オルンシュタイン同型定理

数学において、オルンシュタイン同型定理はエルゴード理論における重要な結果である。この定理は、2 つのベルヌーイ スキームが同じコルモゴロフ エントロピーを持つ場合、それらは同型であると述べている。^{[ 1 ] [ 2 ]} 1970 年にドナルド オルンシュタインによって与えられたこの結果は、これまで無関係であると考えられていた多くのシステムが実際には同型であると述べているため重要である。これには、マルコフ連鎖や有限型のサブシフト、アノソフ フローやシナイのビリヤード、nトーラスのエルゴード自己同型、および連分数変換を含む多くの有限定常確率過程が含まれる。

この定理は実際には関連する定理の集合である。最初の定理は、2つの異なるベルヌーイシフトが同じコルモゴロフエントロピーを持つ場合、それらは力学系として同型であると述べている。3番目の定理はこの結果を流れに拡張している。すなわち、流れが存在するということである。${\displaystyle T_{t}}$そのため${\displaystyle T_{1}}$これはベルヌーイシフトです。第4定理は、与えられた固定エントロピーに対して、この流れは時間の定数スケーリングを除いて一意であると述べています。第5定理は、無限のエントロピーを持つ単一の一意の流れ（時間の定数スケーリングを除いて）が存在すると述べています。「時間の定数スケーリングを除いて」というフレーズは、単純に、${\displaystyle T_{t}}$そして${\displaystyle S_{t}}$同じエントロピーを持つ2つのベルヌーイ流が存在する場合、${\displaystyle S_{t}=T_{ct}}$ある定数cに対して。この発展には、ベルヌーイシフトの因子がベルヌーイシフトと同型であることの証明や、与えられた測度保存力学系がベルヌーイシフトと同型であるための基準も含まれていました。

これらの結果の帰結として、ベルヌーイシフトの根本問題の解が得られます。例えば、シフトTが与えられた場合、別のシフトが存在します。$\displaystyle {\sqrt {T}}}$それはそれと同型である。

同型性の問題はフォン・ノイマンに遡り、彼は2つのベルヌーイ スキームBS(1/2, 1/2) と BS(1/3, 1/3, 1/3) が同型であるかどうかを問いました。1959 年、ヤ. シナイとコルモゴロフは否定的に答え、2 つの異なるスキームが同じエントロピーを持たない場合、同型にはなり得ないことを示しました。具体的には、ベルヌーイ スキーム BS( p ₁ , p ₂ ,..., p _n )のエントロピーは^{[ 3 ] [ 4 ]}で与えられることを示しました。

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}$

1970年にドナルド・オルンスタインによって証明されたオルンスタイン同型定理は、同じエントロピーを持つ2つのベルヌーイ・スキームは同型であると述べている。この結果は厳密であり^{[ 5 ]} 、非常に類似した非スキーム系はこの性質を持たない。具体的には、同じエントロピーを持つコルモゴロフ系で同型でないものが存在する。オルンスタインはこの業績によりボーチャー賞を受賞した。

記号ベルヌーイスキームの同型定理の簡略化された証明は、1979 年に Michael S. Keane と M. Smorodinsky によって与えられた。^{[ 6 ] [ 7 ]}

• スティーブン・カリコウ、ランドール・マカッチョン（2010）『エルゴード理論の概要』ケンブリッジ大学出版局
• ドナルド・オルンスタイン (2001) [1994]、「オルンスタイン同型定理」、数学百科事典、EMS Press
• ドナルド・オルンスタイン（2008）「オルンスタイン理論」Scholarpedia、3（3）：3957。
• Daniel J. Rudolph (1990)可測力力学の基礎：ルベーグ空間上のエルゴード理論、Oxford Science Publications、The Clarendon Press、Oxford University Press、ニューヨーク、1990 年。ISBN 0-19-853572-4