公理A

数学において、スメールの公理 A は、広範囲に研究され、そのダイナミクスが比較的よく理解されている力学系のクラスを定義します。代表的な例は、スメールのホースシューマップです。「公理 A」という用語は、スティーブン・スメールに由来します。^{[ 1 ] [ 2 ]} このようなシステムの重要性は、カオス仮説によって示されており、この仮説は、「実際的な目的においては」、多体サーモスタットシステムはアノソフシステムによって近似されると述べています。^{[ 3 ]}

M を微分同相写像f : M → Mを持つ滑らかな多様体とする。このとき、fが公理 A の微分同相写像であるとは、次の 2 つの条件が成り立つ場合をいう。

1. fの非遊走集合Ω ( f )は双曲集合でありコンパクトである。
2. fの周期点の集合はΩ ( f )において稠密である。

曲面の場合、非遊走集合の双曲性は周期点の密度を意味しますが、これは高次元ではもはや成り立ちません。それにもかかわらず、公理 A の微分同相写像は、興味深いダイナミクスが発生するMの部分、すなわちΩ ( f ) が双曲的な振る舞いを示すため、双曲微分同相写像と呼ばれることがあります。

公理 A 微分同相写像は、モース・スメール系を一般化したもので、さらに制約条件 (有限個の周期点と安定部分多様体および不安定部分多様体の横断性) を満たします。スメールの馬蹄形写像は、無限個の周期点と正の位相エントロピーを持つ公理 A 微分同相写像です。

任意のアノソフ微分同相写像は公理Aを満たす。この場合、多様体M全体は双曲的である（ただし、非遊走集合Ω ( f )がM全体を構成するかどうかは未解決の問題である）。

ルーファス・ボーエンは、任意の公理 A 微分同相写像の非放浪集合Ω ( f ) がマルコフ分割をサポートすることを示した。^{[ 2 ] [ 4 ]}したがって、 fをΩ ( f )のある一般的な部分集合に 制限することは、有限型のシフトと共役である。

非迷走集合における周期点の密度は、その局所的最大性を意味する。すなわち、Ω ( f )の開近傍Uが存在し、

$\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {Z} }f^{n}(U)=\Omega (f).}$

Axiom A システムの重要な特性は、小さな摂動に対する構造的安定性です。^{[ 5 ]}つまり、摂動を受けたシステムの軌跡は、摂動を受けていないシステムと 1-1 の位相的対応を維持します。この特性は、Axiom A システムが例外的なものではなく、ある意味で「堅牢」であることを示す点で重要です。

より正確には、 fの任意のC ¹ -摂動f _εに対して、その非放浪集合は、2 つのコンパクトなf _ε不変部分集合Ω ₁とΩ ₂によって形成される。最初の部分集合は、fのΩ ( f )への制限とf _εのΩ ₁への制限を共役する同相写像hを介してΩ ( f ) と同相である。

${\displaystyle f_{\epsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f).}$

Ω _{2 が}空集合であれば、 hはΩ ( f _ε )に全射である。これがすべての摂動f _εに対して成り立つ場合、fはオメガ安定と呼ばれる。微分同相写像fがオメガ安定であるのは、それが公理 A と無サイクル条件(軌道がΩ ( f ) の推移的部分集合から一度離れると、その部分集合に戻らないこと) を満たす場合に限る。

• エルゴード流

• リュエル、デイヴィッド（1978）。熱力学的形式主義。古典的平衡の数学的構造。数学とその応用百科事典。第 5巻。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016 . 
• Ruelle, David (1989).カオス的進化とストレンジアトラクター。決定論的非線形システムの時系列の統計分析。Lezioni Lincee。Stefano Isola 作成ノート。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001 .