合成演算子

数学において、合成演算子${\displaystyle C_{\phi }}$記号付き${\displaystyle \phi }$は、次の規則で定義される 線形演算子です。$${\displaystyle C_{\phi }(f)=f\circ \phi }$$ どこ${\displaystyle f\circ \phi }$は関数合成を表します。これは、置換群における置換の合成にも見られます。

合成演算子の研究は、AMSカテゴリ47B33で扱われます。

物理学、特に力学系の分野では、合成演算子は通常、ベルナルド・クープマンにちなんでクープマン演算子と呼ばれています。^{[ 1 ] [ 2 ]}その人気が急上昇したこと^{[ 3 ]}は、冗談めかして「クープマニア」^{[ 4 ]}と呼ばれることもあり、機械学習にも広がり始めています。^{[ 5 ]}これは、フロベニウス・ペロンの転送演算子の左随伴演算子です。

圏論の言葉で言えば、合成演算子は可測関数の空間上の引き戻しであり、引き戻しが押し出しに随伴するのと同様に転送演算子に随伴する。合成演算子は逆像関手である。

ここで考慮される領域はボレル関数であるため、上記はボレル関数計算に現れるクープマン演算子を記述しています。

合成演算子の定義域は、より狭義に、例えば正則関数からなるバナッハ空間（ハーディ空間やベルグマン空間など）とすることもできます。この場合、合成演算子は、正則関数計算などの関数計算の領域に属します。

合成演算子の研究で提起される興味深い疑問は、演算子のスペクトル特性が関数空間にどのように依存するかという点に関係することが多い。その他の疑問としては、${\displaystyle C_{\phi }}$コンパクトかトレースクラスかによって答えが変わります。${\displaystyle \varphi }$ある領域の境界上で振る舞う。

転送演算子が左シフト演算子の場合、その随伴演算子であるクープマン演算子は右シフト演算子とみなすことができます。シフトを明示的に表す適切な基底は、直交多項式の中によく見られます。これらの多項式が実数直線上で直交する場合、シフトはヤコビ演算子によって与えられます。^{[ 6 ]} 多項式が複素平面のある領域（すなわち、ベルグマン空間）で直交する場合、ヤコビ演算子はヘッセンベルグ演算子に置き換えられます。^{[ 7 ]}

数学において、合成演算子はシフト演算子の研究でよく登場し、例えば、Beurling–Laxの定理やWold分解に見られる。シフト演算子は1次元スピン格子として研究することができる。合成演算子はAleksandrov–Clark測度の理論にも現れる。

合成演算子の固有値方程式はシュレーダー方程式であり、主固有関数は${\displaystyle f(x)}$これはしばしばシュレーダー関数またはケーニッヒ関数と呼ばれます。

合成演算子は、動的モード分解アルゴリズムの文脈において、動的システムのデータ駆動型手法で使用されており、合成演算子のモードと固有値を近似する。

• ジャボチンスキー行列
• カルレマン線形化
• 合成環– 代数構造 
• 乗算演算子– 固定関数による線形スケーリング演算子 
• 線形写像の転置– 2つのベクトル空間の双対空間間の誘導写像 
• 動的モード分解

• CC Cowen およびBD MacCluer、「解析関数の空間における合成演算子」。Studies in Advanced Mathematics。CRC Press、フロリダ州ボカラトン、1995 年。xii+388 ページ。ISBN 0-8493-8492-3。
• JH シャピロ著、 『合成演算子と古典関数論』、 Universitext: Tracts in Mathematics、Springer-Verlag、ニューヨーク、1993年、xvi+223ページ、ISBN 0-387-94067-7。