群同型性

抽象代数学において、群同型とは、与えられた群演算を尊重する方法で群の要素間の一対一関係を確立する2つの群間の関数である。2つの群の間に同型が存在する場合、その群は同型であると呼ばれる。群論の観点からは、同型群は同じ性質を持ち、区別する必要はない。^[1]

2つの群とから への群同型が与えられた場合、からへの全単射群準同型となる。詳しく述べる と、群同型は全単射関数であり、 とにおいて以下が成り立つことを意味する。${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot ),}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

2つの群とが同型であるとは、一方から他方への同型が存在する場合である。^{[1] [2]}これは次のように書かれる。 ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$$${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

より短くて簡単な表記法が使われることが多い。関連するグループ演算が理解されている場合は、それらを省略して次のように書く。 $${\displaystyle G\cong H.}$$

時には、単に次のように書くこともできます。このような表記が混乱や曖昧さなしに可能かどうかは、コンテキストによって異なります。たとえば、グループが両方とも同じグループのサブグループである場合、等号はあまり適切ではありません。例も参照してください。 ${\displaystyle G=H.}$

逆に、群、集合、一対一の集合が与えられた場合、群を定義することができる。 ${\displaystyle (G,*),}$${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f:G\to H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (H,\odot )}$$${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

かつであれば、その一対一表現は自己同型である（qv）。 ${\displaystyle H=G}$${\displaystyle \odot =*}$

直感的に、群論者は 2 つの同型群を次のように見ています。群のあらゆる元に対して、と「同じように動作する」(群の他の元と と同じように動作する)の元が存在します。たとえば、が を生成する場合、 も を生成します。これは特に、と が全単射対応していることを意味します。したがって、同型の定義は非常に自然です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G,}$${\displaystyle h.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

群の同型性は、可逆な群準同型として定義することもできます (全単射群準同型の逆関数も群準同型です)。

このセクションでは、同型群の注目すべき例をいくつか挙げます。

• 加法の下での実数全体の群は、乗法の下での正の実数全体の群と同型である。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$同型性を介して。${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

• 整数群（加算あり）はの部分群であり、因数群は絶対値1の複素数群（乗算あり） と同型です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{1}}$

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• クラインの 4 元群は、の2 つのコピーの直積に同型なので、 と書くことができます。これは二面体群であるため、別の表記法として表すことができます。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$
• これを一般化すると、すべての奇数 に対しては、およびの直積に同型となる。${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• が無限巡回群である場合、 は整数 (加算演算付き) と同型です。代数的な観点からは、これはすべての整数 (加算演算付き) の集合が「唯一の」無限巡回群であることを意味します。${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (G,*)}$

いくつかの群は選択公理に依拠して同型であることが証明できますが、その証明では具体的な同型を構築する方法は示されていません。例:

• この群は加法に関してすべての複素数の群と同型である。 ^[3]${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$
• 乗算を演算とする非ゼロ複素数の群は、上記の群と同型です。${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$${\displaystyle S^{1}}$

からへの同型の核は常に{e _G }である。ここでe _{G は}群の単位元である。${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle (G,*)}$

と が同型である場合、 がアーベルであることは がアーベルであることに限ります。 ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

がからへの同型である場合、任意のに対しての位数はの位数に等しい。${\displaystyle f}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot ),}$${\displaystyle a\in G,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a).}$

と が同型である場合、 が局所有限群であることと、 が局所有限であることは同値です。 ${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (H,\odot )}$

順序 の異なるグループの数（同型性まで）は、OEISのシーケンスA000001で与えられます。最初のいくつかの数字は 0、1、1、1、2 であり、4 が 1 つ以上のグループを持つ最低の順序であることを意味します。 ${\displaystyle n}$

与えられた順序の巡回群はすべて と同型であり、 は法の加算を表す。${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$${\displaystyle +_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

を巡回群とし、をの位数とする。を の生成元とすると、は に等しい。 以下を示します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$$${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

と定義する と 、明らかに、は単射である。すると 、$${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

定義から、任意の同型写像はの単位元を の単位元に写像し、逆写像は逆写像に、 より一般的には乗を 乗に 写像し、 逆写像も群同型であることが分かります。 ${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$$${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$

「同型である」という関係は同値関係です。 が2 つのグループ間の同型である場合、について真であり、グループ構造にのみ関連するすべてのことは、 を介してについての真の同型ステートメントに変換でき、その逆も同様です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle H,}$

群からそれ自身への同型写像は群の自己同型写像​​と呼ばれる。つまり、それは次のような 一対一写像である。${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle f:G\to G}$$${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

共役類の自己同型による像は常に共役類（同じか別の）である。

2つの自己同型の合成もまた自己同型であり、この操作により、それ自身で表された群のすべての自己同型の集合は群を形成し、その自己同型群は${\displaystyle G,}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$${\displaystyle G.}$

すべてのアーベル群に対して、少なくとも群の元をその逆元で置き換える自己同型が存在します。しかし、すべての元がその逆元に等しい群では、これは自明な自己同型です。たとえば、クラインの 4 元群などです。その群では、3 つの非単位元のすべての順列は自己同型であるため、自己同型群は と同型です(それ自体は と同型です)。 ${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$

では、素数に対して、1 つの非単位元を他の元に置き換えることができ、他の元もそれに応じて変化します。自己同型群は と同型です。たとえば、のすべての元に 3 を掛け、7 を法とします。は、自己同型群において 6 次自己同型です。これは、それより低いべき乗では 1 にならないためです。したがって、この自己同型は を生成します。この特性を持つ自己同型がもう 1 つあります。 のすべての元に 5 を掛け、7 を法とします。したがって、これら 2 つは、その順序で の元 1 と 5 に対応し、その逆も同様です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$${\displaystyle n=7,}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

の自己同型群はと同型です。なぜなら、2 つの要素 1 と 5 のそれぞれのみが生成し、恒等式を除けばこれらを交換することしかできないからです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$

の自己同型群の位数は 168 で、次のように求められます。 7 つの非恒等元はすべて同じ役割を果たすため、 の役割を果たすものを選択できます。 残りの 6 つのうちのどれかが (0,1,0) の役割を果たすように選択できます。 これにより、 に対応する元が決まります。 については、から選択でき、これによって残りが決まります。 したがって、自己同型が得られます。 これらはファノ平面の自己同型に対応し、その 7 つの点は 7 つの非恒等元に対応します。 3 つの点を結ぶ線は、群演算に対応します。および が1 つの線上にあることは、および を意味します。有限体上の一般線型群も参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle (1,0,0).}$${\displaystyle (1,1,0).}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+b=c,}$ ${\displaystyle a+c=b,}$${\displaystyle b+c=a.}$

アーベル群の場合、すべての非自明な自己同型は外部自己同型です。

非可換群には非自明な内部自己同型群があり、外部自己同型も存在する可能性があります。

• 群同型性問題
• 一対一対応 – 一対一対応

• Herstein, IN (1975)。代数学のトピック（第2版）。ニューヨーク：John Wiley & Sons。ISBN 0471010901。