剛性（数学）

数学において、数学的オブジェクト（集合や関数など）の剛体集合Cとは、すべてのc ∈ C がcについての予想よりも少ない情報によって一意に決定される集合です。上記の記述は数学的特性を定義するものではなく、数学者によって数学で「剛体」という形容詞が通常どのような意味で使用されているかを説明しています。   

例としては次のようなものがあります:

1. 単位円上の調和関数は、その境界値によって一意に決定されるという意味で剛性です。
2. 正則関数は、一点におけるすべての導関数の集合によって決定されます。実数直線から複素平面への滑らかな関数は、一般に、一点におけるすべての導関数によって決定されませんが、複素平面における実数直線の近傍に関数を拡張できることがさらに要求される場合は、一点におけるすべての導関数によって決定されます。シュワルツの補題は、このような剛性定理の例です。
3. 代数学の基本定理によれば、Cの多項式は、任意の多項式が任意の無限集合、たとえばNまたは単位円上の値によって完全に決定されるという意味で剛性です。前の例によれば、多項式は、正則関数の集合内で、任意の単一点におけるその非ゼロ導関数の有限集合によっても決定されます。
4. ベクトル空間X、  Y間の線型写像L ( X、  Y ) は、任意のL ∈ L ( X、  Y ) がXの任意の基底ベクトルの集合上の値によって完全に決定されるという意味で剛性です。
5. モストウの剛性定理は、負に曲がった多様体の幾何学的構造はその位相構造によって決定されると述べています。
6. 整列集合は、その集合上の唯一の（順序を保つ）自己同型が恒等関数であるという意味で剛体です。したがって、与えられた 2 つの整列集合間の同型は一意になります。
7. 凸多面体の幾何学に関するコーシーの定理は、凸多面体はその面の幾何学と組み合わせ隣接規則によって一意に決定されることを述べています。
8. アレクサンドロフの一意性定理は、3 次元の凸多面体は、その表面上の測地線の計量空間によって一意に決定されることを述べています。
9. K 理論における剛性の結果は、さまざまな代数 K 理論群間の同型性を示します。
10. 逆ガロア問題における剛体群。

組合せ論では、剛体という用語は剛体全射の概念を定義するためにも使用され、剛体全射とは、以下の同値な条件が成り立つ全射である。 ^[1]${\displaystyle f:n\to m}$

1. すべての について、;${\displaystyle i,j\in m}$${\displaystyle i<j\implies \min f^{-1}(i)<\min f^{-1}(j)}$
2. を-タプルとして考えると、 内の要素の最初の出現は昇順になります。${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\big (}f(0),f(1),\ldots ,f(n-1){\big )}}$${\displaystyle m}$
3. ${\displaystyle f}$の初期セグメントを の初期セグメントにマッピングします。${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

これは、各剛体全射が の分割を一意に定義し、また によって一意に定義されるという点で、上記の剛体 の定義に関連します。剛体全射 が与えられた場合、分割は によって定義されます。逆に、 の分割が与えられた場合、とすることでを順序付けます。 が - 順序付けされた分割である場合、によって定義される関数は剛体全射です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n=f^{-1}(0)\sqcup \cdots \sqcup f^{-1}(m-1)}$${\displaystyle n=A_{0}\sqcup \cdots \sqcup A_{m-1}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}\prec A_{j}\iff \min A_{i}}}$${\displaystyle n=B_{0}\sqcup \cdots \sqcup B_{m-1}}$${\displaystyle \prec}$${\displaystyle f:n\to m}$${\displaystyle f(i)=j\iff i\in B_{j}}$

• 一意性定理
• 構造的剛性は、柔軟なヒンジによって互いに接続された剛性の物理的オブジェクトの集合体の自由度を記述する数学理論です。
• レベル構造（代数幾何学）

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