C0半群

数学的解析において、C ₀半群は、強連続な 1 パラメータ半群とも呼ばれ、指数関数の一般化です。指数関数がスカラーの線形 定数係数 常 微分方程式の解を提供するのと同様に、強連続な半群はバナッハ空間の線形定数係数常微分方程式の解を提供します。バナッハ空間のこのような微分方程式は、たとえば遅延微分方程式や偏微分方程式から生じます。

正式には、強連続半群は、強作用素位相において連続なあるバナッハ空間X上の半群( R ₊ , +)の表現です。

バナッハ空間上の強連続半群は、（ は上の有界作用素の空間） 写像であり 、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)}$${\displaystyle L(X)}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle T(0)=I}$、（上の恒等演算子）${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle \forall t,s\geq 0:\T(t+s)=T(t)T(s)}$
3. ${\displaystyle \forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0}$、 として。${\displaystyle t\downarrow 0}$

最初の 2 つの公理は代数的であり、 が半群の表現であると述べています。最後の公理は位相的であり、マップが強演算子位相で連続していると述べています。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle {(\mathbb {R} _{+},+)}}$${\displaystyle T}$

強連続半群Tの無限小生成元 Aは次のように定義される。

${\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {(T(t)-I)\,x}{t}}}$

極限が存在するときはいつでも。Aの定義域D ( A ) は、この極限が存在するx ∈ Xの集合である。 D ( A ) は線型部分空間であり、A はこの定義域上で線型である。^[1] 演算子A は閉じているが、必ずしも有界であるとは限らず、定義域はXにおいて稠密である。^[2]

生成元Aを持つ強連続半群T は 、記号（または、同義で）で表されることが多い。この表記は、行列指数、および関数計算（たとえば、スペクトル定理）によって定義された演算子の関数 の表記と互換性がある。 ${\displaystyle e^{At}}$${\displaystyle \exp(At)}$

一様連続半群とは、強連続半群Tであって、

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0}$

が成り立つ。この場合、Tの無限小生成元Aは有界であり、

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=X}$

そして

${\displaystyle T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty}{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}$

逆に、任意の有界演算子

${\displaystyle A\colon X\to X}$

は、一様連続半群の無限小生成子であり、

${\displaystyle T(t):=e^{At}}$。

したがって、線型作用素 Aが一様連続半群の微小生成子となるのは、Aが有界線型作用素である場合に限ります。^[3] X が有限次元バナッハ空間である場合、任意の強連続半群は一様連続半群です。一様連続半群ではない強連続半群の場合、微小生成子Aは有界ではありません。この場合、収束する必要はありません。 ${\displaystyle e^{At}}$

sup ノルムが付与されたバナッハ空間を考えます。 を を持つ連続関数とします。定義域を持つ演算子は密に定義された閉じた演算子であり、の乗法半群を生成します。乗法演算子は対角行列の無限次元一般化と見なすことができ、 の特性の多くはの特性から導くことができます 。たとえば、が で有界である場合、かつ が で有界である場合に限ります。^[4]${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{連続}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{、}}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert }$${\displaystyle q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle {\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty }$${\displaystyle M_{q}f:=q\cdot f}$${\displaystyle D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}}$${\displaystyle (T_{q}(t))_{t\geq 0}}$${\displaystyle T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.}$${\displaystyle M_{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle M_{q}}$${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R)} }$${\displaystyle q}$

を 上の有界かつ一様連続な関数の空間とし、sup ノルムが与えられていると します。(左) 平行移動半群は で与えられます。 ${\displaystyle C_{ub}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (T_{l}(t))_{t\geq 0}}$${\displaystyle T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R} }$

その生成元は定義域を持つ導関数である。^[5]${\displaystyle Af:=f'}$${\displaystyle D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ differentiable with }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}}$

抽象的なコーシー問題を考えてみましょう。

${\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,}$

ここで、A はバナッハ空間X上の閉じた作用素であり、x ∈ Xである。この問題の解決には 2 つの概念がある。

• 連続的に微分可能な関数u : [0, ∞) → X がコーシー問題の古典的解であるとは、すべてのt > 0 に対してu ( t  ) ∈ D ( A )であり、初期値問題を満たす場合をいう。
• 連続関数u :[0,∞)→ Xがコーシー問題のマイルドな解と呼ばれるのは、

${\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ and }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.}$

あらゆる古典的な解法はマイルドな解法である。マイルドな解法が古典的な解法であるのは、連続的に微分可能である場合のみである。^[6]

次の定理は、抽象的なコーシー問題と強連続半群を結び付けます。

定理: ^[7] Aをバナッハ空間X上の閉じた作用素とする。次の主張は同値である。

1. すべてのx∈Xに対して、抽象的なコーシー問題の唯一の穏やかな解が存在する。
2. 演算子Aは強連続半群を生成する。
3. Aの解決集合は空でなく、すべてのx∈D ( A )に対してコーシー問題の唯一の古典的な解が存在する。

これらの主張が成り立つとき、コーシー問題の解はu ( t  ) =  T ( t  ) xで与えられ、 TはAによって生成される強連続半群です。

コーシー問題に関連して、通常は線型演算子Aが与えられ、これが強連続半群の生成子であるかどうかが問題となります。この質問に答える定理は生成定理と呼ばれます。指数的に有界な強連続半群を生成する演算子の完全な特徴付けは、 Hille-Yosida の定理によって与えられます。しかし、より実際的に重要なのは、 Lumer-Phillips の定理によって与えられる、はるかに検証しやすい条件です。

強連続半群Tは、写像t  →  T ( t  )が[0,∞)からL ( X )へ連続であるとき、一様連続と呼ばれる。

一様連続半群の生成元は有界演算子です。

C ₀半群 Γ( t ) （t ≥ 0）は、定数ω が存在して、||Γ( t )|| ≤ exp( ωt ) がすべての t ≥ 0 に対して成り立つとき、準縮約半群と 呼ばれる。Γ( t )は、||Γ( t )|| ≤ 1 がすべてのt  ≥ 0に対して成り立つとき、縮約半群と呼ばれる。^[8]

強連続半群Tは、 t ₀  > 0 が存在してT ( t ₀ ) X ⊂ D ( A ) (同等:すべてのt  ≥  t _{0に対して}T ( t  ) X ⊂ D ( A ) )である場合、最終的に微分可能であると呼ばれ、すべてのt  > 0に対してT ( t  ) X  ⊂  D ( A )である場合、T は即時微分可能であると呼ばれます。

すべての解析半群は直ちに微分可能である。

コーシー問題に関する同等の特徴付けは次のようになる: Aによって生成される強連続半群は、すべてのx  ∈  Xに対して抽象コーシー問題の解uが( t ₁ , ∞)上で微分可能であるようなt ₁  ≥ 0が存在する場合にのみ、最終的に微分可能である。 t _{1 を}ゼロに選択できる 場合、半群は直ちに微分可能である。

強連続半群Tは、t ₀  > 0が存在してT ( t ₀ ) がコンパクト演算子である場合( ^[9]と同値で、 すべてのt  ≥  t _{0に対して}T ( t ) がコンパクト演算子である場合)、最終的にコンパクトと呼ばれます。半群は、T ( t ) がすべてのt > 0 に対してコンパクト演算子である場合、即時コンパクトと呼ばれます 。

強連続半群は、t ₀ ≥ 0が存在し、t  →  T ( t )の 写像が( t ₀ , ∞)からL ( X )へ 連続であるとき、結局ノルム連続であると呼ばれます。t 0_をゼロに選択できる とき、半群は直ちにノルム連続であると呼ばれます。

直ちにノルム連続な半群の場合、写像t  →  T ( t ) はt = 0 で連続ではない可能性があることに注意してください (そうすると半群は一様連続になります)。

解析的半群、（最終的には）微分可能半群、（最終的には）コンパクト半群はすべて最終的にはノルム連続である。^[10]

半群Tの成長境界は定数である

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

この数は、定数M (≥ 1)が 存在するようなすべての実数ωの最小値でもあるため、このように呼ばれています。

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

すべてのt≥0に対して。

以下は同等である: ^[11]

1. 任意のt ≥ 0に対してM , ω >0が存在する : ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. 成長限界は負である: ω ₀  < 0,
3. 半群は一様作用素位相においてゼロに収束する：、${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$
4. t ₀  > 0が存在し、${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$
5. t ₁  > 0が存在し、 T ( t ₁ )のスペクトル半径は1より小さい。
6. p ∈ [1, ∞)が存在し、 任意のx  ∈  Xに対して、${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$
7. すべてのp∈  [1,∞)およびすべて の x∈Xに対して:${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

これらの同値な条件を満たす半群は、指数安定または一様安定と呼ばれます（上記の最初の 3 つのステートメントのいずれかが^、文献の一部の定義として採用されています）。L p 条件が指数安定性と同値であることは、Datko -Pazy 定理と呼ばれます。

Xがヒルベルト空間の場合、生成子のレゾルベント演算子の観点から指数安定性と同等の別の条件があります。 ^[12]正の実部を持つすべてのλはAのレゾルベント集合に属し、レゾルベント演算子は右半平面上で一様に制限されます。つまり、( λI  −  A ) ^−1はハーディ空間に属します。これはギアハート-プルスの定理と呼ばれます。 ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$

演算子Aのスペクトル境界は定数である

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}$、

Aのスペクトルが空の場合、 s ( A ) = −∞となるという規則に従う。

半群の成長境界とその生成子のスペクトル境界は、^[13] s ( A ) ≤ ω ₀ ( T ) で関連付けられます。 ^[14] s ( A ) <  ω ₀ ( T )となる 例もあります。 s ( A ) =  ω ₀ ( T ) の場合 、T はスペクトル決定成長条件を満たすと言われています。 最終的に、ノルム連続半群はスペクトル決定成長条件を満たします。^[15]これにより、これらの半群の指数安定性の別の同等の特徴付けが得られます。

• 最終的にノルム連続な半群は、 s ( A )<0の場合にのみ指数安定である。

最終的にコンパクト、最終的に微分可能、解析的、一様連続な半群は最終的にノルム連続であるため、スペクトル決定成長条件は特にそれらの半群に対して成り立つことに注意してください。

強連続半群T は、 すべてのx  ∈  Xに対して次の条件を満たすとき、強安定または漸近安定であるといいます。${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$

指数安定性は強い安定性を意味しますが、 Xが無限次元の場合、その逆は一般には当てはまりません( X が有限次元 の場合は当てはまります)。

強安定性の十分条件は、アレント・バティ・リュビッチ・フォン定理と呼ばれる：^{[16] [17]}次のように仮定する。

1. T は有界である: M  ≥ 1 が存在し、${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$
2. Aは虚軸上に点スペクトルを持たず、
3. 虚軸上に位置するAのスペクトルは可算です。

するとTは強く安定します。

Xが反射的である場合、条件は単純化されます。Tが有界で、Aが虚軸上に固有値を持たず、虚軸上に位置するAのスペクトルが可算である場合、 Tは強安定です。

• Hille, E.; Phillips, RS (1975)、関数解析と半群（改訂版）、アメリカ数学会、OCLC  615131618
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