等分配定理

数学において、等分配定理とは、数列

a、 2 a、 3 a、 ... 1 を法として

無理数aのとき、は円上に均一に分布します。これは、正規化された角度測度を取るエルゴード定理の特殊なケースです。 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mu ={\frac {d\theta }{2\pi }}}$

この定理は 1909 年と 1910 年にヘルマン・ワイル、ヴァツワフ・シェルピンスキー、ピアーズ・ボールによって別々に証明されましたが、この定理の変種は今日まで研究され続けています。

1916 年、ワイルは数列a , 2 ² a , 3 ² a , ... mod 1 が単位区間で一様分布していることを証明しました。1937 年、イヴァン・ヴィノグラードフは数列p _n a mod 1 が一様分布していることを証明しました。ここでp n は n 番目の_素数です。ヴィノグラードフの証明は、十分に大きい奇数はすべて 3 つの素数の和であるという奇数のゴールドバッハ予想の副産物でした。

ジョージ・バーコフは1931年に、アレクサンドル・ヒンチンは1933年に、ほぼすべてのxに対して一般化x  +  naが単位区間の任意のルベーグ測定可能部分集合上で等分布することを証明した。ワイルとヴィノグラドフの結果に対応する一般化は、1988年に ジャン・ブルガンによって証明された。

具体的には、キンチンは、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+ka){\bmod {1}}) =\int _{0}^{1}f(y)\,dy}$

はほぼすべてのxと任意のルベーグ積分関数ƒに対して成立する。現代の定式化では、どのような条件下で恒等式が成立するかが問われている。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+b_{k}a){\bmod { 1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy}$

一般的なシーケンス b _kが与えられた場合、成立する可能性があります。

注目すべき結果の 1 つは、数列 2 ^k a  mod 1 がほぼすべての無理数 a に対して均一に分布しているが、すべてではないということです。同様に、数列 b k = 2 k a については、すべての無理数 a とほぼすべての x に対して、その和_が 発散^する関数ƒが存在します。この意味で、この数列は普遍的に悪い平均化数列であると考えられており、一方b _k  =  kは後者の欠点がないため 普遍的に良い平均化数列と呼ばれています。

強力な一般的な結果はワイルの基準であり、これは、等分布が、数列を指数として形成される指数和の非自明な推定値を持つことと同等であることを示しています。a の倍数の場合、ワイルの基準は問題を有限幾何級数を合計することに簡略化します。

• ディオファントス近似
• 矛盾の少ないシーケンス
• ディリクレの近似定理
• 3ギャップ定理

• P. Bohl、(1909) Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes 問題、J. reine angew。数学。 135、189–283ページ。
• ワイル、H. (1910)。 「Über die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene」。パレルモのレンディコンティ デル チルコロ マテマティコ。330 : 377–407。土井：10.1007/bf03014883。S2CID  122545523。
• W. シェルピンスキー、(1910)確実なソンムの漸近的価値、ブル国際空港。アカド。科学ポロネーズ。 et des Lettres (Cracovie)シリーズ A、9 ～ 11 ページ。
• ワイル、H. (1916)。 「Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins」。数学。アン。77 (3): 313–352。土井：10.1007/BF01475864。S2CID  123470919。
• バーコフ、 GD (1931)。「エルゴード定理の証明」。Proc . Natl. Acad. Sci. USA . 17 (  12 ): 656–660。Bibcode : 1931PNAS ...17..656B。doi : 10.1073/ pnas.17.12.656。PMC 1076138。PMID 16577406。 
• やあ。キンチン、A. (1933)。 「ツア・バーコフのエルゴデンスの問題」。数学。アン。107 : 485–488。土井：10.1007/BF01448905。S2CID  122289068。

• Joseph M. Rosenblatt と Máté Weirdl、「調和解析による点ごとのエルゴード定理」 (1993) は、Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis、1993 Alexandria Conference Proceedings (1995) Karl E. Petersen と Ibrahim A. Salama編、Cambridge University Press、Cambridge、ISBN 0-521-45999-0に掲載されています。 (単位区間上のシフト マップの等分布定理の一般化のエルゴード特性に関する広範な調査。Bourgain によって開発された方法に焦点を当てています。) 
• エリアス・M・スタイン、ラミ・シャカルチ『フーリエ解析入門』(2003年) プリンストン大学出版、pp 105-113 (フーリエ解析に基づくワイルの定理の証明)