量子エルゴード性

数理物理学の一分野である量子カオスにおいて、量子エルゴード性とは、初期条件に対する指数関数的な感度という意味でカオス的である古典力学系の量子化の特性である。量子エルゴード性とは、大まかに言えば、高エネルギー極限において、量子化されたエルゴードハミルトニアンのエネルギー固有状態に関連付けられた確率分布が、古典的な位相空間で一様分布になる傾向があることを述べている。これは、エルゴード系の流れが位相空間で等分布しているという直感と一致する。対照的に、古典的な完全に積分可能な系は一般に位相空間で周期軌道を持ち、これは固有状態の高エネルギー極限でさまざまな方法で示され、通常、半古典的な極限で何らかの形の集中が発生する。 ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

ハミルトニアンのモデルケースは、コンパクトなリーマン多様体の余接束上の測地線ハミルトニアンである。測地線フローの量子化は、シュレーディンガー方程式の基本解によって与えられる。

${\displaystyle U_{t}=\exp(it{\sqrt {\Delta }})}$

ここで、 はラプラス・ベルトラミ演算子の平方根です。Shnirelman 1974、Zelditch、Yves Colin de Verdièreによる量子エルゴード性定理は、測地線フローのもとで単位接線バンドルがエルゴードであるコンパクト リーマン多様体は、ラプラスのn番目の固有関数に関連付けられた確率密度が、自然密度 が 1 である自然数のサブセット内でn → ∞のときに単位余接バンドル上の一様分布に弱く傾向するという意味でエルゴードでもあると述べています。量子エルゴード性は、古典エルゴード性 ( T. Sunada )の非可換類似物として定式化できます。 ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

古典的カオス系はエルゴードでもあるため、その軌道のほとんどすべてが、最終的にはアクセス可能な位相空間全体を均一に探索することになります。したがって、エルゴード性の概念を量子領域に置き換えると、量子カオス系の固有状態が、半古典的極限 で量子位相空間を均等に（ランダムな変動を除いて）満たすと仮定するのが自然です。Shnirelman、 Zelditch、およびYves Colin de Verdièreの量子エルゴード性定理は、演算子の期待値が半古典的極限で、対応するミクロカノニカル古典的平均に収束することを証明しています。ただし、量子エルゴード性定理では、 のように固有関数が深刻な穴を伴ってまばらになり、位相空間のエネルギー多様体にマクロではない大きなギャップが残る可能性が残っています。特に、この定理は、マクロ的に非エルゴードな状態のサブセットの存在を許容するが、その一方で、このサブセットは必ずゼロ測度に近づく、つまり、このセットの寄与は、すべての固有状態のゼロパーセントに近づくことになる 。^[5]${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

例えば、この定理は量子瘢痕を除外するものではない。なぜなら、この極限では瘢痕の位相空間体積も徐々に消失するからである。^{[1] [5] [6] [2]} 量子固有状態は、その確率密度が周期軌道の近傍の古典的不変多様体上にあり、その周期軌道全体にわたって、その軌道に沿った古典的な統計的に期待される密度よりも系統的に増加している場合、 周期軌道によって瘢痕化されている。^{[5]簡単に言えば、量子瘢痕とは、対応する古典的システムがカオスであるときに、その確率密度が古典的な周期軌道の近傍で増加している固有状態を指す。従来の瘢痕化では、応答する周期軌道は不安定である。 [1] [5] [6] [2]}この不安定性は、ボーアの対応原理により安定周期軌道の近くで確率密度が増加するというより自明な発見と量子瘢痕を区別する決定的なポイントである。後者は純粋に古典的な現象と見なすことができるが、前者では量子干渉が重要である。一方、摂動誘起量子瘢痕^{[3] [7] [8] [9] [4]}では、局所的に摂動を受けた量子ドットの高エネルギー固有状態の一部に、対応する摂動を受けていない系の短い周期軌道の瘢痕が含まれる。見た目は通常の量子瘢痕と似ているが、これらの瘢痕は根本的に異なる起源を持つ。^{[3] [7] [4]}このタイプの瘢痕では、摂動を受けた古典的対応物には周期軌道がないか、従来の意味での瘢痕を引き起こすには不安定すぎる。従来の瘢痕と摂動誘起瘢痕は、古典-量子対応と量子によるカオスの抑制の印象的な視覚的例である（図を参照）。特に、瘢痕は、古典的にカオス的なハミルトニアンの対応する固有状態は特徴がなくランダムであるという仮定に対する重要な修正である。ある意味では、傷跡は、短い周期軌道がどのようにして普遍ランダム行列理論の固有値統計に修正を与えるかという量子エルゴード性定理の固有状態対応物と見なすことができます。

• 固有状態熱化仮説
• エルゴード仮説
• 量子カオス
• 傷跡（物理学）

• シュニレルマン定理、Scholarpedia の記事

• シュニレルマン、AI（1974）、固有関数のエルゴード的性質、第29巻（6（180））、Uspekhi Mat. Nauk、モスクワ、pp.  181-182
• Zelditch, S (2006)、「量子エルゴード性と固有関数の混合」、Françoise, Jean-Pierre、Naber, Gregory L.、Tsun, Tsou Sheung (編)、数理物理学百科事典。第 1、2、3、4、5 巻、Academic Press/Elsevier Science、オックスフォード、ISBN 9780125126601、MR  2238867
• 砂田 孝文 (1997)、「量子エルゴード性」、Trend in Mathematics、Birkhauser Verlag、バーゼル、pp.  175– 196