平均滞在時間

誰かが窓口でチケットを買うために列に並んでいると想像してみてください。1分後、後ろに並んでいる客の数を観察することで、その人は単位時間（1分）あたりにシステム（この場合は待ち列）に入ってくる客の数を推定できます。前に並んでいる客の数をこの客の「流れ」で割ることで、窓口にたどり着くまでの待ち時間を推定できます。

形式的には、待ち行列を、粒子（顧客）が流入するシステムSとみなし、「チケットを購入する」というプロセスによって粒子がシステムから流出すると考える。この待ち時間は一般に通過時間と呼ばれる。リトルの定理を一度適用すると、 S内の定常状態における粒子の期待値は、 Sへの粒子流入量に平均通過時間を掛けたものに等しくなる。同様の定理は他の分野でも発見されており、生理学では以前はスチュワート・ハミルトン方程式の一つとして知られていた（臓器の血液量を推定するために用いられる）。

ユークリッド空間における有限体積の閉じた領域の形をしたシステムSを考えます。さらに、 Sに「等価な」粒子の流れ（単位時間あたりの粒子数）がある状況を考えます。各粒子はS内にいる間は自身の同一性を保持し、最終的には有限時間後に不可逆的にシステムから離れます（つまり、これらの粒子にとってシステムは「開いている」状態です）。

上の図は、そのような単一の粒子の思考運動履歴を示しています。この粒子はサブシステムsに出入りを3回繰り返し、その都度、通過時間、すなわちサブシステムへの進入から退出までの滞在時間が発生します。これらの通過時間の合計が、その粒子にとってのサブシステムsの滞在時間となります。粒子の運動を同一の確率過程の実現とみなすならば、この滞在時間の平均値について語ることは有意義です。つまり、サブシステムの平均滞在時間とは、粒子がサブシステムsから完全に離脱するまでに、そのサブシステムs内で過ごすと予想される合計時間です。

この量の実際的な意義を理解するには、物理​​法則として、Sへの粒子の流れが一定であり、他のすべての関連要因が一定に保たれている場合、Sは最終的に定常状態（すなわち、 S内のあらゆる場所で粒子の数と分布が一定）に達することを理解する必要があります。すると、サブシステムs内の定常状態の粒子数は、システムSへの粒子の流れにサブシステムの平均滞在時間を掛けたものに等しいことが示されます。これは、上でリトルの定理と呼ばれたもののより一般的な形式であり、質量-時間等価性と呼ばれるかもしれません。

（ sにおける期待定常状態量）＝（Sへの流入量）（ sの平均滞在時間）

これは占有原理とも呼ばれ（この場合、平均滞在時間は占有率と呼ばれる）、この質量と時間の等価性は、個々の臓器の代謝を研究する医学分野で応用されている。

これは、待ち行列理論においてリトルの定理と呼ばれるものの一般化であり、システム全体Sにのみ適用され（質量時間等価性のように任意のサブシステムには適用されない）、リトルの定理における平均滞在時間は平均通過時間と解釈できる。

上記の図の説明からも明らかなように、滞在時間と通過時間という2つの量には根本的な意味の違いがあります。質量と時間の等価性の一般性は、滞在時間という概念の特別な意味に大きく起因しています。システム全体を考慮すると（リトルの法則のように）、滞在時間は常に通過時間と等しくなります。

応用例：

1) 待ち行列理論：待ち行列システムでは、顧客またはジョブがシステムまたは特定の待ち行列で費やす平均時間に相当します。

2) 物理学: 分子動力学におけるポテンシャル井戸やエネルギー障壁での捕捉時間を記述するために使用されます。

3) マルコフ連鎖：システムが遷移する前に過渡状態にある時間を記述します。