スライドモード制御

制御システム において、スライディングモード制御（SMC）は、非線形システムのダイナミクスを変化させる非線形制御手法であり、不連続制御信号（より厳密には、セット値制御信号）を適用することで、システムをシステムの通常の動作の断面に沿って「スライド」させます。状態フィードバック制御則は、時間の連続関数ではありません。代わりに、状態空間の現在の位置に基づいて、ある連続構造から別の連続構造に切り替えることができます。したがって、スライディングモード制御は可変構造制御手法です。複数の制御構造は、軌道が常に異なる制御構造を持つ隣接領域に向かって移動するように設計されているため、最終的な軌道は完全に1つの制御構造内に存在せず、制御構造の境界に沿ってスライドします。システムがこれらの境界に沿ってスライドする際の動きはスライディングモード^{[ 1 ]}と呼ばれ、境界で構成される幾何学的軌跡はスライディング（ハイパー）サーフェスと呼ばれます。現代制御理論の文脈では、SMC（スライディングモード制御）下のシステムのような可変構造システムは、連続的な状態空間を通過するだけでなく、異なる離散的な制御モードも通過するため、ハイブリッド動的システムの特殊なケースとみなすことができる。

図 1は、スライディングモード制御下のシステムの軌跡の一例を示しています。スライディング面は次のように記述されます。${\displaystyle s=0}$、そして、システム軌道が表面に到達してから有限時間が経過すると、表面に沿ったスライディングモードが開始されます。スライディングモードの理論的記述では、システムはスライディング面内に留まり、表面に沿って滑っているとだけ考えればよいとされています。しかし、実際のスライディングモード制御の実装では、この理論的挙動を、高周波で一般的に非決定論的なスイッチング制御信号で近似し、スライディング面の狭い範囲でシステムが「チャタリング」^{[ nb 1 ]}を起こすようにします。チャタリングは、スライディング面の周囲にデッドバンドや境界層を設ける、あるいは他の補償方法を用いることで低減できます。システムは一般的に非線形ですが、図 1のシステムがスライディング面内に留まっている場合の理想化された (つまり、チャタリングのない) 挙動は、${\displaystyle s=0}$サーフェスは指数的に安定な原点を持つLTI システムです。補償方法の 1 つは、 ^{[ 2 ] [ 3 ]}で提案された適応スライディングモード制御法で、推定された不確実性を使用して連続制御則を構築します。この方法では、精度を維持しながらチャタリングが除去されます (詳細は参考文献 [2] および [3] を参照)。提案された適応スライディングモードコントローラの 3 つの特徴は次のとおりです。(i) 構造化された (またはパラメトリックな) 不確実性と非構造化された不確実性 (モデル化されていないダイナミクス、未知の外部擾乱) は、集中不確実性と呼ばれる単一のタイプの不確実性項に統合されます。したがって、システムの線形にパラメータ化された動的モデルは必要なく、このアプローチの単純な構造と計算効率の良い特性により、リアルタイム制御アプリケーションに適しています。(ii) 適応スライディングモード制御スキームの設計は、最悪のシナリオ (つまり、不確実性の境界) に依存するのではなく、オンラインで推定された不確実性ベクトルに依存します。したがって、不確実性の範囲に関する事前知識は必要なく、各時点において、制御入力は存在する不確実性を補償します。(iii) スライディングモード制御理論の基本原理を用いて開発された連続制御則は、境界層アプローチでよく見られる性能と堅牢性のトレードオフなしにチャタリング現象を排除します。

直感的に言えば、スライディングモード制御は、実質的に無限のゲインを用いて、動的システムの軌道を制限されたスライディングモード部分空間に沿ってスライドさせます。この次数削減されたスライディングモードからの軌道は、望ましい特性（例えば、システムが望ましい平衡点に達するまで自然にスライドする）を持ちます。スライディングモード制御の主な強みは、その堅牢性です。制御は2つの状態（例えば、「オン」/「オフ」または「前進」/「後退」）の切り替えのように単純なので、高精度である必要はなく、制御チャネルに入力されるパラメータの変動にも敏感ではありません。さらに、制御法則は連続関数ではないため、スライディングモードには有限時間で到達できます（つまり、漸近挙動よりも優れています）。特定の一般的な条件下では、最適性を得るためにはバンバン制御の使用が必要となります。したがって、スライディングモード制御は、幅広い動的システムに対する最適なコントローラを記述します。

スライディングモードコントローラの応用例の 1 つは、スイッチング電力変換器によって動作する電気駆動装置の制御です。^{[ 4 ]：「はじめに」}これらの変換器の動作モードが不連続であるため、パルス幅変調^{[ 5 ]}または同様の技術^{[ nb 2 ]}によって連続信号を離散状態しか取れない出力に適用する必要がある連続コントローラよりも、不連続スライディングモードコントローラの方が自然な実装の選択肢となります。スライディングモード制御はロボット工学で多くの応用例があります。特に、この制御アルゴリズムは、模擬荒波における無人水上船舶の追跡制御に非常に高い成功度で使用されています。^{[ 6 ] [ 7 ]}

スライディングモード制御は、より穏やかな制御動作を持つ他の非線形制御よりも慎重に適用する必要があります。特に、アクチュエータには遅延やその他の不完全性があるため、ハードなスライディングモード制御動作は、チャタリング、エネルギー損失、プラントの損傷、およびモデル化されていないダイナミクスの励起につながる可能性があります。^{[ 8 ]： 554～556}連続制御設計手法は、これらの問題の影響を受けにくく、スライディングモードコントローラを模倣することができます。^{[ 8 ]： 556～563}

非線形力学系を以下のように考える。

どこ

${\displaystyle \mathbf {x} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n-1}(t)\\x_{n}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

はn次元状態ベクトルであり、

${\displaystyle \mathbf {u} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{m-1}(t)\\u_{m}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{m}}$

は、状態フィードバックに使用されるm次元入力ベクトルです。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n\times m}}$は連続かつ十分に滑らかであると仮定され、ピカール・リンデレーフの定理を用いて解が保証される。${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$式 （1）が存在し、一意である。

一般的なタスクは、状態フィードバック制御則を設計することです。${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} (t))}$（つまり、現在の状態からのマッピング）${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$時刻tにおける入力${\displaystyle \mathbf {u} }$式（１）の動的システムを原点の周りで安定化させる。 ${\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\intercal }}$つまり、制御法則の下では、システムが原点から離れた状態で開始されると、必ず原点に戻ります。例えば、コンポーネント${\displaystyle x_{1}}$状態ベクトルの${\displaystyle \mathbf {x} }$出力が既知の信号（例えば、望ましい正弦波信号）からどれだけ離れているかの差を表す場合があります。${\displaystyle \mathbf {u} }$確実にできる${\displaystyle x_{1}}$すぐに${\displaystyle x_{1}=0}$すると、出力は目的の正弦波を追従します。スライディングモード制御では、設計者は、システムが構成空間の部分空間に制約されている場合に、システムが望ましい動作をする（安定平衡点を持つ）ことを知っています。スライディングモード制御は、システムの軌道をこの部分空間に強制的に押し込み、その部分空間に沿って滑るように保持します。この次数削減された部分空間はスライディング（ハイパー）サーフェスと呼ばれ、閉ループフィードバックによって軌道がその部分空間に沿って滑るように強制される場合、閉ループシステムのスライディングモードと呼ばれます。この部分空間に沿った軌道は、LTIシステムの固有ベクトル（つまりモード）に沿った軌道に例えることができます。ただし、スライディングモードは、高ゲインフィードバックでベクトル場を折り曲げることによって強制されます。ビー玉がひび割れに沿って転がるように、軌道はスライディングモードに閉じ込められます。

スライディングモード制御方式には

1. システムの軌道がこの多様体内に閉じ込められたときに望ましい挙動を示すような超曲面または多様体（すなわち、スライディング面）を選択する。
2. システムの軌道が多様体と交差し、かつ多様体上に留まるようにフィードバックゲインを見つける。

スライディングモード制御則は連続ではないため、有限時間内に軌道をスライディングモードに導く能力があります（つまり、スライディング面の安定性は漸近的安定性よりも優れています）。しかし、軌道がスライディング面に到達すると、システムはスライディングモードの特性を帯びます（例えば、原点${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$（この曲面上では漸近安定性しか持たない可能性がある）。

スライディングモード設計者はスイッチング関数を選択する${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} は、状態間の「距離」を表す。${\displaystyle \mathbf {x} }$滑り面から離れている。

• 州${\displaystyle \mathbf {x} }$この滑り面の外側には${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\neq 0}$。
• この滑り面上にある状態は${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$。

スライディングモード制御法則は、この距離の符号に基づいてある状態から別の状態に切り替わります。したがって、スライディングモード制御は、常にスライディングモードの方向に押し付ける硬い圧力のように機能します。${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$望ましい${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$軌道はスライディング面に近づき、制御法則は連続的ではないため（つまり、軌道がこの面を横切るにつれてある状態から別の状態に切り替わるため）、有限時間で面に到達します。軌道が面に到達すると、その面に沿って滑り、たとえば、${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$原点。つまり、スイッチング関数は、一定の高さの等高線を持つ地形図のようなもので、軌道はその等高線に沿って移動させられる。

スライディング（超）曲面／多様体は通常、次元が${\displaystyle n-m}$ここでnは、${\displaystyle \mathbf {x} }$mは入力信号 (つまり制御信号) の数です${\displaystyle \mathbf {u} }$各制御インデックスについて${\displaystyle 1\leq k\leq m}$、${\displaystyle (n-1)}$次元滑り面は次のように与えられる。

SMC設計の重要な部分は、スライディングモード（つまり、この表面は次のように与えられる）を制御する法則を選択することです。${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$）が存在し、システム軌道に沿って到達可能です。スライディングモード制御の原理は、適切な制御戦略によってシステムを強制的にスライディング面に留まらせ、その上でシステムが望ましい特性を示すようにすることです。スライディング制御によってシステムがスライディング面に留まるように制約されると、システムのダイナミクスは 式（2 ）から得られる次数削減システムによって制御されます。

システムの状態を強制的に${\displaystyle \mathbf {x} }$満足させる${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$必ず以下のことを行う必要があります。

1. システムが到達できることを確認してください${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$任意の初期条件から
2. 到達した${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$制御動作はシステムを${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

以下の定理は、可変構造制御の基礎を形成する。

• 式（1 ）で記述される単一入力u （すなわち、 ${\displaystyle m=1}$) スイッチング関数は線形結合として選択される。

重量${\displaystyle s_{i}>0}$すべての人々のために${\displaystyle 1\leq i\leq n}$滑り面は単体であり、${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$軌道がこの表面に沿って滑るように強制されると、

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}$

など

${\displaystyle s_{1}{\dot {x}}_{1}+s_{2}{\dot {x}}_{2}+\cdots +s_{n-1}{\dot {x}}_{n-1}+s_{n}{\dot {x}}_{n}=0}$

これは次数削減システムです（つまり、新しいシステムは次数です）${\displaystyle n-1}$システムはこれに制約されているため${\displaystyle (n-1)}$次元スライディングモードシンプレックス）。この曲面は好ましい特性を持つ可能性があります（例えば、植物のダイナミクスがこの曲面に沿って滑るように強制されると、原点に向かって移動します）。${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$式（3） のリアプノフ関数の導関数をとると、次のようになる。 

${\displaystyle {\dot {V}}(\sigma (\mathbf {x} ))=\overbrace {\sigma (\mathbf {x} )^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}}$

確実にするために${\displaystyle {\dot {V}}<0}$フィードバック制御法則${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$は、

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\sigma }}<0&{\text{if }}\sigma >0\\{\dot {\sigma }}>0&{\text{if }}\sigma <0\end{cases}}}$

したがって、製品は${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$なぜなら、それは負の数と正の数の積だからです。

制御法則${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$選ばれるのは

${\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}u^{+}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )>0\\u^{-}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )<0\end{cases}}}$

どこ

• ${\displaystyle u^{+}(\mathbf {x} )}$は、式 ( 5 ) (つまり、${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$）は負の値です${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle u^{-}(\mathbf {x} )}$は、式 ( 5 ) (つまり、${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$）は正です${\displaystyle \mathbf {x} }$

結果として生じる軌道は、滑り面に向かって移動するはずである。${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$実際のシステムには遅延があるため、スライディングモード軌道はしばしばこのスライディング面に沿って前後に揺れ動きます（つまり、真の軌道は滑らかに追従しない可能性があります）。${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$（ただし、スライドモードを解除すると必ずスライドモードに戻ります）。

• 動的システムを考える

${\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}$

これは2次元状態空間で表現できる（${\displaystyle x_{1}=x}$そして${\displaystyle x_{2}={\dot {x}}}$） として

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}=a(t,x_{1},x_{2})+u\end{cases}}}$

また、以下を仮定します。${\displaystyle \sup\{|a(\cdot )|\}\leq k}$（つまり、${\displaystyle |a|}$有限の上限kが既知である。このシステムでは、スイッチング関数を選択する。

${\displaystyle \sigma (x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}=x+{\dot {x}}}$

前述の例から、フィードバック制御法則を選択する必要があります。${\displaystyle u(x,{\dot {x}})}$となることによって${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$。 ここ、

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{2}={\dot {x}}+{\ddot {x}}={\dot {x}}\,+\,\overbrace {a(t,x,{\dot {x}})+u} ^{\ddot {x}}}$

• いつ${\displaystyle x+{\dot {x}}<0}$（つまり、${\displaystyle \sigma <0}$）${\displaystyle {\dot {\sigma }}>0}$制御法則は次のように選択する必要があります。${\displaystyle u>|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$
• いつ${\displaystyle x+{\dot {x}}>0}$（つまり、${\displaystyle \sigma >0}$）${\displaystyle {\dot {\sigma }}<0}$制御法則は次のように選択する必要があります。${\displaystyle u<-|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$

しかし、三角不等式により、

${\displaystyle |{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|\geq |{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$

そして、${\displaystyle |a|}$、

${\displaystyle |{\dot {x}}|+k+1>|{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|}$

したがって、制御法則によってシステムをフィードバック安定化（スライディングモードに戻る）することができる。

${\displaystyle u(x,{\dot {x}})={\begin{cases}|{\dot {x}}|+k+1&{\text{if }}\underbrace {x+{\dot {x}}} <0,\\-\left(|{\dot {x}}|+k+1\right)&{\text{if }}\overbrace {x+{\dot {x}}} ^{\sigma }>0\end{cases}}}$

これは閉じた形で次のように 表現できます。

${\displaystyle u(x,{\dot {x}})=-(|{\dot {x}}|+k+1)\underbrace {\operatorname {sgn} (\overbrace {{\dot {x}}+x} ^{\sigma })} _{{\text{(i.e., tests }}\sigma >0{\text{)}}}}$

システムの軌道が強制的に移動させられると仮定すると、${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$、 それから

${\displaystyle {\dot {x}}=-x\qquad {\text{(i.e., }}\sigma (x,{\dot {x}})=x+{\dot {x}}=0{\text{)}}}$

システムがスライディングモードに達すると、システムの2次元ダイナミクスは、グローバルに指数的に安定な平衡点を持つこの1次元システムのように振る舞います。${\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}$。

スライディングモード制御は、状態オブザーバの設計に使用できます。これらの非線形高ゲインオブザーバは、推定誤差ダイナミクスの座標を有限時間内にゼロにする能力があります。さらに、スイッチドモードオブザーバは、カルマンフィルタと同様に魅力的な測定ノイズ耐性を備えています。^{[ 12 ] [ 13 ]}簡単にするために、この例では、 LTI システム用のLuenberger オブザーバの従来のスライディングモード修正を使用します。これらのスライディングモードオブザーバでは、システムがスライディングモードに入ると、オブザーバダイナミクスの次数が 1 つ減ります。この特定の例では、単一の推定状態の推定誤差が有限時間内にゼロになり、その後、他の推定誤差は指数関数的にゼロに減衰します。しかし、Drakunov によって最初に説明されたように、^{[ 14 ]}非線形システムのスライディングモードオブザーバは、すべての推定状態の推定誤差を有限時間 (かつ任意に小さい) 内にゼロにするように設計されています。

ここでは、LTIシステムについて考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} \\y={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &\end{bmatrix}}\mathbf {x} =x_{1}\end{cases}}}$

状態ベクトル${\displaystyle \mathbf {x} \triangleq (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$、${\displaystyle \mathbf {u} \triangleq (u_{1},u_{2},\dots ,u_{r})\in \mathbb {R} ^{r}}$は入力のベクトルであり、出力yは の最初の状態に等しいスカラーです。${\displaystyle \mathbf {x} }$状態ベクトル。

${\displaystyle A\triangleq {\begin{bmatrix}a_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$

どこ

• ${\displaystyle a_{11}}$は、最初の状態の影響を表すスカラーです。${\displaystyle x_{1}}$それ自体で、
• ${\displaystyle A_{21}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$は、最初の状態が他の状態に与える影響に対応する行ベクトルです。
• ${\displaystyle A_{22}\in \mathbb {R} ^{(n-1)\times (n-1)}}$は、他の状態が自身に与える影響を表す行列であり、
• ${\displaystyle A_{12}\in \mathbb {R} ^{1\times (n-1)}}$これは、他の状態が最初の状態に与える影響を表す列ベクトルです。

目標は、状態ベクトルを推定する高ゲイン状態オブザーバを設計することである。${\displaystyle \mathbf {x} }$測定からの情報のみを使用する${\displaystyle y=x_{1}}$したがって、ベクトルを${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},\dots ,{\hat {x}}_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$n個の状態の推定値とする。観測者は次の形式をとる。

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$

どこ${\displaystyle v:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$推定状態間の誤差の非線形関数である${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$そして出力${\displaystyle y=x_{1}}$、 そして${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{n}}$は、典型的な線形ルーエンバーガーオブザーバと同様の目的を果たすオブザーバゲインベクトルである。同様に、

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}}$

どこ${\displaystyle L_{2}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$は列ベクトルです。さらに、${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$状態推定誤差とする。つまり、${\displaystyle \mathbf {e} ={\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} }$誤差の動態は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {e} }}&={\dot {\hat {\mathbf {x} }}}-{\dot {\mathbf {x} }}\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})-A\mathbf {x} -B\mathbf {u} \\&=A({\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} )+Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A\mathbf {e} +Lv(e_{1})\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$は、最初の状態推定値の推定誤差です。非線形制御則vは、スライディングマニホールドを強制するように設計できます。

${\displaystyle 0={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$

そのため、その見積もりは${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$実際の状況を追跡する${\displaystyle x_{1}}$ある有限時間後（つまり、${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$したがって、スライディングモード制御の切り替え機能は

${\displaystyle \sigma ({\hat {x}}_{1},{\hat {x}})\triangleq e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}.}$

スライディングマニホールドを実現するには、${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$そして${\displaystyle \sigma }$常に反対の符号を持つ必要があります (つまり、${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$基本的にすべての${\displaystyle \mathbf {x} }$）。 しかし、

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {e}}_{1}=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(e_{1})=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(\sigma )}$

どこ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\triangleq (e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$これは、測定されていないすべての状態に対する推定誤差の集合です。${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$、 させて

${\displaystyle v(\sigma )=M\operatorname {sgn} (\sigma )}$

どこ

${\displaystyle M>\max\{|a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}|\}.}$

つまり、正の定数M は、システムの推定誤差の最大値をスケーリングした値（すなわち、初期誤差。初期誤差は有界であると仮定されるため、M を十分に大きく選択できる。al）よりも大きくなければならない。M が十分に大きい場合、システムは次のことを達成すると考えられる。${\displaystyle e_{1}=0}$（つまり、${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$）。 なぜなら${\displaystyle e_{1}}$この多様体に沿って一定（つまり0）であり、${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=0}$同様である。したがって、不連続制御${\displaystyle v(\sigma )}$同等の連続制御に置き換えることができる${\displaystyle v_{\text{eq}}}$どこ

${\displaystyle 0={\dot {\sigma }}=a_{11}{\mathord {\overbrace {e_{1}} ^{{}=0}}}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-{\mathord {\overbrace {v_{\text{eq}}} ^{v(\sigma )}}}=A_{12}\mathbf {e} _{2}-v_{\text{eq}}.}$

それで

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {v_{\text{eq}}} _{\text{scalar}}}}={\mathord {\underbrace {A_{12}} _{1\times (n-1) \atop {\text{ vector}}}}}{\mathord {\underbrace {\mathbf {e} _{2}} _{(n-1)\times 1 \atop {\text{ vector}}}}}.}$

この同等の制御${\displaystyle v_{\text{eq}}}$他者からの貢献を表す${\displaystyle (n-1)}$出力状態の軌跡への状態${\displaystyle x_{1}}$特に、行${\displaystyle A_{12}}$エラーサブシステムの出力ベクトルのように機能します

${\displaystyle {\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{2}\\{\dot {e}}_{3}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {e} }}_{2}}}}=A_{2}{\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}e_{2}\\e_{3}\\\vdots \\e_{n}\end{bmatrix}} ^{\mathbf {e} _{2}}}}+L_{2}v(e_{1})=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}v_{\text{eq}}=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}A_{12}\mathbf {e} _{2}=(A_{2}+L_{2}A_{12})\mathbf {e} _{2}.}$

したがって、推定誤差を確実にするために${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$測定されていない状態については、ゼロに収束する。${\displaystyle (n-1)\times 1}$ベクター${\displaystyle L_{2}}$は、${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$マトリックス${\displaystyle (A_{2}+L_{2}A_{12})}$これはフルヴィッツ行列である（つまり、各固有値の実部は負でなければならない）。したがって、これが観測可能である限り、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$システムは、典型的な線形状態オブザーバとまったく同じ方法で安定化できます。${\displaystyle A_{12}}$は出力行列（つまり「C」）と見なされます。つまり、${\displaystyle v_{\text{eq}}}$等価制御は、測定されていない状態に関する測定情報を提供し、その推定値を漸近的にそれらに継続的に近づけることができる。一方、不連続制御は${\displaystyle v=M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x)}$測定状態の推定値は有限時間内に誤差がゼロになるように強制されます。さらに、白色で平均値がゼロの対称的な測定ノイズ（例えばガウスノイズ）は制御vのスイッチング周波数にのみ影響するため、ノイズは等価スライディングモード制御にはほとんど影響を与えません。${\displaystyle v_{\text{eq}}}$したがって、スライディングモードオブザーバはカルマンフィルタのような特徴を持つ。^{[ 13 ]}

オブザーバーの最終バージョンは次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +LM\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}\\&=A_{\text{obs}}{\hat {\mathbf {x} }}+B_{\text{obs}}\mathbf {u} _{\text{obs}}\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle A_{\text{obs}}\triangleq A,}$
• ${\displaystyle B_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}},}$そして
• ${\displaystyle u_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}.}$

つまり、制御ベクトルを拡張することによって${\displaystyle \mathbf {u} }$スイッチング機能付き${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$スライディングモードオブザーバはLTIシステムとして実装できます。つまり、不連続信号${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$は、2入力LTIシステムの制御入力として見なされる。

簡略化のため、この例ではスライディングモードオブザーバが単一の状態（つまり出力）の測定値にアクセスできると仮定します。${\displaystyle y=x_{1}}$ただし、同様の手順を使用して、状態の重み付き組み合わせのベクトル（つまり、出力が）に対するスライディングモードオブザーバを設計することもできます。${\displaystyle \mathbf {y} =C\mathbf {x} }$（汎用行列Cを使用）。いずれの場合も、スライディングモードは推定出力が${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$測定された出力に従う${\displaystyle \mathbf {y} }$誤差ゼロ（つまり、多様体）${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq {\hat {\mathbf {y} }}-\mathbf {y} =\mathbf {0} }$)

• 可変構造制御
• 可変構造システム
• ハイブリッドシステム
• 非線形制御
• 堅牢な制御
• 最適制御
• 誤差符号のロバスト積分（RISE）制御
• バンバン制御 – スライディングモード制御は、しばしばバンバン制御として実装されます。場合によっては、最適性を確保するためにこのような制御が必要となります。
• Hブリッジ – 「H」字型の4つの脚を形成する4つのスイッチを組み合わせたトポロジー。単一電源しか利用できない場合でも、モーター（またはその他の電気機器）を正転または逆転させるために使用できます。スライディングモード制御システムのアクチュエータによく使用されます。
• スイッチングアンプ – スイッチングモード制御を使用して連続出力を駆動します
• デルタシグマ変調 – 連続的な値の範囲を、2つの状態間を高速に切り替わる信号に符号化するもう1つの（フィードバック）方式（つまり、特殊なスライディングモード制御の一種）
• パルス密度変調 – デルタシグマ変調の一般化された形式。
• パルス幅変調 – 不連続なスイッチングによって連続的な動きを生み出す、もう一つの変調方式。

• Zinober, Alan SI 編 (1994).可変構造とリアプノフ制御. 制御と情報科学に関する講義ノート. 第 193 巻. ロンドン: Springer-Verlag. doi : 10.1007/BFb0033675 . ISBN 978-3-540-19869-7。

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