ベルヌーイ方式

数学 において、ベルヌーイ方式またはベルヌーイシフトは、ベルヌーイ過程を2つ以上の可能な結果に一般化したものである。^{[1] [2]}ベルヌーイ方式は記号力学に自然に現れるため、力学系の研究において重要である。多くの重要な力学系（公理Aシステムなど）は、カントール集合と滑らかな多様体の積である反発子を示し、カントール集合上の力学はベルヌーイシフトの力学と同型である。^[3]これは本質的にはマルコフ分割である。シフトという用語は、ベルヌーイ方式の研究に使用できるシフト演算子を参照している。オルンシュタインの同型定理^{[4] [5]は、}エントロピーが等しいときにベルヌーイシフトが同型であることを示している。

ベルヌーイスキームは離散時間 確率過程であり、各独立 ランダム変数はN個の異なる可能な値のうちの1つを取り、結果iは確率で発生し、i  = 1, ...,  Nであり、 ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}p_{i}=1.}$

標本空間は通常次のように表される。

${\displaystyle X=\{1,\ldots,N\}^{\mathbb {Z}}}$

略語として

${\displaystyle X=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in \{1,\ldots ,N\}\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$

関連する尺度はベルヌーイ測度と呼ばれる^[6]

${\displaystyle \mu =\{p_{1},\ldots ,p_{N}\}^{\mathbb {Z}}}$

X上のσ代数は 積シグマ代数である。つまり、有限集合{1, ..., N }のσ代数の （可算な）直積である。したがって、3つ組 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$

は測度空間である。 の基底は円筒集合である。円筒集合が与えられたとき、その測度は ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle [x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}]}$

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]\right)=\prod _{i=0}^{n}p_{x_{i}}}$

確率論の表記法を用いた同等の表現は、

${\displaystyle \mu \left([x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathrm {Pr} (X_{0}=x_{0},X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})}$

ランダム変数の場合${\displaystyle \{X_{k}\}}$

ベルヌーイスキームは、他の確率過程と同様に、シフト演算子Tを付与することで動的システムとして見ることができる。

${\displaystyle T(x_{k})=x_{k+1}.}$

結果は独立しているので、シフトは測度を保存するので、Tは測度保存変換です。四つ組

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

は測度保存力学系であり、ベルヌーイスキームまたはベルヌーイシフトと呼ばれる。

${\displaystyle BS(p)=BS(p_{1},\ldots ,p_{N}).}$

N = 2 ベルヌーイ方式はベルヌーイ過程と呼ばれます。ベルヌーイシフトはマルコフシフトの特殊なケースとして理解でき、隣接行列のすべての要素が1 であるため、対応するグラフはクリークになります。

ハミング距離はベルヌーイ方式の自然なメトリックを提供します。もう1つの重要なメトリックは、文字列の一致の上限を介して定義される、いわゆるメトリックです。^[7]${\displaystyle {\overline {f}}}$

とを2つの記号列とする。マッチとは、文字列のインデックスのペアのシーケンスM 、つまり完全に順序付けられていると理解されるペアである。つまり、個々の部分列とは次の順序になっている。同様に、${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}}$${\displaystyle B=b_{1}b_{2}\cdots b_{n}}$${\displaystyle (i_{k},j_{k})}$${\displaystyle a_{i_{k}}=b_{j_{k}},}$${\displaystyle (i_{k})}$${\displaystyle (j_{k})}$${\displaystyle 1\leq i_{1} <i_{2} <\cdots <i_{r}\leq m}$${\displaystyle 1\leq j_{1}$

と間 の距離は​${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\overline {f}}(A,B)=1-{\frac {2\sup |M|}{m+n}}}$

ここで、上限はと の間のすべての一致で取得されます。これは、の場合にのみ三角不等式を満たします。したがって、これは完全な真の測定基準ではありません。それにもかかわらず、文献では一般に「距離」と呼ばれています。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle m=n,}$

ベルヌーイ方式の特性のほとんどは、有限な基底空間からではなく、可算な直積から導かれる。したがって、基底空間を任意の標準的な確率空間 とみなし、ベルヌーイ方式を次のように定義すること ができる。${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu )}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{\mathbb {Z} }}$

これが機能するのは、標準確率空間の可算な直積が再び標準確率空間であるためです。

さらに一般化すると、整数を可算離散群に置き換えることができるので、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )=(Y,{\mathcal {B}},\nu )^{G}}$

この最後のケースでは、シフト演算子はグループアクションに置き換えられます。

${\displaystyle gx(f)=x(g^{-1}f)}$

群の元に対しては関数として理解されます（任意の直積は指数オブジェクトであるため、関数 の集合として理解できます）。測度はハール測度として取られ、群作用に対して不変です。 ${\displaystyle f,g\in G}$${\displaystyle x\in Y^{G}}$${\displaystyle x:G\to Y}$${\displaystyle Y^{G}}$${\displaystyle [G\to Y]}$${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mu (gx)=\mu (x).\,}$

これらの一般化は有限の場合とほとんどの特性を共有しているため、一般的にベルヌーイ方式とも呼ばれます。

Ya. Sinaiはベルヌーイスキームのコルモゴロフエントロピーが次のように与えられることを証明した^{[8] [9]}

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}$

これは、漸近的等分割特性から導かれる確率空間の直積のエントロピーの一般的な定義から生じると見ることができる。一般的な基底空間（つまり、可算でない基底空間）の場合、通常は相対エントロピーを考慮する。したがって、たとえば、基底Yの可算分割があり、 である場合、エントロピーを次のように定義できる。 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu )}$ ${\displaystyle Y'\subset Y}$${\displaystyle \nu (Y')=1}$

${\displaystyle H_{Y'}=-\sum _{y'\in Y'}\nu (y')\log \nu (y')。}$

一般に、このエントロピーはパーティションに依存します。ただし、多くの動的システムでは、記号ダイナミクスはパーティションに依存しません (または、異なるパーティションの記号ダイナミクスを接続する同型があり、測度は不変のままです)。そのため、このようなシステムは、パーティションに依存しない明確に定義されたエントロピーを持つことができます。

オルンシュタイン同型定理は、同じエントロピーを持つ2つのベルヌーイスキームは同型であることを述べています。^[4]この結果は明確で、^[10]非常によく似た非スキームシステム、例えばコルモゴロフ自己同型にはこの性質がありません。

オルンシュタイン同型定理は、実際にはかなり奥が深いものです。これは、測度保存力学系がベルヌーイ方式と同型であると判断できる単純な基準を提供します。その結果は驚くべきもので、それまで無関係だと考えられていた多くの系が同型であることが判明しました。これらには、すべての有限^{[説明が必要]} 定常確率過程、有限型のサブシフト、有限マルコフ連鎖、アノソフフロー、シナイのビリヤードが含まれます。これらはすべてベルヌーイ方式と同型です。

一般化されたケースでは、群Gが可算無限群である場合、オルンシュタイン同型定理は依然として成り立つ。 ^{[11] [12]}

標準確率空間（ルベーグ空間）の可逆で測度保存の変換は、ベルヌーイシフトと同型である場合、ベルヌーイ自己同型と呼ばれる。^[13]

システムがベルヌーイシフトと角谷同値である場合、またはエントロピーがゼロの場合は、円の無理数回転と角谷同値である場合、そのシステムは「緩やかにベルヌーイ」と呼ばれます。

• 有限型のシフト
• マルコフ連鎖
• 隠れたベルヌーイモデル