ボード線図

振幅デシベルは通常、${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$デシベルを定義する。次の形式の伝達関数が与えられた場合

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

どこ${\displaystyle x_{n}}$そして$\displaystyle y_n}}$定数です。${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$、${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$、 そして${\displaystyle H}$伝達関数は次のとおりです。

• sのすべての値において$\displaystyle \omega =x_{n}}$（ゼロ）直線の傾きを${\displaystyle 20a_{n}\ {\text{dB}}}$10年あたり。
• sのすべての値において$\displaystyle \omega =y_{n}}$（ポール）直線の傾きを${\displaystyle 20b_{n}\ {\text{dB}}}$10年ごとに。
• グラフの初期値は境界によって決まります。初期点は、初期角周波数を設定することによって求められます。${\displaystyle \omega }$関数に入力して見つける${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$。
• 初期値における関数の初期勾配は、初期値より小さい値にある零点と極の数と順序によって決まり、最初の2つの規則を使用して求められます。

既約な2次多項式を扱うには、${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$多くの場合、次のように近似できます。$\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$。

零点と極は、${\displaystyle \omega }$ある値に等しい${\displaystyle x_{n}}$または$\displaystyle y_n}}$これは、問題となっている関数が、${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$、そしてそれは複雑な関数なので、${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$したがって、項を含む零点または極が存在する場所では、${\displaystyle (s+x_{n})}$その項の大きさは${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )(x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$。

直線状の振幅プロットを修正するには：

• ゼロのところに点を置く${\displaystyle 3a_{n}\ {\text{dB}}}$線より上。
• すべての柱に点を置く${\displaystyle 3b_{n}\ {\text{dB}}}$線の下。
• それらの点を通る滑らかな曲線を、直線を漸近線（曲線が近づく線）として使用して描きます。

この補正方法は、複素数値の処理方法を組み込んでいないことに注意してください。${\displaystyle x_{n}}$または$\displaystyle y_n}}$既約多項式の場合、グラフを修正する最良の方法は、既約多項式に対応する極または零点における伝達関数の大きさを実際に計算し、その極または零点の線の上または下に点を付けることです。

上記と同じ形式の伝達関数が与えられた場合、

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

要点は、各極と零点ごとに個別のグラフを描き、それらを合計することです。実際の位相曲線は次のように表されます。

${\displaystyle \varphi (s)=-\arctan {\frac {\operatorname {Im} [H(s)]}{\operatorname {Re} [H(s)]}}.}$

位相図を描くには、各極と零点について以下を実行します。

• もし${\displaystyle A}$が正の場合、開始線（傾きゼロ）は0°です。
• もし${\displaystyle A}$負の場合、開始線（傾きゼロ）は-180°です。
• 不安定な零点と極の数の合計が奇数の場合は、その基底に180°を加える。
• あらゆる${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$（安定したゼロの場合）${\displaystyle -\operatorname {Re} (z)<0}$)傾斜を増やす${\displaystyle 45a_{n}}$10年ごとの度数、10年前から${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$（例えば、${\displaystyle |x_{n}|/10}$)
• あらゆる${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$（安定したポールの場合）${\displaystyle -\operatorname {Re} (p)<0}$)傾きを減少させる${\displaystyle 45b_{n}}$10年ごとの度数、10年前から${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$（例えば、${\displaystyle |y_{n}|/10}$)
• 「不安定な」（右半平面）極と零点（${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$）は正反対の行動をとる。
• 位相が変化したら再び傾斜を緩やかにする${\displaystyle 90a_{n}}$度（ゼロの場合）または${\displaystyle 90b_{n}}$度（極の場合）。
• 各極または零点に対して1本の線を描画した後、それらの線を足し合わせて最終的な位相図を作成します。つまり、最終的な位相図は、それまでの各位相図の重ね合わせとなります。

上記の伝達関数の振幅（デシベル単位）（正規化され、角周波数形式に変換済み）は、デシベルゲイン式で与えられる。${\displaystyle A_{\text{vdB}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{vdB}}&=20\log |H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|}}\\&=-20\log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|\\&=-10\log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\text{c}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

次に、入力周波数に対してプロットします。${\displaystyle \omega }$対数スケールでは、伝達関数の漸近的（近似）振幅ボード線図を形成する2本の線で近似できる。

• 以下の角周波数の最初の行${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$は 0 dB の水平線です 。低周波数では${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$この項は小さいため無視でき、上記のデシベルゲインの式はゼロになります。
• 上記の角周波数の2行目${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ は、高周波数では-20 dB/decade の傾きを持つ直線です。${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$項が支配的になり、上記のデシベルゲイン式は次のように簡略化されます。${\displaystyle -20\log(\omega /\omega _{\text{c}})}$これは、10年あたり-20dBの傾きを持つ直線です 。

これら2つの線は、角周波数で交わります。${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$グラフから、コーナー周波数より十分に低い周波数では、回路の減衰は 0  dB であり、これはユニティ パスバンド ゲインに対応し、つまりフィルタ出力の振幅が入力の振幅と等しいことがわかります。コーナー周波数より高い周波数では減衰します。周波数が高いほど、減衰も大きくなります。 

位相ボード線図は、次式で与えられる伝達関数の位相角をプロットすることによって得られる。

${\displaystyle \arg H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}$

対${\displaystyle \omega }$、 どこ${\displaystyle \omega }$そして${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$はそれぞれ入力角周波数とカットオフ角周波数です。入力周波数がコーナー周波数よりはるかに低い場合、比率は${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$は小さいため、位相角はゼロに近い。比率が増加すると、位相の絶対値が増加し、 のときに −45° になる。${\displaystyle \omega =\omega _{\text{c}}}$入力周波数がコーナー周波数よりはるかに高い場合、比率が増加するにつれて位相角は漸近的に-90°に近づきます。位相プロットの周波数スケールは対数です。

振幅プロットと位相プロットの両方において、水平方向の周波数軸は、正規化された（無次元の）周波数比に置き換えることができる。${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$このような場合、プロットは正規化されていると言われ、入力周波数はすべてカットオフ周波数の倍数として表されるため、周波数の単位は使用されなくなります。${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$。

図6と図7は、ゲインの挙動と用語を示しています。3極アンプの場合、図6はフィードバックなしのゲイン（開ループゲイン）A _OLとフィードバックありのゲイン（閉ループゲイン） A _FBのボード線図を比較したものです。詳細については、負帰還アンプの項を参照してください。

この例では、低周波数ではA _OL = 100  dB、1 / β = 58  dB です。低周波数では、A _FB ≈ 58  dB となります。

開ループゲインA _OLがプロットされており、積 β A _{OL が}プロットされていないため、条件A _OL = 1 / β によってf _{0  dB}が決定されます。低周波数および大きなA _{OLの場合のフィードバックゲインは}A _FB ≈ 1 / βです(大きなゲインA _OLの場合のフィードバックゲインの式については、このセクションの冒頭を参照してください)。したがって、 f _{0  dB を}求める同等の方法は、フィードバックゲインが開ループゲインと交差する点を確認することです。(周波数f _{0  dB}は、後で位相余裕を求めるために必要になります。)

f _{0  dB}における 2 つのゲインのクロスオーバー付近では、この例では Barkhausen 基準がほぼ満たされ、フィードバック増幅器はゲインに大きなピークを示します (β A _OL = −1 の場合は無限大になります)。ユニティゲイン周波数f _{0  dB}を超えると、開ループゲインは十分に小さくなり、A _FB ≈ A _{OLとなります (} A _OLが小さい場合については、このセクションの冒頭の式を参照してください)。

図7は対応する位相比較を示しています。フィードバック増幅器の位相は、開ループゲインの位相が-180°となる周波数f180までほぼゼロです_。この付近では、フィードバック増幅器の位相は急激に低下し、開ループ増幅器の位相とほぼ同じになります。（A _OLが小さい場合、 A _FB ≈ A _OLであることを思い出してください。）

_{図6と図7のラベル付き点を}比較すると、この増幅器ではユニティゲイン周波数f0dBと位相反転周波数f180が非常に近い値、f180 ≈ f0dB ≈ 3.332kHzであることがわかります。これは_、ゲイン余裕と位相_余裕が ほぼゼロであることを意味します。この増幅器は、安定限界に近い状態です_。  

図8と図9は、異なるフィードバック量βに対するゲイン余裕と位相余裕を示しています。フィードバック係数は図6または図7よりも小さく選択されており、条件|βAOL|=1がより低い周波数に移動しています。この例では、1/β=77dBで_あり 、低周波数では_AFB≈77dBとなります。 

_{図8はゲインプロットを示しています。図8から、1/βと}AOL_の交点は_f0dB = 1kHz_で発生します 。f0dB付近のゲインAFB_のピークがほぼ消えていることに注目してください。^[注₂  ^{] [ 9 ]}  

_{図9は位相プロットです。図8の振幅プロットから得られた}f0dB = 1kHzの値を用いると_、f0dBにおける開ループ位相は_-135  °となり、これは-180°より45°高い位相余裕となります_。  

図9を用いると、位相が-180°の場合、f180の値は_3.332kHzとなる（もちろん、以前に求めた結果と同じである^{[注3 ]} _{）。図8の}f180における開ループゲインは58dB 、1/β = 77dBなので、ゲインマージンは19dBである。    

アンプの応答の基準は安定性だけではなく、多くの用途では安定性よりも優れたステップ応答が求められます。経験則として、優れたステップ応答には少なくとも45°の位相余裕が必要であり、特に製造公差による部品のばらつきが問題となる場合は、70°を超える余裕が推奨されることがよくあります。^{[ 9 ]}ステップ応答の記事の位相余裕に関する議論も参照してください。

• 例
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  図 6: フィードバック増幅器A _FBのゲイン (dB) と対応するオープンループ増幅器A _OL。パラメータ 1/β = 58  dB であり、低周波数でもA _FB ≈ 58  dB です。この増幅器のゲイン マージンはほぼゼロです。これは、| β A _OL | = 1 がほぼf = f _180°で発生するためです。
• 
  図7：フィードバック増幅器°A _FBの位相（度）と対応する開ループ増幅器°A _OL。この増幅器の位相余裕はほぼゼロです。これは、位相反転がほぼユニティゲイン周波数f = f _{0  dBで発生し、} | β A _OL | = 1となるためです。
• 
  図8：フィードバック増幅器AFBのゲイン（_dB）と対応する開ループ増幅器AOL。この例では、1/β = 77 dB_です 。この増幅器のゲインマージンは19  dBです。
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  図9：フィードバック増幅器AFBの位相（_度）と対応する開ループ増幅器AOL _。この増幅器の位相余裕は45°です。