaystyle T^{-1}(A)}$塗膜の厚さを一定に保つ（測定値を維持する）ためには、供給される塗膜の質量を一定に保つ必要がある。${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$。

マッピングを考えてみましょう$\displaystyle {\mathcal {T}}}$冪集合の：

$\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

ここで地図の特殊なケースを考えてみましょう。$\displaystyle {\mathcal {T}}}$交差、和集合、補集合を保持する（つまり、ボレル集合の写像である）だけでなく、${\displaystyle X}$に${\displaystyle X}$（保守的であることを望むため）。このような保守的でボレル保存的な写像はすべて、何らかの全射写像によって指定できる。${\displaystyle T:X\to X}$書くことによって$\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$もちろん、定義することもできます$\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$しかし、これだけではそのような可能なマップをすべて指定するには不十分です。$\displaystyle {\mathcal {T}}}$つまり、保守的でボレル保存型の地図$\displaystyle {\mathcal {T}}}$一般的に、次の形式では書けない$\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$。

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$はプッシュフォワードの形をとるが、${\displaystyle \mu (T(A))}$は一般的にプルバックと呼ばれます。力学系のほぼすべての特性と挙動は、プッシュフォワードによって定義されます。たとえば、転送演算子は変換マップのプッシュフォワードによって定義されます。${\displaystyle T}$; 測定${\displaystyle \mu }$これは不変測度として理解できます。これは、転送演算子のフロベニウス・ペロン固有ベクトルです（フロベニウス・ペロン固有ベクトルは行列の最大の固有ベクトルであることを思い出してください。この場合、固有値が1である固有ベクトル、つまり不変測度です）。

興味深い分類問題が 2 つあります。 1 つは以下で説明するように、${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$そして、変換マップの同型類について質問します。${\displaystyle T}$他方は転送演算子で説明されているように修正します。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$そして${\displaystyle T}$そして地図について尋ねる${\displaystyle \mu }$これらは測度のような性質を持つ。測度のような性質とは、ボレル特性を保持するが、もはや不変ではないという意味である。一般に散逸的であるため、散逸系や平衡状態への経路についての洞察を与えてくれる。

物理学の観点から言えば、測度保存力学系${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$多くの場合、熱力学的平衡など、平衡状態にある物理システムを表します。では、どのようにしてその状態になったのでしょうか？多くの場合、その答えは、撹拌、混合、乱流、熱平衡化、またはその他の同様のプロセスによるものです。変換マップ${\displaystyle T}$この撹拌、混合などを説明すると、システムは${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$過渡モードがすべて減衰した後、残るのは だけです。過渡モードとは、伝達演算子の固有値が 1 未満である固有ベクトルのことです。不変測度${\displaystyle \mu }$は減衰しない唯一のモードです。過渡モードの減衰率は、その固有値（の対数）で与えられます。固有値1は半減期が無限大であることを示します。

物理学におけるミクロカノニカルアンサンブルは、非公式な例を提供する。例えば、幅、長さ、高さがそれぞれ の箱の中の流体、気体、またはプラズマを考えてみよう。${\displaystyle w\times l\times h,}$から構成される${\displaystyle N}$原子。その箱の中の単一の原子はどこにでも存在し、任意の速度を持つ可能性があります。それは、${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$与えられたコレクション${\displaystyle N}$原子は空間内のどこか一点に存在することになる${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$「アンサンブル」とは、そのような点の集合、すなわち、そのような可能なボックスの集合（その数は非可算無限）の集合である。このすべての可能なボックスのアンサンブルは空間である。${\displaystyle X}$その上。

理想気体の場合、${\displaystyle \mu }$これはマクスウェル・ボルツマン分布によって与えられる。これは積測度であり、もし${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$原子の確率は${\displaystyle i}$位置と速度を持つ${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$では、${\displaystyle N}$原子の場合、確率は${\displaystyle N}$これらのうちの1つ。この尺度はアンサンブルに適用されるものと理解されています。例えば、アンサンブル内の可能なボックスの1つには、すべての原子がボックスの片側に集中しているとします。マックスウェル・ボルツマン尺度で、この可能性を計算することができます。それは非常に小さく、オーダーになります。${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$ アンサンブルに含まれるすべての可能なボックスの中で、これは途方もなく小さな割合です。

これが「非公式な例」である唯一の理由は、遷移関数を書き出すことが${\displaystyle T}$計算は難しく、たとえ書き出したとしても、それを用いて実用的な計算を行うのは困難である。粒子同士の相互作用、例えばファンデルワールス力や液体またはプラズマに適したその他の相互作用が存在する場合、困難はさらに増す。そのような場合、不変量はもはやマクスウェル・ボルツマン分布ではなくなる。物理学の真髄は、妥当な近似を見つけることにある。

このシステムは、測度保存力学系の分類における重要な概念の一つを示しています。それは、温度が異なる2つのアンサンブルは等価ではないということです。与えられた正準アンサンブルのエントロピーはその温度に依存します。物理システムとして、温度が異なればシステムも異なることは「明らか」です。これは一般に成り立ち、エントロピーが異なるシステムは同型ではありません。

上記の非公式な例とは異なり、以下の例は十分に明確に定義され、扱いやすいため、明示的で形式的な計算を実行できます。

• μは単位円上の正規化された角度尺度dθ/2πであり、Tは回転である。等分配定理を参照。
• ベルヌーイ方式​
• 区間交換変換;
• 適切な尺度の定義、有限型の部分シフト。
• ランダム力学系の基底流。
• 閉じた連結な滑らかな多様体の接束上のハミルトニアンベクトル場の流れは、リウヴィルの定理（ハミルトニアン）により、 （シンプレクティック体積形式によってボレル集合に誘導される測度を用いて）測度保存的である。 ^{[ 2 ]}
• 特定の写像とマルコフ過程に対して、クリロフ・ボゴリューボフの定理は、測度保存力学系を形成するための適切な測度の存在を確立する。

測度保存力学系の定義は、T がシステムのダイナミクスを与えるために反復される単一の変換ではなく、代わりにs ∈ Z (または R 、またはN ∪ {0}、または [0, +∞)) でパラメータ化された変換T _s : X → Xのモノイド(または群、この場合、与えられた確率空間に対する群の作用がある)である場合に一般化できます。ここで、各変換T _{s は}上記のTと同じ要件を満たします。^{[ 2 ]}特に、変換は次の規則に従います。 

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$X上の恒等関数。
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$すべての用語が明確に定義されている場合。
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$すべての用語が明確に定義されている場合。

以前のより単純なケースは、s ∈ Nに対してT _s = T ^sと定義することでこの枠組みに適合します。

準同型写像と同型写像の概念を定義することができる。

2つの力学系を考える${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$そして${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$マッピング

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

動的システムの準同型写像とは、以下の3つの性質を満たす写像のことである。

1. 地図${\displaystyle \varphi \ }$測定可能である。
2. 各${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$1つは${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$。
3. のために${\displaystyle \mu }$ほぼすべて${\displaystyle x\in X}$1つは${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$。

システム${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$は、​${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$。

地図${\displaystyle \varphi \;}$さらに別の写像が存在する場合、それは力学系の同型写像である。

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

これも準同型であり、

1. のために${\displaystyle \mu }$ほぼすべて${\displaystyle x\in X}$1つは${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$;
2. のために${\displaystyle \nu }$ほぼすべて${\displaystyle y\in Y}$1つは${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$。

したがって、力学系とその準同型写像のカテゴリーを形成することができる。

点x ∈ Xは、その点の軌道が測度に従って一様に分布している場合、一般点と呼ばれます。

動的システムを考える${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$、Q = { Q ₁ , ..., Q _k }をXをk個の可測な互いに素な集合に分割したものとする。点x ∈ Xが与えられたとき、明らかにx はQ _iの 1 つにのみ属する。同様に、反復点T ⁿ x も、いずれかの部分にのみ属することができる。分割Qに関して、 xの記号名は、次の整数列 { a _n }である。

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

分割に関する記号名の集合を、力学系の記号力学と呼ぶ。分割Qは、μ ほぼすべての点x が一意の記号名を持つ場合、生成分割または生成分割と呼ばれる。

分割 Q = { Q ₁ , ..., Q _k } と力学系が与えられた場合${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$QのTプルバックを次のように定義する。

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

さらに、2つの分割Q = { Q ₁ , ..., Q _k }とR = { R ₁ , ..., R _m }が与えられた場合、それらの細分化を次のように定義する。

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

これら２つの構成要素により、反復プルバックの精緻化は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

これは、力学系の測度論的エントロピーの構築において重要な役割を果たす。

パーティションのエントロピー${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$^{[ 3 ] [ 4 ]}と定義される

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

力学系の測度論的エントロピー${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$分割Q = { Q ₁ , ..., Q _k }に関して、次のように定義されます。

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

最後に、コルモゴロフ・シナイ計量または力学系の測度論的エントロピーについて述べる。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$は次のように定義される。

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

ここで上限は、すべての有限可測分割について取られます。1959 年のYakov Sinaiの定理は、上限が実際には生成元である分割上で得られることを示しています。したがって、たとえば、ほとんどすべての実数が一意の二進展開を持つため、ベルヌーイ過程のエントロピーは log  2です。つまり、単位区間を区間[ 0, 1/2 )と [1/2, 1] に分割できます。すべての実数xは 1/2 より小さいかそうでないかのどちらかです。同様に、2 ⁿ xの小数部分も同様です。  

空間Xがコンパクトで位相を備えている場合、または距離空間である場合、位相エントロピーも定義できる。

もし${\displaystyle T}$はエルゴード的で、区分的に拡大し、マルコフ的である。${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$、 そして${\displaystyle \mu }$がルベーグ測度に関して絶対連続である場合、ロクリンの公式^{[ 5 ]}（第4.3節および第12.3節^{[ 6 ]}）が得られます。$${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$これにより、ロジスティック写像など、多くの区間写像のエントロピーを計算することが可能になります。

エルゴード的とは${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$暗示する${\displaystyle A}$完全尺度またはゼロ尺度を持つ。区分的に拡張され、マルコフであるということは、分割が存在することを意味する。${\displaystyle X}$有限個の開区間に分割し、ある値に対して${\displaystyle \epsilon >0}$、${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$各開区間において。マルコフとは、各${\displaystyle I_{i}}$これらの開いた間隔から、${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$または${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$。

測度保存系の研究における主要な活動の一つは、それらの性質に基づく分類である。すなわち、${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$を測度空間とし、${\displaystyle U}$測度保存システムの集合とする${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$同型写像 ${\displaystyle S\sim T}$2つの変換${\displaystyle S,T}$同値関係を定義する${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$目標は、その関係を記述することです${\displaystyle {\mathcal {R}}}$分類定理は数多く得られていますが、興味深いことに、反分類定理も数多く発見されています。反分類定理は、同型類は可算個より多く存在し、可算量の情報では同型を分類するには不十分であると述べています。^{[ 7 ] [ 8 ]}

ヒョルトによる最初の反分類定理は、もし${\displaystyle U}$弱い位相を備えている場合、集合は${\displaystyle {\mathcal {R}}}$はボレル集合ではない。^{[ 9 ]}他にもさまざまな反分類結果がある。例えば、同型性をカクタニ同値に置き換えると、各エントロピー型の非カクタニ同値なエルゴード的測度保存変換が非可算個存在することが示される。^{[ 10 ]}

これらは分類定理とは対照的である。これらには以下が含まれる。

• 純粋な点スペクトルを持つエルゴード的測度保存変換が分類されている。^{[ 11 ]}
• ベルヌーイシフトは、その計量エントロピーによって分類されます。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}詳しくはオルンシュタイン理論を参照してください。

• クリロフ・ボゴリューボフの定理– 力学系における不変測度の存在に関する2つの定理のうちの1つ 
• ポアンカレの再帰定理– 特定の力学系は最終的に初期状態に戻る（または近似する） 

• マイケル・S・キーン、「エルゴード理論と有限型のサブシフト」（1991年）、ティム・ベッドフォード、マイケル・キーン、キャロライン・シリーズ編『エルゴード理論、記号力学、双曲空間』第2章として掲載。オックスフォード大学出版局、オックスフォード（1991年）。ISBN 0-19-853390-X（解説的な導入部、演習問題、豊富な参考文献を掲載。）
• Lai-Sang Young、「力学系におけるエントロピー」（pdf、ps ） 、Andreas Greven、Gerhard Keller、Gerald Warnecke編 『エントロピー』第16章として掲載。プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州（2003年） 。ISBN 0-691-11338-6
• T. Schürmann および I. Hoffmann、「n 単体内の奇妙なビリヤードのエントロピー」、 J. Phys. A 28(17)、5033 ページ、1995 年。PDF文書(測度保存力学系のより複雑な例を示しています。)