ショケ理論

数学において、ギュスターヴ・ショケにちなんで名付けられたショケ理論は、凸集合Cの極点に台を持つ測度を扱う関数解析および凸解析の分野である。大まかに言えば、Cのすべてのベクトルは極点の加重平均として現れるはずであり、この概念は、凸結合からの加重平均の概念を極点の集合E上の積分に一般化することによってより正確になる。ここでCは実ベクトル空間Vの部分集合であり、この理論の主な目的は、Vが有限次元の場合と同様の方法で無限次元 (局所的に凸なハウスドルフ)位相ベクトル空間である場合を扱うことである。ギュスターヴ・ショケの主な関心はポテンシャル理論にあった。ショケ理論は、特に凸錐をその極線によって決定されるものとして扱うための一般的なパラダイムとなり、数学における正値性のさまざまな概念にも適用されている。

線分の両端は、その間の点を決定します。ベクトルで表すと、 vからwまでの線分はλ v + (1 − λ) w (0 ≤ λ ≤ 1) で構成されます。ヘルマン・ミンコフスキーの古典的な結果によれば、ユークリッド空間では、有界な閉じた凸集合Cはその極点集合Eの凸包であり、 C内の任意のcはEの点eの(有限)凸結合です。ここで、E は有限集合または無限集合です。ベクトルで表すと、 E内のe (ほとんどすべて0) に非負の重みw ( e )を割り当てることで、 C内の任意のc を次のように 表すことができます。$${\displaystyle c=\sum _{e\in E}w(e)e\ }$$ と $${\displaystyle \sum _{e\in E}w(e)=1.\ }$$

いずれにせよ、w ( e )はEの有限部分集合上に台を持つ確率測度を与える。C上の任意のアフィン関数fについて、点cにおけるその値は $${\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e)。}$$

無限次元の設定においても、同様の主張をしたい。

チョケの定理は^{[ 1 ] [ 2 ]}局所凸位相ベクトル空間Vのコンパクト凸距離化可能な部分集合Cに対して、C内のcが与えられたとき、 Cの極点の集合E上に台を持つC上の確率測度w が存在し、C上の任意のアフィン関数fに対して、

${\displaystyle f(c)=\int f(e)dw(e)。}$

実際には、V はバナッハ空間である可能性があるが、多くの重要なケースではVはバナッハ空間ではなく、V が弱 * 位相を持つ場合のように、V自体が距離化可能でない可能性さえある。オリジナルのクライン・ミルマンの定理は、ショケの結果から導かれる。もう 1 つの系は、距離化可能なコンパクト ハウスドルフ空間上の連続関数上の状態に対するリース表現定理である。

より一般的には、 C が距離化できない場合、Choquet–Bishop–de Leeuw の定理^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}は、極点を含まないCのBaire 部分集合上でゼロになる確率測度を持つ同様の表現を与えます。

与えられた点cを表す極境界上に定義された確率測度の存在に加えて、そのような測度の一意性も考慮する必要がある。有限次元の設定においても一意性が成り立たないことは容易にわかる。反例として、凸集合をR ^3の立方体または球とすることができる。しかし、凸集合が有限次元単体である場合は一意性が成り立つ。有限次元単体は、チョケ単体の特殊な場合である。チョケ単体内の任意の点は、極点上の一意の確率測度によって表される。

• カラテオドリの定理– 集合 P の凸包内の点は、P 内の d+1 個の点の凸結合である。 
• ヘリーの定理– d次元凸集合の交差に関する定理 
• クライン＝ミルマンの定理– 空間がその極点の閉じた凸包に等しい場合について 
• 凸性に関するトピック一覧
• シャプレー・フォークマンの補題– ベクトルの集合の和はほぼ凸である 

• Asimow, L.; Ellis, AJ (1980).凸性理論とその関数解析への応用. ロンドン数学会モノグラフ. 第 16巻. ロンドン-ニューヨーク: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. pp.  x+266. ISBN 0-12-065340-0. MR 0623459 . 
• Bourgin, Richard D. (1983).ラドン・ニコディム特性を持つ凸集合の幾何学的側面. Lecture Notes in Mathematics. Vol.  993. Berlin: Springer-Verlag. pp.  xii+474. ISBN 3-540-12296-6MR 0704815 .​ 
• フェルプス、ロバート R. (2001)。ショケの定理についての講義。数学の講義ノート。 Vol.  1757 年 (1966 年版の第 2 版)。ベルリン: Springer-Verlag。 pp.viii  +124。ISBN 3-540-41834-2. MR 1835574 . 
• 「ショケ単体」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]