等分布シーケンス

数学では、実数の列( s ₁、s ₂、s ₃、...) は、部分区間に入る項の割合がその部分区間の長さに比例する場合、等分布または一様分布していると言われます。このような列は、ディオファントス近似理論で研究され、モンテカルロ積分に応用されています。

実数の列 ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) が非退化区間[ a , b ] 上に等分布しているとは、[ a , b ]のすべての部分区間 [ c , d ] について次が成り立つときである。  

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={dc \over ba}.}$

(ここで、表記 |{ s ₁ ,..., s _n } ∩ [ c , d ]| は、シーケンスの最初のn要素のうち、 cとd の 間にある要素の数を表します。)

たとえば、シーケンスが [0, 2] に均等に分布している場合、区間 [0.5, 0.9] は区間 [0, 2] の長さの 1/5 を占めるため、n が大きくなるにつれて、シーケンスの最初のn個のメンバーのうち 0.5 と 0.9 の間に入るメンバーの割合は1/5 に近づく必要があります。大まかに言えば、シーケンスの各メンバーがその範囲内のどこにでも入る可能性が等しいと言えます。ただし、これは ( s _n ) がランダム変数のシーケンスであるという意味ではなく、実数の確定シーケンスであるという意味です。

区間[ a ,  b ] に関するシーケンス( s1 , s2 , s3 ,...)の不一致 D _{N を次の}ように定義する_。

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {dc}{ba}}\right\vert .}$

したがって、 N が無限大に近づくにつれて不一致D _{N が}ゼロに近づく場合、シーケンスは均等に分布しています。

均等分布は、シーケンスがギャップを残さずにセグメントを埋めるという事実を表現するためのかなり弱い基準です。たとえば、セグメント上で一様であるランダム変数の描画は、セグメント内で均等に分布しますが、最初に適切に選択された方法でいくつかの小さな ε に対してセグメント内の ε の倍数を列挙し、次に ε の値がどんどん小さくなるまでこれを続けるシーケンスと比較すると、大きなギャップがあります。より強力な基準と、より均等に分散されたシーケンスの構築については、低乖離シーケンスを参照してください。

f が区間 [ a , b ] でリーマン積分を持つ関数である場合、その積分は、区間の細かい分割から選択された点の集合で関数f をサンプリングすることによって取られたリーマン和の極限であることを思い出してください。したがって、あるシーケンスが [ a , b ] で等分布している場合、このシーケンスを使用してリーマン積分可能関数の積分を計算できることが期待されます。これにより、等分布シーケンスに対する 次の基準^{[1]が導かれます。}

( s ₁、s ₂、s ₃、 ...) が区間 [ a、b ] に含まれるシーケンスであるとします。次の条件は同等です。

1. シーケンスは [ a , b ] 上に等分布しています。
2. すべてのリーマン積分可能（複素数値）関数f  : [ a , b ] →${\displaystyle \mathbb {C} }$に対して、次の極限が成り立ちます。

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

この基準はモンテカルロ積分という考え方につながります。モンテカルロ積分では、区間内に等分布する一連のランダム変数にわたって関数をサンプリングすることによって積分が計算されます。

積分基準を、リーマン積分可能な関数よりも大きな関数のクラスに一般化することはできません。たとえば、ルベーグ積分を考慮し、f をL ¹に含めると、この基準は満たされません。反例として、f を何らかの等分布列の指示関数とします。すると、基準では、左辺は常に 1 ですが、右辺は 0 になります。これは、列が可算であるため、fはほとんどどこでも0 になるからです。

実際、デ・ブリュイン・ポスト定理は上記の基準の逆を述べています。つまり、f が [ a , b ] 内の任意の等分布列に対して上記の基準が成り立つような関数である場合、fは[ a , b ]内でリーマン積分可能であるということです。^[2]

実数の列 ( a ₁、a ₂、a ₃ 、 ...) は、 ( a _n )またはa _{n −}  ⌊ a _n ⌋ で表されるa _nの小数部分の列が [0, 1] の区間で等分布している場合、 1 を法として等分布している、または1 を法として一様に分布していると言われます。

• 等分配定理：無理数 αのすべての倍数列、

0、α、2α 、 3α 、 4α 、 ...

1を法として等分布している。^[3]

• より一般的には、p が無理定数項以外の少なくとも 1 つの係数を持つ多項式である場合、シーケンスp ( n ) は 1 を法として均一に分布します。

これはワイルによって証明され、ファンデルコルプの差分定理の応用である。^[4]

• 数列log( n )は1を法として均一に分布していない^{。[3]この事実は}ベンフォードの法則と関係がある。
• 無理数αの連続する素数によるすべての倍数列、

2α 、3α、5α 、 7α 、 11α 、 ...

は1を法として等分布している。これは1948年にIMヴィノグラドフによって発表された解析的整数論の有名な定理である。 ^[5]

• ファンデルコルプット配列は等分布である。^[6]

ワイルの基準は、数列a _nが1を法として等分布であるためには、すべての非ゼロ整数ℓに対して、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}= 0.}$

この基準はヘルマン・ワイルにちなんで名付けられ、彼によって最初に定式化されました。^{[7]これにより、等分布の問題を}指数和の境界に還元できるようになり、基本的かつ一般的な方法になります。

• ワイルの基準の定量的な形式は、エルデシュ・トゥラン不等式によって与えられる。
• ワイルの基準は、1を法とする等分布の定義の自然な一般化を仮定すると、高次元に自然に拡張されます。

R ^kのベクトルのシーケンスv _nが 1 を法として等分布している場合、かつ任意の非ゼロベクトル ℓ ∈  Z ^kに対して、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}$

ワイルの基準は、ある実数αの倍数0、 α、2α 、 3α 、 ...の列が1を法として等分布するのは、αが無理数の場合のみであることを述べる等分布定理を簡単に証明するために使用できます。 [ 3 ^]

αが無理数で、数列を j = jα と表すとします( ここ で、j は0 から始まり、後で式を簡略化します)。ℓ ≠  0 を整数とします。α は無理数なので、 ℓα_は整数にはならず、 1 にもなりません。有限等比級数の和の式を使用すると、 ${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$

${\displaystyle \left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},}$

nに依存しない有限の境界。したがって、nで割ってn を無限大にすると、左辺はゼロに近づき、ワイルの基準が満たされます。

逆に、αが有理数の場合、このシーケンスは 1 を法として均等に分布していないことに注意してください。これは、 a _j  =  jαの小数部の選択肢が有限個しかないためです。

実数列が1 を法として k 一様分布しているとは、小数部の列がで一様分布しているだけでなく、がと定義される列もで一様分布していることを意味します。 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$${\displaystyle [0,1]^{k}}$

実数の列は1 を法として完全に均一に分布していると言われ、各自然数に対して均一に分布しています。 ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq 1}$

たとえば、この数列は任意の無理数 に対して 1 を法として均一に分布 (または 1 均一に分布) しますが、2 均一に分布することさえありません。対照的に、この数列はほとんどすべてに対して(つまり、測度 0 のセットを除くすべてに対して) 完全に均一に分布します。${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )}$${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle \alpha}$

ヨハネス・ファン・デル・コルプトの定理^[8]によれば、各hに対してsn _{+ h} − snが1を法として一様分布している場合、snも一様分布している。_{[ 9} ] ^[ ₁₀ ^{] [11]}

ファンデルコルプ集合とは、 Hの各整数 hに対してs _{n + h} − s _nという数列が 1 を法として一様分布している場合に s _{n も}一様分布するような整数集合Hのことである。^{[10] [11]}

計量定理は、あるパラメータαのほぼすべての値、つまり、ルベーグ測度がゼロ である例外的な集合に含まれないαの値に対して、パラメータ化されたシーケンスの動作を記述します。

• 異なる整数の列bnに対して、列( bnα )_はαのほぼすべての値に対して1を法として等分布する。_[ ^12]
• α > 1のほぼすべての値に対して、数列（α ⁿ）は1を法として等分布する。^[13]

数列( e ⁿ )または( π ⁿ )がmod 1で等分布しているかどうかは不明です。ただし、 αがPV数の場合、数列( α ⁿ )はmod 1で等分布していないことがわかっています。 

実数の列 ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) が[ a , b ] 上でよく分布しているとは、[ a , b ]の任意の部分区間 [ c , d ] に対して次が成り立つときである。  

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={dc \over ba}}$

kに関して均一です。明らかに、すべてのよく分布したシーケンスは均一に分布していますが、その逆は成り立ちません。1 を法としたよく分布したシーケンスの定義も同様です。

任意の確率測度空間 に対して、点の列がに関して等分布しているとは、点測度の平均がに弱収束する場合を言う: ^[14]${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .}$

可分かつ距離化可能な空間上の任意のボレル 確率測度には、測度に関して等分布列が存在します。実際、これはそのような空間が標準であるという事実から直ちに明らかです。

等分布の一般的な現象は、例えばオッペンハイム予想に対するマーギュリスの解決法など、リー群に関連する動的システムで頻繁に現れます。

• 等分配定理
• 矛盾の少ないシーケンス
• エルデシュ・トゥラン不等式

• カイパーズ、L. Niederreiter、H. (2006) [1974]。シーケンスの一様分布。ドーバー出版。ISBN 0-486-45019-8。
• カイパーズ、L.ニーダーライター、H. (1974)。シーケンスの一様分布。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社ISBN 0-471-51045-9.ZBL0281.10001  。​
• Montgomery, Hugh L. (1994)。解析的数論と調和解析のインターフェイスに関する 10 回の講義。数学地域会議シリーズ。第 84 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0737-4.ZBL0814.11001  。​

• グランビル、アンドリュー、ルドニック、ゼーヴ編 (2007)。数論における等分布入門。数論における等分布に関する NATO 高度研究所の議事録、カナダ、モントリオール、2005 年 7 月 11 ～ 22 日。NATO科学シリーズ II: 数学、物理学、化学。第 237 巻。ドルドレヒト:シュプリンガー出版社。ISBN 978-1-4020-5403-7.ZBL1121.11004  。​
• タオ、テレンス（2012）。高次フーリエ解析。数学大学院研究。第142巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8986-2.ZBL1277.11010  。​

• Weisstein、Eric W.「等分布シーケンス」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「Weyl の基準」。MathWorld。
• PlanetMathの Weyl の基準。
• チャールズ・ウォークデンによる講義ノートとワイルの基準の証明