保守的なシステム

数学において、保守系は散逸系とは対照的な力学系である。大まかに言えば、このような系には摩擦や力学を散逸させる他のメカニズムがないため、位相空間は時間の経過とともに縮小しない。正確に言えば、これらはヌル放浪集合を持つ力学系である。つまり、時間発展の下で、位相空間のどの部分も「放浪」することはなく、戻ったり再訪したりすることは決してない。あるいは、保守系は ポアンカレ再帰定理が適用される系である。保守系の重要な特殊なケースは、測度保存力学系である。

非公式には、動的システムは、何らかの機械システムの位相空間の時間発展を記述します。通常、このような発展は、何らかの微分方程式によって、または多くの場合、離散的な時間ステップで与えられます。ただし、この場合、離散的な点の時間発展に焦点を当てるのではなく、点の集合の時間発展に注意を向けます。その一例は、土星の環です。環の個々の砂粒の時間発展を追跡するのではなく、環の密度の時間発展、つまり密度がどのように薄くなるか、広がるか、または集中するかに興味があります。短い時間スケール（数十万年）では、土星の環は安定しており、したがって、保守的なシステム、より正確には、測度保存動的システムの適切な例です。リング内の粒子の数は変化しないため、測定は保存され、ニュートンの軌道力学によれば、位相空間は非圧縮性です。つまり、伸ばしたり圧縮したりすることはできますが、縮めることはできません (これがリウヴィルの定理の内容です)。

形式的には、測定可能な力学系は、非特異であり、移動集合を持たない場合にのみ保存的である。^[1]

測定可能な力学系( X , Σ, μ , τ ) は、シグマ有限測度μと変換τを備えたボレル空間( X , Σ) です。ここで、X は集合であり、 Σ はX上のシグマ代数であるため、ペア ( X , Σ) は測定可能な空間です。μ はシグマ代数上のシグマ有限測度です。空間Xは力学系の 位相空間です。

変換 (マップ) は、すべてのσ ∈ Σに対して が成り立つ場合にのみ、Σ 測定可能であると言われます。変換は、動的システムの進化における単一の「時間ステップ」です。動的システムの現在の状態が明確に定義された過去の状態から生じたものであるような可逆変換に興味があります。 ${\displaystyle \tau :X\to X}$${\displaystyle \tau ^{-1}\sigma \in \Sigma }$

測定可能な変換は、 の場合に限り、非特異と呼ばれます。^[2]この場合、システム ( X , Σ, μ , τ ) は非特異な動的システムと呼ばれます。 非特異であるという条件は、動的システムが (非平衡) システムのモデリングに適するために必要です。 つまり、システムの特定の構成が「不可能」 (つまり) である場合、それは「不可能」のままでなければなりません (常に不可能でした: )。それ以外の場合、システムは任意に進化できます。 非特異システムは無視できる集合を保存しますが、他のクラスの集合を保存する必要はありません。ここでの「特異」という言葉の意味は、 のどの部分もに関して特異ではなく、その逆も同様であるという点で、特異測度の定義と同じです。 ${\displaystyle \tau :X\to X}$${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu \circ \tau ^{-1}}$

が不変である非特異力学系、またはより一般的には測度保存力学系と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

非特異な動的システムは、すべての正の測度集合およびすべてのに対して、となる整数が存在する場合、保守的です。非公式には、これはシステムの現在の状態が以前の状態に戻るか、それに任意に近づくと解釈できます。詳細については 、ポアンカレ再帰を参照してください。${\displaystyle \sigma \in \Sigma }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle p>n}$${\displaystyle \mu (\sigma \cap \tau ^{-p}\sigma )>0}$

非特異変換は、 の場合に常に である場合、非圧縮性です。 ${\displaystyle \tau :X\to X}$${\displaystyle \tau^{-1}\sigma\subset\sigma}$${\displaystyle \mu (\sigma \smallsetminus \tau ^{-1}\sigma )=0}$

非特異変換の場合、次のステートメントは同等である：^{[1] [3] [4]}${\displaystyle \tau :X\to X}$

• τは保守的です。
• τは非圧縮性である。
• τのすべての放浪集合はヌルです。
• 正の測度のすべての集合σについて、 .${\textstyle \mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$

上記は、および が測度保存的である場合、動的システムは保存的であることを意味します。これは、事実上、ポアンカレ再帰定理の現代的な記述です。これら 4 つの特性の同値性の証明の概要は、ホップ分解に関する記事に記載されています。 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle \tau}$

および が測度保存的であると仮定します。 を の放浪集合とします。放浪集合と の定義により、 は を保存するため、には と同じ-測度を持つ 2 対の互いに素な集合の可算無限和が含まれます。 と仮定したため、 は空集合となり、すべての放浪集合は空集合でなければなりません。 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (X)<\infty }$${\displaystyle A}$

この議論は、 の場合には、最も単純な例でも成り立ちません。実際、たとえば を考えます。ここで、 はルベーグ測度を表し、シフト演算子 を考えます。ルベーグ測度は並進不変なので、は測度保存です。しかし、は保存的ではありません。実際、に含まれるよりも厳密に小さい長さのすべての区間は、さまようものです。特に、はさまよう集合の可算な和集合として書くことができます。 ${\displaystyle \mu (X)=\infty }$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda )}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \tau :X\to X,x\mapsto x+1}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,\tau )}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ホップ分解は、特異でない変換を伴うすべての測定空間は、不変保存集合と放浪（散逸）集合に分解できることを述べています。ホップ分解の一般的な非公式な例としては、 2 つの液体の混合があります（一部の教科書ではラム酒とコークについて触れています）。2 つの液体がまだ混ざっていない初期状態は、混合後に再び発生することはありません。これは散逸集合の一部です。部分的に混合された状態も同様です。混合後の結果（標準的な例ではキューバ・リブレ）は安定しており、保存集合を形成します。さらに混合しても変化しません。この例では、保存集合はエルゴードでもあります。つまり、液体（たとえばレモン汁）をもう 1 滴追加すると、1 か所に留まらず、あらゆる場所に混ざります。この例について注意が 1 つあります。混合システムはエルゴードですが、エルゴードシステムは一般的な混合システムではありません。混合は、存在しない可能性のある相互作用を意味します。混合しないエルゴード系の標準的な例はベルヌーイ過程です。これは、コイン投げのすべての可能な無限シーケンスの集合（つまり、0 と 1 の無限の文字列の集合）であり、個々のコイン投げは他のコイン投げから独立しています。 ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

エルゴード分解定理は、大まかに言えば、すべての保存系は、各要素が個別にエルゴードである要素に分割できると述べています。 この非公式な例としては、真ん中に仕切りがあり、各区画に液体が満たされている桶が挙げられます。 一方の液体は明らかにそれ自体と混ざり合い、もう一方の液体も混ざりますが、仕切りがあるため、両側は相互作用できません。 明らかに、これは 2 つの独立したシステムとして扱うことができ、2 つの側の間の漏れ (測度 0) は無視できます。 エルゴード分解定理は、すべての保存系をそのような独立した部分に分割でき、この分割は一意であると述べています (測度 0 の差を除いて)。 したがって、慣例により、保存系の研究はそのエルゴード要素の研究になります。

形式的には、すべてのエルゴード系は保存的です。不変集合 σ ∈ Σ は、τ ( σ ) = σとなる集合であることを思い出してください。エルゴード系の場合、唯一の不変集合は測度がゼロか完全測度（ヌルかコンヌル）の集合です。これらが保存的であることは、このことから自明です。

τがエルゴードである場合、次のステートメントは同値である：^[1]

• τは保存的かつエルゴード的である
• すべての測定可能な集合σに対して、つまりσ はXのすべてを「消去」します。${\textstyle \mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$
• 正の測度σのすべての集合、およびほぼすべての に対して、となる正の整数n が存在します。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \tau^{n}x\in\sigma}$
• 正測度のすべての集合とに対して、正の整数nが存在し、${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0}$
• の場合、またはその補集合の測度はゼロになります。${\displaystyle \tau^{-1}\sigma\subset\sigma}$${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\sigma ^{c})=0}$

• KMS 状態、量子力学システムにおける熱力学的平衡の記述。フォン・ノイマン代数のモジュラー理論の双対。

• Danilenko, Alexandre I.; Silva, Cesar E. (2009). 「エルゴード理論: 非特異変換」.複雑性とシステム科学百科事典. Springer: 3055–3083. arXiv : 0803.2424 . doi :10.1007/978-0-387-30440-3_183. ISBN 978-0-387-75888-6。
• クレンゲル、ウルリッヒ (1985)。エルゴードの定理。デ・グリュイターの数学研究。 Vol. 6.デ・グルイテル。ISBN 3-11-008478-3。
• Sarig, Omri (2020 年 3 月 8 日)。「エルゴード理論に関する講義ノート」(PDF)。ホーム | Omri Sarig。ワイツマン研究所。

• ニコルズ、ピーター J. (1989)。離散群のエルゴード理論。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-37674-2。
• ウィルキンソン、エイム (2008). 「滑らかなエルゴード理論」. arXiv : 0804.0167 [math.DS].