BGS推測

ボヒガス・ジャンノーニ・シュミット（BGS）予想（ランダム行列予想とも呼ばれる）は、自由度が少ない単純な量子力学系（古典的極限を持つエルゴード系）に対して、古典的類似物がK系である時間反転不変系のスペクトルがGOE（ガウス直交アンサンブル）によって予測されるのと同じゆらぎ特性を示すことを主張する。^{[ 1 ] [ 2 ]}

あるいは、古典的なカオス量子系のスペクトルゆらぎの尺度は、同じ対称性クラス（ユニタリー、直交、またはシンプレクティック）の標準的なランダム行列アンサンブルのスペクトルゆらぎの尺度と一致する。

つまり、古典的なカオスシステムの微視的な類似物のハミルトニアンは、ガウスアンサンブルからのランダム行列によってモデル化することができ、カオスハミルトニアン演算子の固有値間のいくつかの間隔の距離は、一般的に大きなランダム行列の固有値の間隔法則と統計的に相関する。

古典的なカオス系における展開された量子エネルギー準位がこのように相関する簡単な例としては、シナイビリヤードが挙げられる。

• エネルギーレベル：${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2{\mathit {m}}}}\bigtriangledown ^{2}\psi +{\mathit {V}}({\mathit {x}})\psi ={{\mathit {E}}_{\mathit {i}}}\psi }$
• スペクトル密度:${\displaystyle \rho ({\mathit {x}})=\sum _{\mathit {i}}\delta ({\mathit {x}}-{\mathit {E}}_{\mathit {i}})}$
• 平均スペクトル密度：${\displaystyle \langle \rho ({\mathit {x}})\rangle }$
• 相関：${\displaystyle \langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle -\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle \langle \rho ({\mathit {y}})\rangle }$
• 展開：${\displaystyle \rho ({\mathit {x}})\rightarrow {\frac {\rho ({\mathit {x}})}{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle }}}$
• 展開された相関関係：${\displaystyle {\frac {\langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle }{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle \langle \rho ({\mathit {y}})\rangle }}-1}$
• BGSの推測：${\displaystyle {\frac {\langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle }{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle \langle \rho ({\mathit {y}})\rangle }}-1={\frac {\langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle _{\operatorname {RMT} }}{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle _{\operatorname {RMT} }\langle \rho ({\mathit {y}})\rangle _{\operatorname {RMT} }}}-1}$

数値的な裏付けがあるにもかかわらず、この推測は未だ証明されていない。

• ScholarpediaのBGS 予想。