エルゴードフロー

数学では、エルゴードフローは、閉じた双曲面の測地線フローおよびホロサイクルフローを介して、幾何学で発生します。これらの例は両方とも、局所コンパクト群のユニタリ表現の理論の観点から理解されています。Γ が、メビウス群G = PSL(2, R )の離散部分群と見なされる閉じた曲面の基本群である場合、測地線フローおよびホロサイクルフローは、実正対角行列の部分群Aと下側単位三角行列の部分群Nの単位接束G / Γ 上の自然な作用と同一視できます。アンブローズ-角谷定理は、すべてのエルゴードフローを、天井関数を使用する測度空間上の可逆エルゴード変換から構築されたフローとして表現します。測地線フローの場合、エルゴード変換は記号力学の観点から理解できます。また、境界上の Γ のエルゴード作用に関しては、S ¹ = G / ANおよびG / A = S ¹ × S ¹ \ diag S ^{1です。エルゴードフローは}、フォンノイマン代数の分類における不変量としても自然に生じます。タイプ III ₀の因子の重みのフローは、測度空間上のエルゴードフローです。

表現論を用いた方法は、次の2つの結果に依存している。^[1]

• G = SL(2,R)がヒルベルト空間 Hにユニタリ作用し、ξ が上単位三角行列のサブグループNによって固定された単位ベクトルである場合、ξ はGによって固定されます。
• G = SL(2,R) がヒルベルト空間Hにユニタリ作用し、ξ が行列式1の対角行列の部分群Aによって固定された単位ベクトルである場合、ξ はGによって固定されます。

(1) 位相空間として、同次空間 X = G / Nは、 Gの標準作用を2 × 2行列としてR ² \ {0 }と同一視できる。 Nの部分群には、 y ≠ 0でx軸に平行な軌道とx軸上の点の 2 種類の軌道がある。 N軌道上で定数であるX上の連続関数は、したがって、原点を除いた実軸上で定数でなければならない。したがって、行列係数ψ( x ) = ( x ξ,ξ)は、 gがA · Nの場合にψ( g ) = 1 を満たす。ユニタリー性により、 || g ξ − ξ || ² = 2 − ψ( g ) − ψ( g ^–1 ) = 0となり、すべてのgがB = A · N = N · Aの場合にg ξ = ξとなる。ここで、s を行列とする。すると、簡単に検証できるように、二重剰余類BsB はGにおいて稠密です。これはBruhat 分解の特殊なケースです。ξはBによって固定されているので、行列係数ψ( g ) はBsB上で一定です。稠密により、Gのすべてのgに対してψ( g ) = 1です。上記と同じ議論から、Gのすべてのgに対してg ξ = ξ であることがわかります。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

（２） ξがAによって固定されていると仮定する。ユニタリ１パラメータ群N ≅ Rについて、区間[ a , b ]に対応するスペクトル部分空間をP [ a , b ]とする。g ( s )を、| s | > 1に対して、要素sおよびs ^{−1 を}持つ対角行列とする。するとg ( s ) P [ a , b ] g ( s ) ⁻¹ = P [ s ² a , s ² a ]となる。| s | が無限大に近づくにつれて、後者の射影は、0< a < bまたはa < b < 0の場合、強演算子位相で0に近づく。g ( s )ξ = ξなので、どちらの場合でもP [ a , b ]ξ = 0となる。スペクトル定理により、ξ はスペクトル部分空間P ({0})に含まれる。言い換えれば、ξ はNによって固定されます。しかし、最初の結果により、ξ はGによって固定される必要があります。

1930 年代初頭のGustav Hedlundの古典的な定理は、一定の負の曲率を持つコンパクトなリーマン面に対応する測地線フローおよびホロサイクル フローのエルゴード性を主張しています。Hedlund の定理は、 Gとそのサブグループのユニタリ表現によって再解釈できます。 ΓをPSL(2, R ) = G / {± I }のココンパクト サブグループとし、その非スカラー要素はすべて双曲的であるとします。X = Γ \ G / Kとし、 K は回転のサブグループとします。単位接線バンドルはSX = Γ \ Gであり、測地線フローはAの右作用で与えられ、ホロサイクル フローはNの右作用で与えられます。この作用がエルゴードである場合は L ^∞ (Γ \ G ) ^A = C 、つまりAによって固定される関数は定数関数にすぎません。Γ \ G はコンパクトなので、 L ² (Γ \ G ) ^A = Cであればこれが当てはまります。H = L ² (Γ \ G )とします。したがって、G は右側でHにユニタリに作用します。 Aによって固定されたH内の任意の非ゼロξは、上記の 2 番目の結果により、Gによって固定される必要があります。 しかし、この場合、 f が∫ f = 1でコンパクトなサポートを持つG上の連続関数である場合、ξ = ∫ f ( g ) g ξ dgです。 右辺はξ ∗ f 、つまりG上の連続関数に等しくなります。 ξはGの下で右不変なので、要求どおりξは定数になります。 したがって、測地線フローはエルゴードです。 A をNに置き換え、上記の最初の結果を使用すると、同じ議論からホロサイクル フローがエルゴードであることが示されます。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

測度空間の非特異可逆変換から誘導されるフローの例は、フォン・ノイマン (1932) が古典力学とエルゴード理論への作用素理論的アプローチで定義しました。T を( X ,μ)の非特異可逆変換とし、A = L ^∞ ( X )の自己同型 τ を生じさせます。これにより、測度空間 ( X × R ,μ × m ) の可逆変換T ⊗ idが生じます(ここでmはルベーグ測度)。したがって、 A ⊗ L ^∞ ( R ) の自己同型 τ ⊗ id が生じます。変換L _{t は、} m を保存するR上のフローを定義し、したがって L ^∞ ( R )上のフロー λ _{t を}定義します。S = L _{1とし、対応する L} ^∞ ( R )の自己同型 σ とします。したがって、 τ ⊗ σ はA ⊗ L ^∞ ( R )の自己同型を与え、これはフロー id ⊗ λ _tと可換です。誘導測度空間YはB = L ^∞ ( Y ) = L ^∞ ( X × R ) ^{τ ⊗ σ}によって定義され、関数は自己同型 τ ⊗ σ によって固定されます。これは、 id ⊗ λ _tのBへの制限によって与えられる誘導フローを許容します。 λ _{t は}L ^∞ ( R ) に対してエルゴード的に作用するため、フローによって固定された関数は L ^∞ ( X ) ^τと同一視できます。特に、元の変換がエルゴードである場合、それが誘導するフローもエルゴードです。

誘導作用はユニタリ演算子で記述することもでき、このアプローチにより、特殊フロー、つまり天井関数の下で構築されるフローへの一般化が明確になります。R をL ² ( R , m ) 上のフーリエ変換、つまりR λ( t ) R ^∗ = V _tとなるユニタリ演算子とします。ここでλ( t ) はtによる平行移動、V _{t はe} ^itxによる乗算です。したがってV _{t は}L ^∞ ( R ) にあります。特に、V ₁ = R S R ^∗です。天井関数hは、 h ≥ ε1、 ε > 0 となる A 内の関数です。すると、 e ihxはA^内のRのユニタリ表現を与え、これは強い演算子位相で連続し、したがって L ² ( X ,μ) ⊗ L ² ( R ) に作用するA ⊗ L ^∞ ( R )のユニタリ元Wになります。特に、W はI ⊗ V _tと可換です。したがって、W ₁ = ( I ⊗ R ^∗ ) W ( I ⊗ R ) はI ⊗ λ( t )と可換です。 L ^∞ ( X ) への作用Tは、 μ ∘ Tのμ に関するラドン−ニコディム微分の平方根を使用して、L ² ( X ) 上のユニタリU を誘導します。誘導代数B は、 T ⊗ Sと可換なA ⊗ L ^∞ ( R )の部分代数として定義されます。誘導フロー σ _tは、 σ _t ( b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t ))で与えられます。

基底変換Tを持つ天井関数 h に対応する特殊フローは、 ( T ⊗ I ) W ₁と可換なA ⊗ L ^∞ ( R )の要素によって与えられる代数B ( H ) 上で定義されます。誘導フローは、定数関数である天井関数h ≡ 1 に対応します。ここでもW ₁、したがって( T ⊗ I ) W _{1 は}、I ⊗ λ( t )と可換です。 B ( H )上の特殊フローは、再びσ _t ( b ) = ( I ⊗ λ( t )) b ( I ⊗ λ(− t ))によって与えられます。誘導アクションの場合と同じ推論により、フローによって固定された関数はσ によって固定されたAの関数に対応するため、元の非特異変換Tがエルゴードであれば、特殊フローはエルゴードになります。

S _tが、A = L ^∞ ( X ,μ)の自己同型 σ _tの 1 パラメータ群に対応する測度空間 ( X ,μ) 上のエルゴードフローである場合、ホップ分解により、 t ≠ 0のすべてのS _{t は}散逸的であるか、 t ≠ 0のすべてのS _{t は}保存的であるかのいずれかになります。散逸の場合、エルゴードフローは推移的でなければならないため、A はルベーグ測度の下で L ^∞ ( R )と同一視され、R は平行移動によって作用します。

散逸的なケースの結果を証明するために、A = L ^∞ ( X ,μ) はヒルベルト空間 L ² ( X ,μ) に作用する最大アーベル・フォン・ノイマン代数であることに留意してください。確率測度 μ は、同等の不変測度 λ で置き換えることができ、t > 0 に対して σ _t ( p ) < pかつλ( p – σ _t ( p )) = t となるようなAの射影pが存在します。この場合、 σ _t ( p ) = E ([ t ,∞)) であり、ここでE はR上の射影値測度です。これらの射影により、 Aのフォン・ノイマン部分代数B が生成されます。エルゴード性により、t が−∞ に近づくにつれて σ _t ( p ) 1 になります。ヒルベルト空間 L ² ( X ,λ) は、 λ(| f | ^{2 ) < ∞ となる}Aのfの部分空間の完備化と同一視できます。Bに対応する部分空間はL ² ( R )と同一視でき、 B はL ^∞ ( R ) と同一視できる。λ はS _tに対して不変なので、ユニタリ表現U _tによって実現される。共変系B、U _tに対するストーン・フォン・ノイマンの定理により、ヒルベルト空間H = L ² ( X、λ) は分解 L ² ( R ) ⊗ を許容する。ここで、BとU _{t は}最初のテンソル因子にのみ作用する。Aの元aがBにない場合、それはB ⊗ Cの可換項、すなわちB ⊗ B( ) に存在する。したがって、はBの要素を持つ行列として実現できる。Bのχ _{[ r、s ]}を乗じると、 aの要素はL ^∞ ( R ) ∩ L ¹ (${\displaystyle \uparrow}$${\displaystyle \ell^{2}}$ ${\displaystyle \ell^{2}}$R）。このような関数fに対して、エルゴード定理の基本的なケースとして、 σ _t ( f ) の [− R、R ] 上の平均は、弱作用素位相で ∫ f ( t ) dtに近づく。したがって、適切な χ _{[ r、s ]}に対して、これはC ⊗ B( )にあり、 1 ⊗ Iの倍数ではないAの要素を生成する。しかし、そのような要素はU _{tと可換であるため、 σ t}によって固定され、エルゴード性と矛盾する。したがって、A = B = L ^∞ ( R ) 。 ${\displaystyle \ell^{2}}$

t ≠ 0のすべての σ _{t が}保存的である場合、フローは適切にエルゴード的であると言われます。 この場合、 A内のすべての非ゼロのpとt ≠ 0 に対して、p ≤ σ _t ( p ) ∨ σ _{2 t} ( p ) ∨ σ _{3 t} ( p ) ∨ ⋅⋅⋅ が成り立ちます。 特に、 p ≠ 0 に対して、 ∨ _{± t >0} σ _t ( p ) = 1 が成り立ちます。

定理は、すべてのエルゴードフローは、エルゴード基底変換を持つ天井関数に対応する特別なフローに同型であると述べています。フローが確率測度を不変にする場合、基底変換についても同じことが当てはまります。

簡単にするために、アンブローズ（1941）の元の結果、つまり確率測度μ を保存するエルゴードフローの場合のみを検討します。A = L ^∞ ( X ,μ)とし、σ _{t を}エルゴードフローとします。フローは保存的であるため、Aの任意の射影p ≠ 0, 1 に対して、 σ _T ( p ) ≤ pのないT > 0が存在するため、(1 − p ) ∧ σ _T ( p ) ≠ 0となります。一方、r > 0 がゼロに減少する につれて、

${\displaystyle a_{r}={1 \over r}\int _{0}^{r}\sigma _{t}(p)\,dt\rightarrow p}$

強い作用素位相、または同等の弱い作用素位相（これらの位相はユニタリ上で一致するため、反転、射影となる）において。実際、ν がA上の任意の有限測度である場合、ν( a _r ) は ν( p ) に近づくことを示すだけで十分である。これは、f ( t ) = ν(σ _t ( p )) がtの連続関数であるため、 r が0 に近づくにつれて、 fの[0, r ] 上の平均がf (0)に近づくことから導かれる。 ^[2]

0 ≤ a _r ≤ 1であることに注意。ここでr > 0 を固定して、Ambrose (1941) に従い、

${\displaystyle q_{0}(r)=\chi _{[0,1/4]}(a_{r}),\,\,\,q_{1}(r)=\chi _{[3/4,1]}(a_{r}).}$

N が大きい場合はr = N ^–1とし、f_{​​ N} = a _rとする。したがって、L ^∞ ( X ,μ)では 0 ≤ f _N ≤ 1 となり、 f _{N は}L ¹ ( X ,μ) で特性関数pに近づきます。しかし、 ε = 1/4 であれば、 χ _[0,ε] ( f _N ) はL ¹ ( X ) で χ _[0,ε] ( p ) = 1 – pに近づきます。^[3]分割A = pA ⊕ (1 − p ) A を使用すると、これは、L ^∞ ( Y ,ν)で 0 ≤ h _N ≤ 1となり、L ^{1 ( Y ,ν) で h N が 0 に近づく場合、L 1} ( Y , _ν ) でχ ^[ 1 − _ε,1] ( h _N ) が 0 に近づくことを証明することに帰着します。しかし、これはチェビシェフの不等式によって簡単に従う。実際、(1−ε) χ _[1−ε,1] ( h _N ) ≤ h _Nであり、ν(χ _[1−ε,1] ( h _N )) ≤ (1−ε) ⁻¹ ν( h _N )となり、仮定により0に近づく。

したがって、定義によりq ₀ ( r ) ∧ q ₁ ( r ) = 0 となる。さらに、r = N ^{−1 が}十分に小さい場合、q ₀ ( r ) ∧ σ _T ( q ₁ ( r )) > 0 となる。上記の推論から、r = N ^{−1 が}0 に近づくにつれて、 q ₀ ( r ) とq ₁ ( r ) は 1 − pとpに近づくことがわかる。これは、q ₀ ( r )σ _T ( q ₁ ( r )) は (1 − p )σ _T ( p ) ≠ 0 に近づくことを意味するので、 N が十分に大きい場合、 はゼロではない。そのようなN を1 つ固定し、r = N ⁻¹として、q ₀ = q ₀ ( r ) およびq ₁ = q ₁ ( r ) と設定すると、

${\displaystyle q_{0}\wedge q_{1}=0,\,\,\,\,q_{0}\wedge \sigma _{T}(q_{1})>0.}$

q ₀とq ₁の定義は、δ < r /4 = (4 N ) ⁻¹の場合、

${\displaystyle \sigma _{t}(q_{0})\wedge q_{1}=0\,\,\,\mathrm {for} \,\,\,|t|\leq \delta .}$

実際、s < tの場合

${\displaystyle \|\sigma _{t}(a_{r})-\sigma _{s}(a_{r})\|_{\infty }=r^{-1}\left\|\int _{r+s}^{r+t}\sigma _{x}(p)\,dx-\int _{s}^{t}\sigma _{x}(p)\,dx\right\|_{\infty }\leq {2|ts| \over r}.}$

s = 0とするとt > 0となり、 e = σ _t ( q ₀ ) ∧ q ₁ > 0 となる。したがってe = σ _t ( f ) となり、f ≤ q ₀となる。すると σ _t ( a _r ) e = σ _t ( a _r f ) ≤ 1/4 eとなり、a _r e ≥ 3/4 eとなるので、

${\displaystyle a_{r}-\sigma _{t}(a_{r})\geq a_{r}e-\sigma _{t}(a_{r})e\geq {3 \over 4}e -{1 \over 4}e={1 \over 2}e.}$

したがって、|| a _r − σ _t ( a _r )|| _∞ ≥ 1/2 です。一方、|| a _r − σ _t ( a _r )|| _{∞は 2} t / rによって上方に制限されるため、t ≥ r /4 となります。したがって、 | t | ≤ δ の場合、σ _t ( q ₀ ) ∧ q ₁ = 0です。

元a _{r は}、 rの作用素ノルムにおいて[0,1] で連続的に依存する。上記から、 σ _t ( a _r ) はtでノルム連続である。 σ _t ( a _r )によって生成される単位 * 代数の作用素ノルムにおける閉包をB ₀とする。これは可換かつ分離可能であるため、ゲルファント・ナイマークの定理により、 C ( Z )と同一視できる。ここで、 Zはそのスペクトル、つまりコンパクトな計量空間である。定義により、B _0はAの部分代数であり、弱または強作用素位相におけるその閉包B はL ^∞ ( Z ,μ)と同一視できる。ここで、 μ は μ のBへの制限にも使用される。部分代数B はフロー σ _{t の}下で不変であり、したがってエルゴードである。 B ₀およびBへのこの作用の解析により、エルゴード変換Tおよび天井関数h を構成するために必要なすべてのツールが得られる。これは、まずBに対して（A は一時的にBと一致すると仮定して）実行し、その後Aに拡張する。^[4]

射影q ₀とq ₁は、開集合の特性関数に対応する。X ₀とX ₁適切なエルゴード性の仮定は、t が正または負の実数上を走るときの σ t による平行移動の下でのこれらの開集合のいずれかの和集合は共形である (つまり、補集合の測度が 0 である) ことを意味する。X をそれらの共通部分である開集合に置き換えると、_これらの和集合が空間全体を尽くすと仮定できる (空間はコンパクトではなく局所コンパクトになる)。フローは再帰的であるため、σ _tの任意の軌道は、 t が+∞ または −∞ に近づくにつれて、両方の集合を無限回通過する。最初にX ₀にある呪文と次にX _{1にある呪文の間では、} fは1/2 の値をとらなければならず、次に 3/4 の値をとらなければならない。したがって、各軌道は、0 < t ≤ δ/4 に対してf ( x ) = 1/2、f (σ _t ( x )) > 1/2となるxの集合 Ω と無限に交差する必要があります。定義は、軌道との異なる交差?は少なくとも δ/4 の距離で分離されていることを意味します。そのため、Ω は各軌道と可算な回数だけ交差し、交差は無限に大きな負の時間および正の時間に発生します。したがって、各軌道は、長さが少なくとも δ/4で、nが±∞ に近づくにつれてr _n ( x ) が ±∞に近づく、可算な数の半開区間 [ r _n ( x ), r _{n +1} ( x )) に分割されます。この分割は、 r ₀ ( x ) ≤ 0かつr ₁ ( x ) > 0となるように正規化できます。特に、xがΩ内にある場合、t ₀ = 0となります。関数r _n ( x )は、Ωへのn番目の戻り時間と呼ばれます。

断面 Ω はボレル集合である。なぜなら、tが[ N ⁻¹ ,δ/4]の範囲内にあり、 N > 4/δ である各コンパクト集合 {σ _t ( x )} 上で、関数g ( t ) = f (σ _t ( x )) は、十分に大きい整数Mに対して、 1/2 + M ⁻¹より大きい下限を持つからである。したがって、 Ω は、それぞれが閉集合の可算な和である集合の可算な共通集合として記述できるため、 Ω はボレル集合である。これは特に、関数r _{n が}X上のボレル関数であることを意味する。 Ω にy があると、可逆ボレル変換Tは、 Ω 上でS ( y ) = σ _t ( y )によって定義される。ここで、t = r ₁ ( y ) は、Ω への最初の復帰時間である。関数r _n ( y ) は、 Ω 上のボレル関数に制限され、コサイクル関係を満たす。

${\displaystyle r_{m+n}=r_{m}+\tau ^{m}(r_{n}),}$

ここで、τはTによって誘導される自己同型である。X上の流れS _tに対するヒット数 N _t ( x )は、tが[ r _N ( x ), r _{N +1} ( x ))に含まれる整数Nとして定義される。これは、コサイクル恒等式を満たす R × X上の整数値ボレル関数である。

${\displaystyle N_{s+t}=N_{s}+\sigma _{s}(N_{t}).}$

関数h = r ₁は Ω 上の厳密に正のボレル関数なので、形式的にはフローはh天井関数を使用して変換Tから再構築できます。Ω 上の失われたT不変測度クラスは、2番目のコサイクルN _{t を}使用して回復されます。実際、 Z上の離散測度は積Z × X上の測度クラスを定義し、2番目の因子上のフローS _{t は}、次式で与えられる積上のフローに拡張されます。

${\displaystyle \rho_{t}(m,x)=(m+N_{t}(x),S_{t}(x)).}$

同様に、基底変換TはR × Ω 上の変換Rを誘導し、次のように定義される。

${\displaystyle R(s,y)=(sh(y),T(y)).}$

これらの変換は、 R × ΩからZ × Xへの可逆なボレル同型Φによって関連しており、これは次のように定義される。

${\displaystyle \Phi (t,y)=(N_{t}(y),S_{t}(y)).}$

Z × XからR × Ω への逆Ψは次のように定義される。

${\displaystyle \Psi (m,x)=(-r_{-m}(y),S_{r_{-m}(y)}y).}$

これらの写像の下では、フローR _tはR × Ωの最初の因子上でtによる並進に持ち込まれ、逆方向では、可逆なRはZ × X上で -1 による並進に持ち込まれる。 Z × X上の測度類が、R × Ω 上で測度m × νを生成するものと同じ測度類に持ち込まれることをチェックするだけで十分である。ここで、mはルベーグ測度で、 ν はTに関して測度類が不変である Ω 上の確率測度である。 Z × X上の測度類はRに関して不変であるため、最初の因子上で並進に対して不変なR × Ω上の測度類を定義する。一方、並進に対して不変なR上の唯一の測度類はルベーグ測度であるため、 R × Ω上の測度類は、 Ω 上のある確率測度に対するm × νの測度類と同等である。構成により、 ν はTに関して準不変である。この構成を解くと、元の流れは(Ω,ν)上の基本変換Tの天井関数hの下で構築された流れと同型であることがわかる。 ^{[5] [6] [7]}

上記の推論は、B = Aという仮定のもとで行われた。一般に、A_は、 B ₀ を含み、 σ _tに関して不変であり、 A ₀内の 任意のfに対して σ _t ( f ) がtのノルム連続関数となるようなノルム閉可分単位 *-部分代数A 0 に置き換えられる。 A _{0 を}構築するには、まず、tが有理数である σ _tに関して不変な可算な数の射影からなるフォン・ノイマン代数Aの生成集合を取る。この可算な射影集合のそれぞれを、 σ _tに関して区間 [0, N ⁻¹ ]での平均に置き換えます。これらが生成するノルム閉単位 *-代数はA ₀となる。定義により、これにはB ₀ = C( Y ) が含まれる。ゲルファント・ナイマルクの定理により、A _{0は C(} X )の形をとる。上記のa _rを使った構成はここでも同様に適用されます。実際、B _0はA ₀の部分代数なので、Y はXの連続商であり、そのためa _rなどの関数はX上の関数でもあります。したがって、この構成は商写像を通じて必要な変更を加えてAに引き継がれます。

まとめると、M = L ^∞ ( Y ,λ)へのZ × Rのエルゴード作用は、作用 τ ⁿと σ _tの可換性によって与えられる測度空間 ( Y ,λ) とエルゴード作用が存在し、 ( Z )に同型なMの τ 不変部分代数と、 L ^∞ ( R ) に同型なMの σ 不変部分代数が存在する。元のエルゴードフローは σ のM ^τへの制限によって与えられ、対応する基本変換は τ のM ^σへの制限によって与えられる。^{[8] [9]}${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

フローが与えられれば、フローを構築するために使用できる 2 つの異なる単一基底変換がどのように関連しているかを記述することができます。^{[10] は、}ZのYへの作用、つまり可逆なYへの変換T _Yに変換することができます。集合論的には、 T _Y ( x ) はT ^m ( x )と定義され、 m ≥ 1は、 T ^m ( x )がXに含まれる最小の整数です。同じプロセスをTの逆に適用すると、 T _Yの逆が得られることは明らかです。この構築は、測度理論的に次のように記述できます。e = χ _{Y を}B = L ^∞ ( X ,ν) で ν( e ) ≠ 0 とします。すると、e は、次のように定義される射影e _nの直交和になります。

${\displaystyle e_{1}=e\tau ^{-1}(e),\,\,e_{2}=e(1-\tau ^{-1}(e))\tau ^{-2 }(e),\,\,e_{3}=e(1-\tau ^{-1}(e))(1-\tau ^{-2}(e))\tau ^{-3} (e),...}$

そして、f がe _n Bに含まれる場合、対応する自己同型は τ _e ( f ) = τ ⁿ ( f ) です。

これらの定義では、 B ₁とB ₂の2 つのエルゴード変換 τ ₁、 τ ₂が同じフローから生じます。ただし、B ₁とB ₂に非ゼロの射影e ₁とe ₂があり、システム (τ ₁ ) _{e 1}、e ₁ B ₁と (τ ₂ ) _{e 2}、e ₂ B ₂が同型である場合に限ります。

• アノソフフロー
• 公理A