シフトオペレーター

シフト演算子T ^t (ここで⁠$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$⁠ ) は、上の関数fを取る。${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠その翻訳f _tへ、

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

線形演算子T ^tを単純な微分を用いて表現した実用的な演算表現$\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$⁠はラグランジュによって導入された。

これは、 tに関する形式的なテイラー展開によって操作的に解釈することができ、その単項式x ⁿに対する作用は二項定理によって明らかであり、したがってxに関するすべての級数、そして上記のすべての関数f ( x )に対する作用も同様である。^{[ 3 ]}つまり、これはヘヴィサイドの微積分におけるテイラー展開の形式的な符号化である。

この演算子は、アーベル群に対するリーの有名な移流流のプロトタイプ^{[ 4 ]}を提供する。

${\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

ここで、正準座標h (アーベル関数) は次のように定義される。

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

例えば、次のことが容易に導き出される。 ${\displaystyle \beta (x)=x}$収量スケーリング、

${\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}$

したがって${\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}$（パリティ）同様に、 $\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$収量^{[ 5 ]}

${\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}$収量

${\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

$\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$収量

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

等

流れの初期条件と群の性質によって、リーの流れ全体が完全に決定され、並進関数方程式の解が得られます[ ^{6 ] 。}

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

左シフト演算子は、片側無限数列に対して次のように作用します。

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

そして両側無限数列では

${\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

右シフト演算子は、片側無限数列に対して次のように作用します。

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

そして両側無限数列では

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

両側無限列に作用する右シフト演算子と左シフト演算子は、両側シフトと呼ばれます。有限次元の類似物は、シフト行列によって与えられます。

一般に、上記のように、F がアーベル群G上の関数であり、hがGの要素である場合、シフト演算子T ^gはFを^{[ 6 ] [ 7 ]}に写像します。

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

両側シーケンスに作用するシフト演算子は、上の ユニタリ演算子です。${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}$実変数の関数に作用するシフト演算子は、 上のユニタリ演算子である。${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$⁠

どちらの場合も、（左）シフト演算子はフーリエ変換と次の交換関係を満たす。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$ ここで、 M ^tはexp( itx )による乗算演算子です。したがって、 T ^tのスペクトルは単位円です。

片側シフトSが作用する${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}$は、最初の座標でゼロになるすべてのベクトルを範囲とする適切な等長変換です。演算子S は、次の意味で T ⁻¹の圧縮です$${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$ ここで、yは⁠内のベクトルである。${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}$⁠ i ≥ 0の場合はy _i = x _i、 i < 0の場合はy _i = 0となります。この観察は、多くの等長変換の単位拡大の構成の中核をなすものです。

Sのスペクトルは単位円盤である。シフトSはフレドホルム演算子の一例であり、フレドホルム指数は −1 である。