ハーン・バナッハの定理

関数解析において、ハーン・バナッハの定理は、あるベクトル空間のベクトル部分空間で定義された有界線形汎関数を空間全体に拡張することを可能にする中心的な結果である。この定理はまた、双対空間を研究するために、すべてのノルム付きベクトル空間で定義された十分な連続線形汎関数が存在することも示している。ハーン・バナッハの定理の別のバージョンは、ハーン・バナッハ分離定理または超平面分離定理として知られており、凸幾何学において数多くの用途がある。

歴史

この定理は、1920年代後半にそれぞれ独立に証明した数学者ハンス・ハーンとシュテファン・バナッハにちなんで名付けられました。空間に対するこの定理の特殊なケース $C[a,b]$ 区間上の連続関数の拡張定理は、1912 年にエドゥアルト・ヘリーによって証明されており、^{[ 1 ]}ハーン・バナッハの定理を導出できるより一般的な拡張定理であるM. リース拡張定理は、1923 年にマルセル・リースによって証明された。^{[ 2 ]}

最初のハーン・バナッハの定理は、 1912年にエドゥアルト・ヘリーによって証明され、ある種のノルム空間の部分空間上で定義された特定の線形汎関数が、 $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ ) は同じノルムの拡張を持っていた。ヘリーは、まず 1 次元拡張(線形汎関数の定義域が 1 次元拡張される) が存在することを証明し、次に帰納法を用いるという手法でこれを行った。1927 年、ハーンは一般のバナッハ空間を定義し、ヘリーの手法を用いてバナッハ空間に対するハーン・バナッハ定理のノルム保存版 (部分空間上の有界線形汎関数が同じノルムの有界線形拡張を空間全体に持つ) を証明した。1929 年、ハーンの結果を知らなかったバナッハは、ノルム保存版を劣線形関数を用いる支配拡張版に置き換えることでこれを一般化した。ヘリーの証明は数学的帰納法を用いたが、ハーンとバナッハはともに超限帰納法を用いた。^{[ 3 ]}

ハーン・バナッハの定理は、無限個の線形方程式系を解こうとする試みから生まれた。これは、モーメント問題のような問題を解くために必要となる。モーメント問題とは、関数のすべての潜在的なモーメントが与えられたとき、それらのモーメントを持つ関数が存在するかどうかを判定し、存在する場合は、それらのモーメントを用いてその関数を求める問題である。フーリエ余弦級数問題も同様の問題であり、フーリエ余弦のすべての潜在的な係数が与えられたとき、それらの係数を持つ関数が存在するかどうかを判定し、存在する場合は、その関数を求める問題である。

リースとヘリーは、特定のクラスの空間（例えば、 $L^{p}([0,1])$ そして $C([a,b])$ ）彼らは、解の存在が特定の線形汎関数の存在と連続性に等しいことを発見した。事実上、彼らは次の問題を解決する必要があった。^{[ 3 ]}

（ベクトル問題）コレクションが与えられた場合

\left(f_{i}\right)_{i\in I}

ノルム空間上の有界線形汎関数

X

そしてスカラーの集合

\left(c_{i}\right)_{i\in I},

存在するかどうかを判断する

x\in X

そのため

f_{i}(x)=c_{i}

すべての人々のために

i\in I.

もし $X$ 反射空間である場合、ベクトル問題を解くには、次の双対問題を解けば十分である。^{[ 3 ]}

（機能的な問題）コレクションが与えられた場合

\left(x_{i}\right)_{i\in I}

ノルム空間におけるベクトル

X

そしてスカラーの集合

\left(c_{i}\right)_{i\in I},

有界な線形汎関数が存在するかどうかを判定する

f

の上

X

そのため

f\left(x_{i}\right)=c_{i}

すべての人々のために

i\in I.

リースは定義を続けた $L^{p}([0,1])$ 空間（ $1<p<\infty$ ）1910年に $\displaystyle \ell ^{p}}$ 1913年に空間を研究していた彼は、これらの空間を研究する中で、ハーン・バナッハの定理の特殊な場合を証明した。ヘリーも1912年にハーン・バナッハの定理の特殊な場合を証明した。1910年にリースは特定の空間について関数問題を解決し、1912年にヘリーはより一般的なクラスの空間についてそれを解決した。1932年になってようやく、バナッハはハーン・バナッハの定理の最初の重要な応用の1つで、一般的な関数問題を解決した。次の定理は、一般的な関数問題を述べ、その解を特徴づけている。^{[ 3 ]}

定理^{[ 3 ]}（関数問題）— $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ 実数または複素数のノルム空間におけるベクトルである。 $X$ そして $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ スカラーでもあり、インデックスも付けられる $I\neq \varnothing .$

連続線形関数が存在する $f$ の上 $X$ そのため $f\left(x_{i}\right)=c_{i}$ すべての人々のために $i\in I$ 存在する場合に限り $K>0$ 任意のスカラーの選択に対して $\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ 有限個を除くすべて $s_i$ は $0,$ 以下のことが成り立つ。 $\left|\sum _{i\in I}s_{i}c_{i}\right|\leq K\left\|\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\right\|.$

ハーン・バナッハの定理は上記の記述を暗示している。^{[ 3 ]}それを確認するには、連続線形汎関数の存在を観察するだけでよい。 $f:X\longrightarrow {\mathbb {K} }$ 、どこ ${\mathbb {K} }$ どちらか ${\mathbb {R} }$ または ${\mathbb {C} }$ は、単に $K$ （有限）ノルム $f$ は非負の実数である。逆については、 $M$ のベクトル部分空間とする $X$ 家族によって生成された $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ すると、この不等式は、明確に定義された線形関数が存在することを意味する。 $g:M\longrightarrow {\mathbb {K} }$ 、したがって $g\left(x_{i}\right)=c_{i}$ すべての $i\in I$ さらに、前述の不等式は、この線形関数が $g$ も連続であり、その規範は $\vert \vert g\vert \vert$ 境界は $K$ 連続線形演算子として。とにかく、 $p:X\longrightarrow {\mathbb {R} }$ 定義される $p(v):=K\vert \vert v\vert \vert$ 我々はすぐに次の結論を下す。 $p$ 半規範であり、 $\vert g(w)\vert \leq p(w)$ すべての $w\in M$ したがって、ハーン・バナッハの定理（下記の「実数または複素数」バージョンを参照）は、次の存在を意味する。 $f:V\longrightarrow {\mathbb {K} }$ 拡張 $g$ ノルムは、線形演算子として、以下によって上から制限される。 $K$ したがって、連続的である。 $f$ g を拡張すると、 $f$ 最初の主張を満たす。言い換えれば、ハーン＝バナッハの定理は、述べられているようにこの定理を導く。 $X$ は再帰的であり、どちらの文も同等です。

ハーン・バナッハの定理

実数値関数 $f:M\to \mathbb {R}$ 部分集合上で定義される $M$ の $X$ と言われている（上図のように）関数 $p:X\to \mathbb {R}$ もし $f(m)\leq p(m)$ すべての $m\in M.$ このため、ハーン・バナッハの定理の次のバージョンは、優越拡張定理と呼ばれます。

ハーン・バナッハの優越拡張定理（実線形汎関数について）^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} —もし $p:X\to \mathbb {R}$ は、実ベクトル空間上で定義された劣線形関数（例えば、ノルムやセミノルムなど）である。 $X$ すると、ベクトル部分空間上で定義された任意の線形汎関数 $X$ 上から支配されている $p$ 少なくとも 1 つの線形拡張がすべての $X$ また、上方では $p.$

具体的には、 $p:X\to \mathbb {R}$ は劣線形関数であり、定義上、以下の条件を満たす。 $p(x+y)\leq p(x)+p(y)\quad {\text{ and }}\quad p(tx)=tp(x)\qquad {\text{ for all }}\;x,y\in X\;{\text{ and all real }}\;t\geq 0,$ そしてもし $f:M\to \mathbb {R}$ ベクトル部分空間上で定義された線形汎関数である。 $M$ の $X$ そのため $f(m)\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M$ すると線形汎関数が存在する $F:X\to \mathbb {R}$ そのため $F(m)=f(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$ $F(x)\leq p(x)\quad ~\;\,{\text{ for all }}x\in X.$ さらに、もし $p$ それはセミノルムです $|F(x)|\leq p(x)$ 必然的にすべてに当てはまる $x\in X.$

定理は、以下の要件が満たされる場合に真であり続ける。 $p$ 緩和されて、 $p$ 凸関数である: ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} $p(tx+(1-t)y)\leq tp(x)+(1-t)p(y)\qquad {\text{ for all }}0<t<1{\text{ and }}x,y\in X.$ 関数 $p:X\to \mathbb {R}$ 凸であり、 $p(0)\leq 0$ かつその場合に限り $p(ax+by)\leq ap(x)+bp(y)$ すべてのベクトルについて $x,y\in X$ およびすべての非負の実数 $a,b\geq 0$ そのため $a+b\leq 1.$ すべての劣線形関数は凸関数である。一方、 $p:X\to \mathbb {R}$ 凸型で $p(0)\geq 0,$ すると、関数は次のように定義されます。 $p_{0}(x)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\inf _{t>0}{\frac {p(tx)}{t}}$ は正に均質である（なぜなら、すべての $x$ そして $r>0$ 1つは $p_{0}(rx)=\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{t}}=r\inf _{t>0}{\frac {p(trx)}{tr}}=r\inf _{\tau >0}{\frac {p(\tau x)}{\tau }}=rp_{0}(x)$ ）したがって凸関数であるため、劣線形である。また、上界はである。 $p_{0}\leq p,$ そして満たす $F\leq p_{0}$ すべての線形関数に対して $F\leq p.$ したがって、ハーン・バナッハの定理を凸汎関数に拡張しても、劣線形汎関数に対して述べられた古典的な定理と比べて、内容がそれほど大きく変わるわけではない。

もし $F:X\to \mathbb {R}$ 線形である場合 $F\leq p$ ^[⁴^]の場合に限り $-p(-x)\leq F(x)\leq p(x)\quad {\text{ for all }}x\in X,$ ^{これは、一部の著者[ 4 ]}が代わりに書いている（同等の）結論です。 $F\leq p.$ したがって、 $p:X\to \mathbb {R}$ は対称でもあるので、 $p(-x)=p(x)$ すべての $x\in X,$ それから $F\leq p$ かつその場合のみ $|F|\leq p.$ すべてのノルムはセミノルムであり、どちらも対称でバランスのとれた劣線形関数です。劣線形関数がセミノルムであるのは、それがバランスのとれた関数である場合に限ります。実ベクトル空間では（複素ベクトル空間ではそうではありませんが）、劣線形関数がセミノルムであるのは、それが対称である場合に限ります。恒等関数 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ の上 $X:=\mathbb {R}$ これは、半ノルムではない劣線形関数の例です。

複素ベクトル空間または実ベクトル空間の場合

実線形汎関数に対する優拡張定理は、実ベクトル空間または複素ベクトル空間上の線形汎関数に適用できる、ハーン・バナッハの定理の次の別表現を示唆する。

ハーン・バナッハの定理^{[ 3 ]}^{[ 9 ]} —仮定する $p:X\to \mathbb {R}$ ベクトル空間上の半ノルム $X$ フィールド全体にわたって $\mathbf {K} ,$ それは $\mathbb {R}$ または $\mathbb {C} .$ もし $f:M\to \mathbf {K}$ ベクトル部分空間上の線形汎関数である $M$ そのため $|f(m)|\leq p(m)\quad {\text{ for all }}m\in M,$ すると線形汎関数が存在する $F:X\to \mathbf {K}$ そのため $F(m)=f(m)\quad \;{\text{ for all }}m\in M,$ $|F(x)|\leq p(x)\quad \;\,{\text{ for all }}x\in X.$

定理は、以下の要件が満たされる場合に真であり続ける。 $p$ すべての $x,y\in X$ そしてすべてのスカラー $a$ そして $b$ 満足 $|a|+|b|\leq 1,$ ^{[ 8 ]} $p(ax+by)\leq |a|p(x)+|b|p(y).$ この条件は、以下の場合に限り成り立ちます。 $p$ 凸関数でバランスが取れており、 $p(0)\leq 0,$ または同等に、凸である場合に限り、以下を満たす。 $p(0)\leq 0,$ そして $p(ux)\leq p(x)$ すべての人々のために $x\in X$ およびすべての単位長さスカラー $u.$

複素数値関数 $F$ と言われている支配的 $p$ もし $|F(x)|\leq p(x)$ すべての人々のために $x$ の領域において $F.$ この用語を用いると、ハーン＝バナッハの定理の上記の記述は、より簡潔に言い換えることができる。

ハーン・バナッハの優越拡張定理：

p:X\to \mathbb {R}

は、実数または複素数のベクトル空間上で定義される半ノルムである。

X,

すると、ベクトル部分空間上で定義されたすべての支配線形関数は

X

すべての線形拡張を支配する

X.

の場合

X

は実ベクトル空間であり、

p:X\to \mathbb {R}

が単に凸関数または劣線形関数である場合、この結論は「支配される」（つまり

|F|\leq p

) は弱まり、「支配される」という意味になります (つまり、

F\leq p

). ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

証拠

以下の考察により、実ベクトル空間に対するハーン・バナッハの定理を、複素ベクトル空間上の（複素数値）線形汎関数に適用することが可能になる。

すべての線形関数 $F:X\to \mathbb {C}$ 複素ベクトル空間における値は、その実部によって完全に決定される。 $\;\operatorname {Re} F:X\to \mathbb {R} \;$ 式^{[ 6 ]}^{[証明1 ]を通して} $F(x)\;=\;\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix)\qquad {\text{ for all }}x\in X$ さらに、もし $\|\cdot \|$ は規範である $X$ すると、それらの双対規範は等しい。 $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|.$ ^{[ 10 ]} 特に、線形汎関数は $X$ に定義された別のものを拡張します $M\subseteq X$ 実部が等しい場合に限り、 $M$ （言い換えれば、線形汎関数 $F$ 拡張 $f$ かつその場合に限り $\operatorname {Re} F$ 拡張 $\operatorname {Re} f$ ) 上の線形汎関数の実部 $X$ 常に実線形関数（つまり、次の場合に線形である） $X$ 実ベクトル空間とみなされ、 $R:X\to \mathbb {R}$ 複素ベクトル空間上の実線形汎関数である場合 $x\mapsto R(x)-iR(ix)$ 一意の線形関数を定義する $X$ その実部は $R.$

もし $F$ は（複素数または実数）ベクトル空間上の線形汎関数である。 $X$ そしてもし $p:X\to \mathbb {R}$ はセミノルムである^{[ 6 ]}^{[証明2 ]} $|F|\,\leq \,p\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Re} F\,\leq \,p.$ より簡単な言葉で言うと、線形汎関数は半ノルムによって支配される。 $p$ その実部が上に支配される場合に限り、 $p.$

複素ベクトル空間に対するハーン・バナッハ定理の証明（実ベクトル空間への還元による） ^{[ 3 ]}

仮定する $p:X\to \mathbb {R}$ は複素ベクトル空間上の半ノルムである。 $X$ そして $f:M\to \mathbb {C}$ ベクトル部分空間上で定義された線形汎関数とする $M$ の $X$ 満たす $|f|\leq p$ の上 $M.$ 考慮する $X$ 実ベクトル空間として扱い、実ベクトル空間に対するハーン・バナッハの定理を実線形関数に適用する。 $\;\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R} \;$ 実線形拡張を取得する $R:X\to \mathbb {R}$ また、上方では $p,$ そうすれば、 $R\leq p$ の上 $X$ そして $R=\operatorname {Re} f$ の上 $M.$ 地図 $F:X\to \mathbb {C}$ 定義される $F(x)\;=\;R(x)-iR(ix)$ は線形汎関数である $X$ 拡張する $f$ （なぜなら、彼らの実際の部分は同意しているから $M$ ）を満たし、 $|F|\leq p$ の上 $X$ （なぜなら $\operatorname {Re} F\leq p$ そして $p$ （半規範である）。 $\blacksquare$

上記の証明は、 $p$ がセミノルムである場合、支配線形拡張の間には一対一の対応関係がある。 $f:M\to \mathbb {C}$ そして、実線形拡張を支配する $\operatorname {Re} f:M\to \mathbb {R$ 証明では、線形拡張を明示的に構成するための公式も与えられています。 $f$ その実部を任意の実線形拡張したものから得られる。

連続

線形関数 $F$ 位相ベクトル空間上のベクトルが連続であるのは、その実部が連続である場合に限る。 $\operatorname {Re} F;$ 領域がノルム空間である場合、 $\|F\|=\|\operatorname {Re} F\|$ （片側が無限であるのは、もう片側が無限である場合に限る。）^{[ 10 ]} 仮定する $X$ は位相ベクトル空間であり、 $p:X\to \mathbb {R}$ は劣線形関数です。 $p$ は、線形関数を支配する連続劣線形関数である。 $F$ それから $F$ は必然的に連続である。^{[ 6 ]}さらに、線形関数は $F$ は、その絶対値が $|F|$ （これは支配的な半規範です $F$ ）は連続である。^{[ 6 ]}特に、線形汎関数は、ある連続劣線形関数によって支配される場合に限り連続である。

証拠

実ベクトル空間に対するハーン・バナッハの定理は、線形汎関数が拡張される特殊な場合に対するヘリーの初期結果から最終的に導かれる。 $M$ より大きなベクトル空間では $M$ 共次元を持つ $1.$ ^{[ 3 ]}

補題^{[ 6 ]}（ 1次元優勢拡張定理）— $p:X\to \mathbb {R}$ 実ベクトル空間上の劣線形関数である $X,$ させて $f:M\to \mathbb {R}$ 適切なベクトル部分空間上の線形汎関数 $M\subsetneq X$ そのため $f\leq p$ の上 $M$ （意味 $f(m)\leq p(m)$ すべての人々のために $m\in M$ )、そして $x\in X$ ではないベクトルである $M$ （それで $M\oplus \mathbb {R} x=\operatorname {span} \{M,x\}$ ) 線形拡張が存在する $F:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ の $f$ そのため $F\leq p$ の上 $M\oplus \mathbb {R} x.$

証明^{[ 6 ]}

任意の実数が与えられた場合 $b,$ 地図 $F_{b}:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ 定義される $F_{b}(m+rx)=f(m)+rb$ は常に線形拡張である $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ ^{[注1 ]}しかし、それでは満足できないかもしれない $F_{b}\leq p.$ これから示すのは $b$ 常に選択して保証することができます $F_{b}\leq p,$ これで証明が完了する。

もし $m,n\in M$ それから $f(m)-f(n)=f(m-n)\leq p(m-n)=p(m+x-x-n)\leq p(m+x)+p(-x-n)$ これは、 $-p(-n-x)-f(n)~\leq ~p(m+x)-f(m).$ では定義する $a=\sup _{n\in M}[-p(-n-x)-f(n)]\qquad {\text{ and }}\qquad c=\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)]$ どこ $a\leq c$ 実数です。 $F_{b}\leq p,$ それで十分です $a\leq b\leq c$ （実際、これも必要である^{[注2 ]}）なぜなら、 $b$ 「決定的な不等式」^{[ 6 ]を満たす} $-p(-n-x)-f(n)~\leq ~b~\leq ~p(m+x)-f(m)\qquad {\text{ for all }}\;m,n\in M.$

それを見るために $f(m)+rb\leq p(m+rx)$ 以下に続く、^{[注3 ]}仮定する $r\neq 0$ そして代替する ${\tfrac {1}{r}}m$ 両方に $m$ そして $n$ 取得する $-p\left(-{\tfrac {1}{r}}m-x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right)~\leq ~b~\leq ~p\left({\tfrac {1}{r}}m+x\right)-{\tfrac {1}{r}}f\left(m\right).$ もし $r>0$ （それぞれ、もし $r<0$ ) すると右辺（または左辺）は ${\tfrac {1}{r}}\left[p(m+rx)-f(m)\right]$ そのため、 $r$ 与える $rb\leq p(m+rx)-f(m).$ $\blacksquare$

この補題は、以下の場合に真となる。 $p:X\to \mathbb {R}$ これは単に劣線形関数ではなく凸関数である。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

上記の補題は、ツォルンの補題から支配拡張定理を導出する上で重要なステップである。

ツォルンの補題を用いた支配拡張定理の証明

支配可能な線形拡張の集合 $f$ 互いに拡張によって部分的に順序付けられているため、最大拡張が存在する $F.$ 余次元1の結果によれば、 $F$ はすべての上で定義されていません $X,$ そうすればさらに拡張できる。したがって $F$ 主張どおり、あらゆる場所で定義されなければならない。 $\blacksquare$

いつ $M$ が可算余次元を持つ場合、帰納法と補題を用いることでハーン・バナッハの定理の証明が完了する。一般の場合の標準的な証明ではツォルンの補題を用いるが、厳密に弱い超フィルター補題^{[ 11 ]} (これはコンパクト性定理およびブール素イデアル定理と同等である) を代わりに用いることもできる。ハーン・バナッハは、コンパクトハウスドルフ空間に対するチコノフの定理^[¹²^] (これも超フィルター補題と同等である)を用いて証明することもできる。

Mizarプロジェクトは、 HAHNBANファイル内のハーン・バナッハの定理の証明を完全に形式化し、自動的に検証しました。^{[ 13 ]}

連続拡張定理

ハーン・バナッハの定理は、連続線形汎関数の連続線形拡張の存在を保証するために使用できます。

ハーン・バナッハ連続拡張定理^{[ 14 ]} —すべての連続線形汎関数 $f$ ベクトル部分空間上で定義される $M$ （実数または複素数の）局所凸位相ベクトル空間 $X$ 連続的な線状拡張を持つ $F$ すべての人へ $X.$ さらに $X$ がノルム空間である場合、この拡張は、その双対ノルムがの双対ノルムと等しくなるように選択できます。 $f.$

圏論的な観点から言えば、ベクトル空間の基礎となる体は、局所凸ベクトル空間の圏における単射対象である。

ノルム空間（または半ノルム空間）上の線形拡張 $F$ 有界線形汎関数の $f$ と言われている元の汎関数と同じ双対ノルムを持つ場合、ノルム保存である。 $\|F\|=\|f\|.$ この用語のため、上記の定理の後半部分は、ハーン・バナッハの定理の「ノルム保存」バージョンと呼ばれることがある。 ^{[ 15 ]}具体的には：

ノルム保存ハーン・バナッハ連続拡張定理^{[ 15 ]} —すべての連続線形汎関数 $f$ ベクトル部分空間上で定義される $M$ （実数または複素数の）ノルム空間の $X$ 連続的な線状拡張を持つ $F$ すべての人へ $X$ 満たす $\|f\|=\|F\|.$

連続拡張定理の証明

以下の観察により、ハーン・バナッハの定理から連続拡張定理を導き出すことができる。^[¹⁶^]

線形汎関数の絶対値は常に半ノルムです。 $F$ 位相ベクトル空間上 $X$ は、その絶対値が $|F|$ は連続であり、これは連続セミノルムが存在する場合に限り起こる。 $p$ の上 $X$ そのため $|F|\leq p$ の領域において $F.$ ^{[ 17 ]} もし $X$ が局所凸空間である場合、線形関数が $F$ は、の真ベクトル部分空間上で定義される。 $X.$

局所凸空間に対する連続拡張定理の証明^{[ 16 ]}

させて $f$ ベクトル部分空間上で定義された連続線形汎関数とする $M$ 局所凸位相ベクトル空間の $X.$ なぜなら $X$ は局所的に凸であり、連続なセミノルムが存在する。 $p:X\to \mathbb {R}$ の上 $X$ 支配的 $f$ （つまり、 $|f(m)|\leq p(m)$ すべての人々のために $m\in M$ )ハーン・バナッハの定理により、の線形拡張が存在する。 $f$ に $X,$ それを呼ぶ $F,$ 満たす $|F|\leq p$ の上 $X.$ この線形関数 $F$ 連続であるため $|F|\leq p$ そして $p$ これは連続半ノルムである。

ノルム空間の証明

線形関数 $f$ ノルム空間上のノルムが連続であるのは、それが有界である場合のみであり、これはその双対ノルムが $\|f\|=\sup\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}$ 有限である場合、 $|f(m)|\leq \|f\|\|m\|$ すべてのポイントで成り立つ $m$ その領域内で。さらに、もし $c\geq 0$ は、 $|f(m)|\leq c\|m\|$ すべての人々のために $m$ 関数の定義域では、必然的に $\|f\|\leq c.$ もし $F$ は線形汎関数の線形拡張である $f$ すると、それらの二重規範は常に満たされる $\|f\|\leq \|F\|$ ^{[証明3 ]} 等号が $\|f\|=\|F\|$ と同等 $\|F\|\leq \|f\|,$ これは、 $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ すべてのポイントについて $x$ 拡張機能のドメイン内。これは関数の観点から言い換えることができる。 $\|f\|\,\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ 定義される $x\mapsto \|f\|\,\|x\|,$ これは常にセミノルムである：^{[注4 ]}

有界線形汎関数の線形拡張

f

拡張がセミノルムによって支配される場合に限り、ノルム保存的である。

\|f\|\,\|\cdot \|.

ハーン・バナッハの定理を適用する $f$ この半規範により $\|f\|\,\|\cdot \|$ したがって、ノルムが（必然的に）に等しい支配線形拡張が生成される。 $f,$ これは定理を証明する。

ノルム保存ハーン・バナッハ連続拡張定理の証明^{[ 15 ]}

させて $f$ ベクトル部分空間上で定義された連続線形汎関数とする $M$ ノルム空間の $X.$ 次に関数 $p:X\to \mathbb {R}$ 定義される $p(x)=\|f\|\,\|x\|$ はセミノルムです $X$ 支配的 $f,$ つまり $|f(m)|\leq p(m)$ すべての $m\in M.$ ハーン・バナッハの定理により、線形汎関数が存在する。 $F$ の上 $X$ 拡張する $f$ （保証する） $\|f\|\leq \|F\|$ ）そしてそれはまた $p,$ つまり $|F(x)|\leq p(x)$ すべての $x\in X.$ 事実 $\|f\|$ は実数で、 $|F(x)|\leq \|f\|\|x\|$ すべての $x\in X,$ 保証 $\|F\|\leq \|f\|.$ 以来 $\|F\|=\|f\|$ 有限であり、線形関数 $F$ 有界であるため、連続である。

非局所凸空間

位相ベクトル空間(TVS)の場合、連続拡張定理は失敗する可能性があります。 $X$ は局所凸ではない。例えば、 $0<p<1,$ ルベーグ空間 $L^{p}([0,1])$ は、局所凸ではない完備な距離化可能な TVS ( F 空間)です(実際、凸な開部分集合は 1 つだけです)。 $L^{p}([0,1])$ （そして空集合）と、上の唯一の連続線形関数 $L^{p}([0,1])$ 定数 $0$ 関数（Rudin 1991 、§1.47）。 $L^{p}([0,1])$ ハウスドルフ空間は、すべての有限次元ベクトル部分空間である。 $M\subseteq L^{p}([0,1])$ ユークリッド空間と線形同相である $\mathbb {R} ^{\dim M}$ または $\mathbb {C} ^{\dim M}$ （F.リースの定理により）したがって、すべての非ゼロ線形汎関数 $f$ の上 $M$ は連続しているが、すべてに連続的な線形拡張を持つものはない $L^{p}([0,1]).$ しかし、TVSにとっては $X$ 局所凸ではないが、それでも連続双対空間を持つのに十分な連続線形汎関数を持つ $X^{*}$ 点を分離します。このようなTVSの場合、ベクトル部分空間上で定義された連続線形汎関数は、空間全体への連続線形拡張を持つ可能性があります。

TVS $X$ が局所凸でない場合、連続セミノルムは存在しない可能性がある。 $p:X\to \mathbb {R}$ 定義済み $X$ （単に $M$ ) 支配的 $f,$ この場合、ハーン・バナッハの定理は、上記の連続拡張定理の証明のように適用することはできません。しかし、証明の議論を一般化することで、連続線形汎関数が連続線形拡張を持つ場合の特徴付けを与えることができます。 $X$ は任意の TVS (必ずしも局所凸ではない) であり、連続線形関数である。 $f$ ベクトル部分空間上で定義される $M$ 連続的な線状拡張を持つ $F$ すべての人へ $X$ ある連続セミノルムが存在する場合に限る $p$ の上 $X$ 支配的 $f.$ 具体的には、連続的な線形拡張が与えられた場合 $F$ それから $p:=|F|$ は連続半ノルムである $X$ 支配的 $f;$ 逆に、連続セミノルムが与えられた場合 $p:X\to \mathbb {R}$ の上 $X$ 支配的 $f$ すると、任意の支配線形拡張 $f$ に $X$ （その存在はハーン・バナッハの定理によって保証されている）は連続線形拡張となる。

幾何学的ハーン・バナッハ（ハーン・バナッハ分離定理）

ハーン・バナッハの定理の重要な要素は、根本的には2つの凸集合の分離に関する結果である。 $\{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},$ そして $\{p(m+x)-f(m):m\in M\}.$ この種の議論は、凸幾何学^{[ 18 ]} 、最適化理論、経済学において広く見られる。この目的のために、元のハーン・バナッハの定理から導出された補題は、ハーン・バナッハ分離定理として知られている^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}。これらは、有限次元空間の互いに素な2つの空でない凸部分集合は、超平面分離定理の一般化である。 $\mathbb {R} ^{n}$ は、次の形式のファイバー（レベルセット）であるアフィン超平面によって分離することができる。 $f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}$ どこ $f\neq 0$ は非ゼロの線形関数であり、 $s$ はスカラーです。

定理^{[ 19 ]} —とする $A$ そして $B$ 実局所凸位相ベクトル空間の空でない凸部分集合である $X.$ もし $\operatorname {Int} A\neq \varnothing$ そして $B\cap \operatorname {Int} A=\varnothing$ すると、連続線形関数が存在する $f$ の上 $X$ そのため $\sup f(A)\leq \inf f(B)$ そして $f(a)<\inf f(B)$ すべての人々のために $a\in \operatorname {Int} A$ （そのような $f$ （必ずしもゼロではない）。

凸集合が、例えば開集合やコンパクト集合であるといった追加的な性質を持つ場合、その結論は大幅に強化される。

定理^{[ 3 ]}^{[ 21 ]} — $A$ そして $B$ 実位相ベクトル空間の凸で空でない互いに素な部分集合である $X.$

もし $A$ 開いている場合は $A$ そして $B$ それらは閉じた超平面によって分離されている。具体的には、これは連続的な線形写像が存在することを意味する。 $f:X\to \mathbf {K}$ そして $s\in \mathbb {R}$ そのため $f(a)<s\leq f(b)$ すべての人々のために $a\in A,b\in B.$ 両方 $A$ そして $B$ 開いている場合は、右側も厳密に解釈される可能性があります。
もし $X$ 局所的に凸であり、 $A$ コンパクトで、 $B$ 閉鎖後 $A$ そして $B$ 厳密に分離されている：連続線形写像が存在する $f:X\to \mathbf {K}$ そして $s,t\in \mathbb {R}$ そのため $f(a)<t<s<f(b)$ すべての人々のために $a\in A,b\in B.$

もし $X$ が（実数ではなく）複雑な場合、同じ主張が成り立つが、実数の部分については $f.$

次に、次の重要な系は、幾何学的ハーン・バナッハの定理またはマズールの定理（アスコリ・マズールの定理^{[ 22 ]}としても知られる）として知られています。これは、上記の最初の箇条書きと凸性から導かれます。 $M.$

定理（マズール）^{[ 23 ]} —とする $M$ 位相ベクトル空間のベクトル部分空間である $X$ そして、 $K$ は、空でない凸開部分集合である。 $X$ と $K\cap M=\varnothing .$ すると、閉じた超平面（余次元1のベクトル部分空間）が存在する。 $N\subseteq X$ 含まれる $M,$ しかし、 $K.$

マズールの定理は、ベクトル部分空間（閉じていない部分空間であっても）は線形汎関数によって特徴づけられることを明確にしている。

系^{[ 24 ]}（部分空間と開凸集合の分離）— $M$ 局所凸位相ベクトル空間のベクトル部分空間である。 $X,$ そして $U$ 空でない開凸部分集合で、 $M.$ すると、連続線形汎関数が存在する $f$ の上 $X$ そのため $f(m)=0$ すべての人々のために $m\in M$ そして $\operatorname {Re} f>0$ の上 $U.$

ハイパープレーンのサポート

点は自明に凸であるため、幾何学的ハーン・バナッハの法則によれば、汎関数は集合の境界を検出できる。特に、 $X$ 実位相ベクトル空間であり、 $A\subseteq X$ 凸型で $\operatorname {Int} A\neq \varnothing .$ もし $a_{0}\in A\setminus \operatorname {Int} A$ すると、ある関数が消滅する $a_{0},$ しかし、内部で支えられている $A.$ ^{[ 19 ]}

標準空間と呼ぶ $X$ 各点において滑らかであれば $x$ その単位球内には、単位球への唯一の閉じた超平面が存在する。 $x.$ ケーテは1983年に、ノルム空間は一点で滑らかであることを示した。 $x$ その点においてノルムがガトー微分可能である場合に限る。 ^{[ 3 ]}

バランス型またはディスク型ネイバーフッド

させて $U$ 局所凸位相ベクトル空間における原点の凸平衡近傍である。 $X$ そして、 $x\in X$ は要素ではありません $U.$ すると、連続線形汎関数が存在する $f$ の上 $X$ ^[³^] $\sup |f(U)|\leq |f(x)|.$

アプリケーション

ハーン・バナッハの定理は、関数解析における重要な哲学の最初の兆候である。すなわち、空間を理解するためには、その空間の連続関数を理解する必要があるということである。

例えば、線形部分空間は関数によって特徴付けられます。X $が線形部分空間$ $M$ (必ずしも閉集合ではない)を持つノルムベクトル空間である場合、 $z$ $X$ の要素が $M$ の閉包に含まれない場合、連続線形写像が存在する。 $f:X\to \mathbf {K}$ と $f(m)=0$ すべての人々のために $m\in M,$ $f(z)=1,$ そして $\|f\|=\operatorname {dist} (z,M)^{-1}.$ （これを見るには、 $\operatorname {dist} (\cdot ,M)$ （は劣線形関数である。）さらに、 $z$ $がX$ の要素であるならば、連続線形写像が存在する。 $f:X\to \mathbf {K}$ そのため $f(z)=\|z\|$ そして $\|f\|\leq 1.$ これは、自然注射が $J$ ノルム空間 $X$ からその二重双対空間へ $V^{**}$ 等角投影である。

この最後の結果は、ハーン・バナッハの定理が、より「扱いやすい」位相を見つけるためにしばしば利用できることを示唆している。例えば、関数解析における多くの結果は、空間がハウスドルフ空間または局所凸空間であることを前提としている。しかし、 $X が$ 位相ベクトル空間であり、必ずしもハウスドルフ空間または局所凸空間ではないが、空でない真の凸開集合 $M$ を持つと仮定する。すると、幾何学的ハーン・バナッハの定理は、 $M を$ 他の任意の点から分離する超平面が存在することを意味する。特に、 $X$ 上には非零の汎関数、すなわち連続双対空間が存在しなければならない。 $X^{*}$ は自明ではない。^{[ 3 ]}^{[ 25 ]}によって誘導される弱い位相を持つ $X$ を考慮すると $X^{*},$ すると、 $X は$ 局所凸空間になります。幾何学的ハーン・バナッハの定理の 2 項により、この新しい空間上の弱位相は点を分離します。したがって、この弱位相を持つ $Xは$ ハウスドルフ空間になります。これにより、局所凸位相ベクトル空間から得られるいくつかの結果を、ハウスドルフ空間でも局所凸空間でもない空間に適用できる場合があります。

偏微分方程式

ハーン・バナッハの定理は、事前評価法を適用したい場合によく役立ちます。線形微分方程式を解きたいとしましょう。 $Pu=f$ のために $u,$ と $f$ あるバナッハ空間 $X$ で与えられた場合、サイズを制御できる場合 $u$ に関しては $\|f\|_{X}$ そして私たちは $u$ 適切なテスト関数空間上の有界線形汎関数として $g,$ そうすれば見ることができます $f$ 随伴による線形汎関数として： $(f,g)=(u,P^{*}g).$ 最初は、この関数は、 $P,$ しかし、ハーン・バナッハの定理を用いると、それを全コドメイン $Xに拡張することができる。結果として得られる汎関数は、しばしば$ 方程式の弱解として定義される。

反射的バナッハ空間の特徴付け

定理^{[ 26 ]} —実バナッハ空間は、空でない互いに素な閉凸部分集合の任意のペア（そのうちの1つは有界である）が超平面によって厳密に分離できる場合に限り、反射的である。

フレドホルム理論からの例

ハーン・バナッハの定理の実際の応用例を示すために、ここではハーン・バナッハの定理からほぼ完全に導かれる結果を証明します。

命題—仮に $X$ は、体上のハウスドルフ局所凸TVSである。 $\mathbf {K}$ そして $Y$ はベクトル部分空間である $X$ それはTVSと同型である $\mathbf {K} ^{I}$ ある集合に対して $I.$ それから $Y$ は、 $X.$

証拠

以来 $\mathbf {K} ^{I}$ 完全なTVSなので、 $Y,$ また、ハウスドルフTVSの完全部分集合は閉じているので、 $Y$ は、の閉部分集合である。 $X.$ させて $f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbf {K} ^{I}$ TVS同型写像となるので、各 $f_{i}:Y\to \mathbf {K}$ は連続な全射線形汎関数である。ハーン・バナッハの定理により、各を拡張することができる。 $f_{i}$ 連続線形関数へ $F_{i}:X\to \mathbf {K}$ の上 $X.$ させて $F:=\left(F_{i}\right)_{i\in I}:X\to \mathbf {K} ^{I}$ それで $F$ は連続線形射影であり、その制限は $Y$ は $F{\big \vert }_{Y}=\left(F_{i}{\big \vert }_{Y}\right)_{i\in I}=\left(f_{i}\right)_{i\in I}=f.$ させて $P:=f^{-1}\circ F:X\to Y,$ これは、制限が $Y$ は $P{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ F{\big \vert }_{Y}=f^{-1}\circ f=\mathbf {1} _{Y},$ どこ $\mathbb {1} _{Y}$ は、上の恒等写像を表します。 $Y.$ これは、 $P$ 連続線形射影 $Y$ （つまり、 $P\circ P=P$ ）。したがって $Y$ 補完される $X$ そして $X=Y\oplus \ker P$ TVSのカテゴリーにおいて。 $\blacksquare$

上記の結果を用いて、 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ このような空間は有限次元であるか、またはTVS同型であるため補完されます。 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.$

一般化

一般テンプレート

現在では、ハーン＝バナッハの定理には他にも多くのバージョンが存在する。本稿で紹介する様々なバージョンのハーン＝バナッハの定理の一般的な構成は以下のとおりである。

p:X\to \mathbb {R}

はベクトル空間上の劣線形関数（おそらく半ノルム）である。

X,

M

はベクトル部分空間である

X

（閉鎖されている可能性あり）

f

は線形汎関数である

M

満足

|f|\leq p

の上

M

（そしておそらく他の条件もいくつかある）。すると、線形拡張が存在するという結論に至る。

F

の

f

に

X

そのため

|F|\leq p

の上

X

（追加の特性を持つ場合もある）。

定理^{[ 3 ]} —もし $D$ は、実数または複素数ベクトル空間における吸収円盤である。 $X$ そしてもし $f$ ベクトル部分空間上で定義された線形汎関数とする $M$ の $X$ そのため $|f|\leq 1$ の上 $M\cap D,$ すると線形汎関数が存在する $F$ の上 $X$ 拡張 $f$ そのため $|F|\leq 1$ の上 $D.$

半規範の場合

半ノルムに対するハーン・バナッハの定理^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} —もし $p:M\to \mathbb {R}$ はベクトル部分空間上で定義された半ノルムである。 $M$ の $X,$ そしてもし $q:X\to \mathbb {R}$ はセミノルムです $X$ そのため $p\leq q{\big \vert }_{M},$ すると半ノルムが存在する $P:X\to \mathbb {R}$ の上 $X$ そのため $P{\big \vert }_{M}=p$ の上 $M$ そして $P\leq q$ の上 $X.$

半ノルムに対するハーン・バナッハの定理の証明

させて $S$ 凸包である $\{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.$ なぜなら $S$ 吸収ディスクは $X,$ そのミンコフスキー関数 $P$ は半規範です。 $p=P$ の上 $M$ そして $P\leq q$ の上 $X.$

例えば、 $f$ ベクトル部分空間上で定義された有界線形汎関数である。 $M$ ノルム空間の $X,$ つまり、それはオペレーターの標準です $\|f\|$ は非負の実数です。すると、線形汎関数の絶対値は $p:=|f|$ はセミノルムです $M$ そして地図 $q:X\to \mathbb {R}$ 定義される $q(x)=\|f\|\,\|x\|$ はセミノルムです $X$ 満たす $p\leq q{\big \vert }_{M}$ の上 $M.$ 半ノルムに関するハーン・バナッハの定理は、半ノルムの存在を保証する。 $P:X\to \mathbb {R}$ それは $|f|$ の上 $M$ （以来 $P{\big \vert }_{M}=p=|f|$ ）そして上側は $P(x)\leq \|f\|\,\|x\|$ あらゆる場所で $X$ （以来 $P\leq q$ )

幾何学的分離

ハーン・バナッハのサンドイッチ定理^[³^] — $p:X\to \mathbb {R}$ 実ベクトル空間上の劣線形関数である $X,$ させて $S\subseteq X$ の任意の部分集合である $X,$ そして $f:S\to \mathbb {R}$ 任意のマップとする。正の実数が存在する場合 $a$ そして $b$ そのため $0\geq \inf _{s\in S}[p(s-ax-by)-f(s)-af(x)-bf(y)]\qquad {\text{ for all }}x,y\in S,$ すると線形汎関数が存在する $F:X\to \mathbb {R}$ の上 $X$ そのため $F\leq p$ の上 $X$ そして $f\leq F\leq p$ の上 $S.$

最大支配線形拡張

定理^{[ 3 ]} (Andenaes、1970) —みましょう $p:X\to \mathbb {R}$ 実ベクトル空間上の劣線形関数である $X,$ させて $f:M\to \mathbb {R}$ ベクトル部分空間上の線形汎関数である $M$ の $X$ そのため $f\leq p$ の上 $M,$ そして $S\subseteq X$ の任意の部分集合である $X.$ すると、線形汎関数が存在する。 $F:X\to \mathbb {R}$ の上 $X$ 拡張する $f,$ 満たす $F\leq p$ の上 $X,$ そして、(点ごとに)最大である $S$ 次の意味で： ${\widehat {F}}:X\to \mathbb {R}$ は線形汎関数である $X$ 拡張する $f$ そして満たす ${\widehat {F}}\leq p$ の上 $X,$ それから $F\leq {\widehat {F}}$ の上 $S$ 暗示する $F={\widehat {F}}$ の上 $S.$

もし $S=\{s\}$ はシングルトンセットです（ $s\in X$ （は何らかのベクトル）そしてもし $F:X\to \mathbb {R}$ このような最大支配線形拡張は $f:M\to \mathbb {R} ,$ それから $F(s)=\inf _{m\in M}[f(s)+p(s-m)].$ ^{[ 3 ]}

ベクトル値ハーン・バナッハ

ベクトル値ハーン・バナッハの定理^{[ 3 ]} —もし $X$ そして $Y$ 同じ体上のベクトル空間であり、 $f:M\to Y$ ベクトル部分空間上で定義された線形写像である $M$ の $X,$ すると線形写像が存在する $F:X\to Y$ 拡張する $f.$

不変ハーン・バナッハ

セット $\Gamma$ 地図の $X\to X$ は可換性（関数合成に関して） $\,\circ \,$ ）もし $F\circ G=G\circ F$ すべての人々のために $F,G\in \Gamma .$ 関数 $f$ 部分集合上で定義される $M$ の $X$ は $\Gamma$ -不変の場合 $L(M)\subseteq M$ そして $f\circ L=f$ の上 $M$ すべての $L\in \Gamma .$

不変のハーン・バナッハの定理^{[ 29 ]} —仮定する $\Gamma$ は、ノルム空間からの連続線形写像の可換集合である。 $X$ それ自体の中に入り、 $f$ あるベクトル部分空間で定義された連続線形関数である。 $M$ の $X$ それは $\Gamma$ -不変、つまり $L(M)\subseteq M$ そして $f\circ L=f$ の上 $M$ すべての $L\in \Gamma .$ それから $f$ 連続的な線状拡張を持つ $F$ すべての人へ $X$ 同じ演算子ノルムを持つ $\|f\|=\|F\|$ そしてまた $\Gamma$ -不変、つまり $F\circ L=F$ の上 $X$ すべての $L\in \Gamma .$

この定理は以下のように要約できます。

毎

\Gamma

ノルム空間のベクトル部分空間上で定義された不変連続線形汎関数

X

持っている

\Gamma

すべてのハーン・バナッハ拡張に対する不変な

X.

^{[ 29 ]}

非線形関数の場合

マズール・オルリッツ（1953）の以下の定理は、ハーン・バナッハの定理と同等である。

マズール・オルリッチの定理^[³^] — $p:X\to \mathbb {R}$ 実数または複素数ベクトル空間上の劣線形関数である。 $X,$ させて $T$ を任意の集合とし、 $R:T\to \mathbb {R}$ そして $v:T\to X$ 任意の地図とする。以下の記述は同等である。

実数値線形汎関数が存在する $F$ の上 $X$ そのため $F\leq p$ の上 $X$ そして $R\leq F\circ v$ の上 $T$ ;
任意の有限列に対して $s_{1},\ldots ,s_{n}$ の $n>0$ 非負の実数、および任意の数列 $t_{1},\ldots ,t_{n}\in T$ 要素の $T,$ $\sum _{i=1}^{n}s_{i}R\left(t_{i}\right)\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}v\left(t_{i}\right)\right).$

以下の定理は、任意のスカラー関数が $X$ （必ずしも線形ではない）は、すべての連続線形拡張を持つ $X.$

定理（拡張原理^[³⁰^]）— $f$ 部分集合上のスカラー値関数 $S$ 位相ベクトル空間の $X.$ すると、連続線形汎関数が存在する $F$ の上 $X$ 拡張 $f$ 連続セミノルムが存在する場合に限る $p$ の上 $X$ そのため $\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(s_{i})\right|\leq p\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}\right)$ すべての正の整数に対して $n$ およびすべての有限数列 $a_{1},\ldots ,a_{n}$ スカラーと要素 $s_{1},\ldots ,s_{n}$ の $S.$

コンバース

$X を$ 位相ベクトル空間とする。X のベクトル部分空間Mは $、$ $M$ $上$ の任意の連続線形汎関数を $X$ 上の連続線形汎関数に拡張できる場合、拡張特性を持つ。また、 $Xのすべてのベクトル部分空間が拡張特性を持つ場合、$ $X は$ ハーン・バナッハ拡張特性( HBEP )を持つと言う。^[³¹^]

ハーン・バナッハの定理は、すべてのハウスドルフ局所凸空間がHBEPを持つことを保証する。カルトンによれば、完全距離化可能な位相ベクトル空間については、逆が成り立つ。ハーン・バナッハ拡張特性を持つすべての完全距離化可能なTVSは局所凸である。 ^{[ 31 ]} 一方、最も細かいベクトル位相を備えた非可算次元のベクトル空間 $Xは$ 、ハーン・バナッハ拡張特性を持つ位相ベクトル空間であるが、局所凸でも距離化可能でもない。^[³¹^]

TVS $X$ のベクトル部分空間 $M$ は、 $Xのすべての$ 要素に対して、 $x\not \in M,$ 連続線形関数が存在する $f$ $X$ 上で、 $f(x)\neq 0$ そして $f(m)=0$ すべての人々のために $m\in M.$ 明らかに、TVS $Xの連続双対空間は、$ $X$ 上の点を分離します。 $\{0\},$ 分離特性を持つ。1992年にKakolは、任意の無限次元ベクトル空間 $Xに対して、$ $X$ 上の点を分離する連続双対空間の連続線形汎関数が十分にあるにもかかわらず、HBEPを持たないTVSトポロジーが存在することを証明した。しかし、 $X$ がTVSである場合、 $X$ のすべてのベクトル部分空間が拡張特性を持つのは $、$ $X$ のすべてのベクトル部分空間が分離特性を持つ場合と同値である。^[³¹^]

選択公理およびその他の定理との関連性

実ベクトル空間に対するハーン・バナッハの定理( HB )の証明には、一般的にツォルンの補題が用いられます。ツォルンの補題は、ツェルメロ・フレンケル集合論( ZF )の公理的枠組みにおいて選択公理( AC ) と同等です。 ŁośとRyll-Nardzewski ^{[ 12 ]}およびLuxemburg ^{[ 11 ]}は、 HBが超フィルター補題( UL )を用いて証明できることを発見しました。超フィルター補題 (UL) は ( ZFの下で)ブール素イデアル定理( BPI )と同等です。 BPI は選択公理よりも厳密に弱く、後にHBはBPIよりも厳密に弱いことが示されました。^{[ 32 ]}

超フィルター補題は（ZF の下で）関数解析のもう 1 つの基礎定理であるバナッハ–アラオグル定理[ ^{33 ]と}同等です。バナッハ–アラオグル定理はHBを含意しますが^[³⁴^]、それと同等ではありません（言い換えれば、バナッハ–アラオグル定理はHBより厳密に強いです）。ただし、HB はノルム空間に対するバナッハ–アラオグル定理の弱化バージョンと同等です。^[³⁵^] ハーン–バナッハ定理は、次の記述とも同等です。^[³⁶^]

（∗）：すべてのブール代数

B

には「確率電荷」が存在する。すなわち、非定数有限加法写像が

B

の中へ

[0,1].

（BPIは、常に0と1の値のみをとる非定数確率電荷が存在するという記述と同等である。）

ZFにおいては、ハーン・バナッハの定理は非ルベーグ可測集合の存在を導出するのに十分である。^{[ 37 ]} さらに、ハーン・バナッハの定理はバナッハ・タルスキーのパラドックスを意味する。^{[ 38 ]}

可分バナッハ空間の場合、DK BrownとSG Simpsonは、ハーン・バナッハの定理が、二階算術の弱い部分体系であるWKL _{0から導かれることを証明した。WKL 0は、二分木に制限され}たケーニッヒの補題を公理とする形式をとる。実際、彼らは、弱い仮定の下で、この2つが同等であることを証明しており、これは逆数学の一例である。^[³⁹^]^[⁴⁰^]

注記

↑この定義は、例えば次のようなことを意味します。 $F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b$ そしてもし $m\in M$ それから $F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).$ 実際、もし $G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ は、 $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ それから $G=F_{b}$ のために $b:=G(x).$ 言い換えれば、 $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ 形式は $F_{b}$ 一部の（ユニークな） $b.$
↑具体的には、任意の実数に対して $b\in \mathbb {R} ,$ $F_{b}\leq p$ の上 $M\oplus \mathbb {R} x$ かつその場合に限り $a\leq b\leq c.$ 事実と相まって $F_{b}(x)=b,$ したがって、支配的な線形拡張は $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ が一意であるのは、 $a=c,$ この場合、このスカラーは拡張機能の値になります。 $x.$ すべての線形拡張は $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ 形式は $F_{b}$ 一部の人にとって $b,$ 境界 $a\leq b=F_{b}(x)\leq c$ したがって、可能な値の範囲も制限されます（ $x$ ）は、 $f$ の支配的な線形拡張。具体的には、 $F:X\to \mathbb {R}$ は、 $f$ 満足 $F\leq p$ そして、すべての $x\in X\setminus M,$ $\sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].$
↑幾何学的図解：上記の証明の幾何学的アイデアは、次の場合に完全に説明できます。 $X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.$ まず、単純な拡張機能を定義します。 $f_{0}(x,y)=f(x),$ うまくいかないのは、おそらく $f_{0}\leq p$ しかし、これは正しい方向への一歩だ。 $p-f_{0}$ は依然として凸型であり、 $p-f_{0}\geq f-f_{0}.$ さらに遠く、 $f-f_{0}$ x軸上では恒等的にゼロとなる。したがって、次のケースに帰着する。 $f=0,p\geq 0$ x軸上。 $p\geq 0$ の上 $\mathbb {R} ^{2},$ これで終わりです。そうでなければ、いくつか選んでください。 $v\in \mathbb {R} ^{2},$ そのため $p(v)<0.$ 今の考えは、 $p$ の上 $v+M$ そして $-v+M$ そのため $p\geq b$ の上 $v+M$ そして $p\geq -b$ の上 $-v+M,$ 次に定義する ${\tilde {f}}(w+rv)=rb$ 望ましい拡張機能が得られます。 $-v+M,v+M$ 反対側にある $M,$ そして $p<0$ ある時点で $v+M,$ 凸性により $p,$ 私たちは持っていなければならない $p\geq 0$ すべての点で $-v+M.$ したがって $\inf _{u\in -v+M}p(u)$ は有限です。幾何学的には、これは次の理由で機能します。 $\{z:p(z)<0\}$ は、と互いに素な凸集合である。 $M,$ したがって、完全に片側に位置する必要がある $M.$ 定義する $b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).$ これは満たす $p\geq -b$ の上 $-v+M.$ 反対側も確認する必要がある。 $v+w\in v+M,$ 凸性とは、すべての $-v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,$ したがって $p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.$ 証明中は凸性のみを使用したので $p$ 補題は単に凸である場合にのみ真であることがわかる。 $p.$
↑ノルムの非負のスカラー倍数と同様に、このセミノルム $\|f\|\,\|\cdot \|$ （非負の実数の積） $\|f\|$ 標準と共に $\|\cdot \|$ ) は、 $\|f\|$ これは肯定的な事実であるが、証明にはこの事実は必要ない。

証明

↑もし $z=a+ib\in \mathbb {C}$ 実際の部品があります $\operatorname {Re} z=a$ それから $-\operatorname {Re} (iz)=b,$ これは、 $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).$ 代入 $F(x)$ のために $z$ そして使用する $iF(x)=F(ix)$ 与える $F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).$ $\blacksquare$
↑レット $F$ は、上の任意の同次スカラー値写像である。 $X$ （線形汎関数など）そして $p:X\to \mathbb {R}$ 以下の条件を満たす任意の地図とする $p(ux)=p(x)$ すべての人々のために $x$ および単位長さのスカラー $u$ （セミノルムなど）。 $|F|\leq p$ それから $\operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.$ 逆に、 $\operatorname {Re} F\leq p$ そして修正する $x\in X.$ させて $r=|F(x)|$ そしてどれでも選んでください $\theta \in \mathbb {R}$ そのため $F(x)=re^{i\theta };$ 示す必要がある $r\leq p(x).$ 均質性 $F$ 暗示する $F\left(e^{-i\theta }x\right)=r$ 現実なので $\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).$ 仮定すると、 $\operatorname {Re} F\leq p$ そして $p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ となることによって $r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ ご希望に応じて。 $\blacksquare$
↑地図 $F$ の延長である $f$ つまり $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ そして $F(m)=f(m)$ すべての $m\in \operatorname {domain} f.$ その結果、 $\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}$ したがって、左側の集合の上限は、 $\|f\|,$ 右側の上限を超えない。 $\|F\|.$ 言い換えると、 $\|f\|\leq \|F\|.$

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[13] この定義は、例えば次のようなことを意味します。 $F_{b}(x)=F_{b}(0+1x)=f(0)+1b=b$ そしてもし $m\in M$ それから $F_{b}(m)=F_{b}(m+0x)=f(m)+0b=f(m).$ 実際、もし $G:M\oplus \mathbb {R} x\to \mathbb {R}$ は、 $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ それから $G=F_{b}$ のために $b:=G(x).$ 言い換えれば、 $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ 形式は $F_{b}$ 一部の（ユニークな） $b.$

[14] 具体的には、任意の実数に対して $b\in \mathbb {R} ,$ $F_{b}\leq p$ の上 $M\oplus \mathbb {R} x$ かつその場合に限り $a\leq b\leq c.$ 事実と相まって $F_{b}(x)=b,$ したがって、支配的な線形拡張は $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ が一意であるのは、 $a=c,$ この場合、このスカラーは拡張機能の値になります。 $x.$ すべての線形拡張は $f$ に $M\oplus \mathbb {R} x$ 形式は $F_{b}$ 一部の人にとって $b,$ 境界 $a\leq b=F_{b}(x)\leq c$ したがって、可能な値の範囲も制限されます（ $x$ ）は、 $f$ の支配的な線形拡張。具体的には、 $F:X\to \mathbb {R}$ は、 $f$ 満足 $F\leq p$ そして、すべての $x\in X\setminus M,$ $\sup _{m\in M}[-p(-m-x)-f(m)]~\leq ~F(x)~\leq ~\inf _{m\in M}[p(m+x)-f(m)].$

[GeometricIllustration-15] 幾何学的図解：上記の証明の幾何学的アイデアは、次の場合に完全に説明できます。 $X=\mathbb {R} ^{2},M=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}.$ まず、単純な拡張機能を定義します。 $f_{0}(x,y)=f(x),$ うまくいかないのは、おそらく $f_{0}\leq p$ しかし、これは正しい方向への一歩だ。 $p-f_{0}$ は依然として凸型であり、 $p-f_{0}\geq f-f_{0}.$ さらに遠く、 $f-f_{0}$ x軸上では恒等的にゼロとなる。したがって、次のケースに帰着する。 $f=0,p\geq 0$ x軸上。 $p\geq 0$ の上 $\mathbb {R} ^{2},$ これで終わりです。そうでなければ、いくつか選んでください。 $v\in \mathbb {R} ^{2},$ そのため $p(v)<0.$ 今の考えは、 $p$ の上 $v+M$ そして $-v+M$ そのため $p\geq b$ の上 $v+M$ そして $p\geq -b$ の上 $-v+M,$ 次に定義する ${\tilde {f}}(w+rv)=rb$ 望ましい拡張機能が得られます。 $-v+M,v+M$ 反対側にある $M,$ そして $p<0$ ある時点で $v+M,$ 凸性により $p,$ 私たちは持っていなければならない $p\geq 0$ すべての点で $-v+M.$ したがって $\inf _{u\in -v+M}p(u)$ は有限です。幾何学的には、これは次の理由で機能します。 $\{z:p(z)<0\}$ は、と互いに素な凸集合である。 $M,$ したがって、完全に片側に位置する必要がある $M.$ 定義する $b=-\inf _{u\in -v+M}p(u).$ これは満たす $p\geq -b$ の上 $-v+M.$ 反対側も確認する必要がある。 $v+w\in v+M,$ 凸性とは、すべての $-v+w'\in -v+M,p(v+w)+p(-v+w')\geq 2p((w+w')/2)=0,$ したがって $p(v+w)\geq \sup _{u\in -v+M}-p(u)=b.$ 証明中は凸性のみを使用したので $p$ 補題は単に凸である場合にのみ真であることがわかる。 $p.$

[24] ノルムの非負のスカラー倍数と同様に、このセミノルム $\|f\|\,\|\cdot \|$ （非負の実数の積） $\|f\|$ 標準と共に $\|\cdot \|$ ) は、 $\|f\|$ これは肯定的な事実であるが、証明にはこの事実は必要ない。

[10] もし $z=a+ib\in \mathbb {C}$ 実際の部品があります $\operatorname {Re} z=a$ それから $-\operatorname {Re} (iz)=b,$ これは、 $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz).$ 代入 $F(x)$ のために $z$ そして使用する $iF(x)=F(ix)$ 与える $F(x)=\operatorname {Re} F(x)-i\operatorname {Re} F(ix).$ $\blacksquare$

[12] レット $F$ は、上の任意の同次スカラー値写像である。 $X$ （線形汎関数など）そして $p:X\to \mathbb {R}$ 以下の条件を満たす任意の地図とする $p(ux)=p(x)$ すべての人々のために $x$ および単位長さのスカラー $u$ （セミノルムなど）。 $|F|\leq p$ それから $\operatorname {Re} F\leq |\operatorname {Re} F|\leq |F|\leq p.$ 逆に、 $\operatorname {Re} F\leq p$ そして修正する $x\in X.$ させて $r=|F(x)|$ そしてどれでも選んでください $\theta \in \mathbb {R}$ そのため $F(x)=re^{i\theta };$ 示す必要がある $r\leq p(x).$ 均質性 $F$ 暗示する $F\left(e^{-i\theta }x\right)=r$ 現実なので $\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)=F\left(e^{-i\theta }x\right).$ 仮定すると、 $\operatorname {Re} F\leq p$ そして $p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ となることによって $r=\operatorname {Re} F\left(e^{-i\theta }x\right)\leq p\left(e^{-i\theta }x\right)=p(x),$ ご希望に応じて。 $\blacksquare$

[ProofNormOfExtensionIsLarger-23] 地図 $F$ の延長である $f$ つまり $\operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F$ そして $F(m)=f(m)$ すべての $m\in \operatorname {domain} f.$ その結果、 $\{|f(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}=\{|F(m)|:\|m\|\leq 1,m\in \operatorname {domain} f\}\subseteq \{|F(x)\,|:\|x\|\leq 1,x\in \operatorname {domain} F\}$ したがって、左側の集合の上限は、 $\|f\|,$ 右側の上限を超えない。 $\|F\|.$ 言い換えると、 $\|f\|\leq \|F\|.$

[1] オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドモンド・F.、「ハーン＝バナッハの定理」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学

[2] M. Riesz 拡張定理を参照。Gårding , L. (1970). "Marcel Riesz in memoriam" . Acta Math. 124 (1): I– XI. doi : 10.1007/bf02394565 . MR 0256837による。この議論は、リースが1918年には既に知っていた。

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ハーン・バナッハの定理

歴史

ハーン・バナッハの定理

複素ベクトル空間または実ベクトル空間の場合

証拠

連続拡張定理

連続拡張定理の証明

非局所凸空間

幾何学的ハーン・バナッハ（ハーン・バナッハ分離定理）

ハイパープレーンのサポート

バランス型またはディスク型ネイバーフッド

アプリケーション

偏微分方程式

反射的バナッハ空間の特徴付け

フレドホルム理論からの例

一般化

半規範の場合

幾何学的分離

最大支配線形拡張

ベクトル値ハーン・バナッハ

不変ハーン・バナッハ

非線形関数の場合

コンバース

選択公理およびその他の定理との関連性

関連項目

注記

参考文献

参考文献

関連するトピック

関数解析

ベクトル空間の

ベクトル部分

有界線形汎関数