不変シグマ代数

させて${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$測定可能な空間とし、${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$測定可能な関数であること。測定可能な部分集合${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$は、次の場合に限り不変であると呼ばれます。${\displaystyle T^{-1}(S)=S}$[ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ]} 同様に、すべて^の${\displaystyle x\in X}$我々はそれを持っている${\displaystyle x\in S}$かつその場合に限り${\displaystyle T(x)\in S}$。

より一般的には、${\displaystyle M}$を群またはモノイドとする。${\displaystyle \alpha :M\times X\to X}$はモノイド作用であり、 の作用を表す。${\displaystyle m\in M}$の上${\displaystyle X}$による${\displaystyle \alpha _{m}:X\to X}$部分集合${\displaystyle S\subseteq X}$は${\displaystyle \alpha }$すべての${\displaystyle m\in M}$、$\displaystyle \alpha _{m}^{-1}(S)=S}$。

させて${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$測定可能な空間とし、${\displaystyle T:(X,{\mathcal {F}})\to (X,{\mathcal {F}})}$測定可能な関数であること。測定可能な部分集合（事象）${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$は、その指示関数がの場合に限りほぼ確実に不変であると呼ばれます。$1S$ほぼ確実に指示関数と等しい$1_T^{-1}(S)}}$[ ^{4 ] [ 5 ] [ 3 ]​}

同様に、測度保存マルコフカーネルが与えられた場合${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}},p)\to (X,{\mathcal {F}},p)}$私たちはイベントを${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}$ほぼ確実に不変であるのは、${\displaystyle k(S\mid x)=1_{S}(x)}$ほぼすべての${\displaystyle x\in X}$。

厳密に不変な集合の場合と同様に、この定義は任意の群またはモノイド作用に拡張することができる。

多くの場合、不変集合はほぼ確実に空集合のみによって不変集合と異なる（下記参照）。

厳密に不変な集合とほぼ確実に不変な集合はどちらも可算和集合と補集合を取る操作に関して閉じており、したがってシグマ代数を形成します。これらのシグマ代数は、著者によって、厳密な場合とほぼ確実な場合の両方において、不変シグマ代数または不変事象のシグマ代数と呼ばれます。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} 本稿では、をで表すことにします。${\displaystyle {\mathcal {I}}}$厳密に不変な集合のシグマ代数、そして$\displaystyle {\tilde {\mathcal {I}}}}$ほぼ確実に不変な集合のシグマ代数。

測定可能な空間が与えられた場合${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$、と表記する${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$可算なデカルト冪である${\displaystyle X}$積シグマ代数を備えたもの。${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$無限の要素列の空間として${\displaystyle X}$、

${\displaystyle X^{\mathbb {N} }=\{(x_{0},x_{1},x_{2},\dots ),x_{i}\in X\}.}$

次にグループについて考えてみましょう${\displaystyle S_{\infty }}$有限順列の​${\displaystyle \mathbb {N} }$つまり、全単射${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N}} で、${\displaystyle \sigma (n)\neq n}$有限個の場合のみ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$各有限置換${\displaystyle \sigma }$測定可能な効果を発揮する${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$構成要素を置換することによって、可算群の作用が得られます。${\displaystyle S_{\infty }}$の上${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$。

このシグマ代数における不変事象は、交換可能事象または対称事象と呼ばれることが多く、不変事象のシグマ代数は交換可能シグマ代数と呼ばれることが多い。${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$が交換可能である（すなわち置換不変である）のは、交換可能なシグマ代数に対して測定可能である場合に限る。

交換可能なシグマ代数は、ヒューイット・サベージのゼロイチ法則において役割を果たしており、これは、すべての確率測度に対して、と等価的に表現できる。${\displaystyle p}$の上${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$製品の測定値${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$の上${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$各交換可能な事象の確率にゼロまたは1を割り当てる。^{[ 9 ]} 同様に、尺度については${\displaystyle p^{\otimes \mathbb {N} }}$、すべての交換可能なランダム変数${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$ほぼ間違いなく定数である。

また、デ・フィネッティの定理にも関係している。^{[ 9 ]}

上記の例のように、測定可能な空間が与えられた場合${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$可算無限のデカルト積を考える${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })}$シフトマップについて考えてみましょう${\displaystyle T:X^{\mathbb {N} }\to X^{\mathbb {N} }}$マッピングによって与えられる${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$に${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\in X^{\mathbb {N} }}$このシグマ代数に対する不変イベントはシフト不変イベントと呼ばれ、結果として得られるシグマ代数はシフト不変シグマ代数と呼ばれることもあります。

このシグマ代数は、次の交差によって与えられるテールイベントのシグマ代数と関連しています。

${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(\bigotimes _{m\geq n}{\mathcal {A}}_{m}\right),}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{m}\subseteq {\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} }}$シグマ代数は${\displaystyle X^{\mathbb {N} }}$投影により${\displaystyle m}$第 番目のコンポーネント${\displaystyle \pi _{m}:(X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\otimes \mathbb {N} })\to (X,{\mathcal {A}})}$。

すべてのシフト不変イベントは末尾イベントであるが、その逆は真ではない。