最大エルゴード定理

最大エルゴード定理は、数学の一分野であるエルゴード理論における定理です。

が確率空間、が（おそらく非可逆な）測度保存変換、そして であるとする。次のように 定義する。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle T:X\to X}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mu ,\mathbb {R} )}$${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle f^{*}=\sup _{N\geq 1}{\frac {1}{N}}\sum _{i=0}^{N-1}f\circ T^{i}.}$

最大エルゴード定理は次のように述べている。

${\displaystyle \int _{f^{*}>\lambda }f\,d\mu \geq \lambda \cdot \mu \{f^{*}>\lambda \}}$

任意の λ ∈ Rに対して。

この定理は、点ごとのエルゴード定理を証明するために使用されます。

• キーン、マイケル、ピーターセン、カール (2006)、「エルゴード定理と最大エルゴード定理の簡単でほぼ同時の証明」、ダイナミクスと確率、数理統計研究所講義ノート - モノグラフシリーズ、第 48 巻、pp. 248–251、arXiv : math/0004070、doi :10.1214/074921706000000266、ISBN 0-940600-64-1。