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力学系理論は、複雑な力学系の挙動を記述するために用いられる数学の分野であり、通常は微分方程式または差分方程式を用いる。微分方程式を用いる場合、この理論は連続力学系と呼ばれる。物理的な観点から見ると、連続力学系は古典力学の一般化であり、運動方程式が直接仮定され、最小作用原理のオイラー・ラグランジュ方程式に制約されない一般化である。差分方程式を用いる場合、この理論は離散力学系と呼ばれる。時間変数が、ある区間では離散的で、他の区間では連続である集合、またはカントール集合のような任意の時間集合上を走る場合、時間尺度上の力学方程式が得られる。微分差分方程式のような混合演算子によってモデル化できる状況もある。
この理論は、力学系の長期的な定性的挙動を扱い、惑星の軌道や電子回路の挙動など、本質的に機械的またはその他の物理的な性質を持つシステム、および生物学、経済学、その他の分野で生じるシステムの運動方程式の性質、そして可能な場合はその解を研究する。現代の研究の多くは、カオス系や奇妙なシステムの研究に焦点を当てている。
この研究分野は、力学系、数理力学、数理力学系理論、または力学系の数学理論とも呼ばれます。
力学系理論とカオス理論は、力学系の長期的な定性的挙動を扱います。ここでは、力学系を定義する方程式の正確な解を見つけること（これは多くの場合不可能です）に重点を置くのではなく、「システムは長期的に定常状態に落ち着くのか、もしそうなら、どのような定常状態が考えられるのか？」、あるいは「システムの長期的な挙動は初期条件に依存するのか？」といった疑問に答えることに重点を置きます。
重要な目標の一つは、与えられた力学系の固定点、すなわち定常状態を記述することです。これらは、時間とともに変化しない変数の値です。これらの固定点の中には、吸引力を持つものがあり、システムが近傍の状態から開始した場合、固定点に向かって収束します。
同様に、周期点、つまり数ステップごとに繰り返されるシステムの状態にも関心が集まります。周期点は吸引点にもなり得ます。シャーコフスキーの定理は、一次元離散力学系の周期点の数に関する興味深い定理です。
単純な非線形力学系でさえ、しばしば一見ランダムな振る舞いを示し、それはカオスと呼ばれています。[ 1 ]カオスの明確な定義と調査を扱う力学系の分野は、カオス理論と呼ばれています。
力学系理論の概念は、ニュートン力学に起源を持つ。ニュートン力学では、他の自然科学や工学分野と同様に、力学系の発展法則は、システムのわずかな未来の状態のみを示す関係式によって暗黙のうちに与えられている。
高速計算機が登場する以前は、力学系の問題を解くには高度な数学的手法が必要であり、解けるのはごく限られた種類の力学系に限られていた。
数学的動的システム理論の優れた解説としては、Beltrami (1998)、Luenberger (1979)、Padulo & Arbib (1974)、Strogatz (1994)などが挙げられる。[ 2 ]
力学系の概念とは、周囲空間における点の位置の時間依存性を記述するあらゆる固定された「規則」を数学的に定式化したものである。例としては、時計の振り子の揺れ、パイプ内の水の流れ、湖における春ごとの魚の数などを記述する数学モデルが挙げられる。
力学系は、実数の集合、あるいはより一般的には適切な状態空間内の点の集合によって決定される状態を持ちます。システムの状態の小さな変化は、数値の小さな変化に対応します。これらの数値は、幾何学的空間、すなわち多様体の座標でもあります。力学系の進化規則は、現在の状態から将来の状態がどのように変化するかを記述する固定規則です。この規則は、決定論的（与えられた時間間隔において、現在の状態から将来の状態を正確に予測できる）または確率的（状態の進化は一定の確率でしか予測できない）のいずれかです。
ダイナミズム（動的仮説、認知科学における動的仮説、あるいは動的認知とも呼ばれる）は、哲学者ティム・ファン・ゲルデルの研究に代表される、認知科学における新しいアプローチである。このアプローチは、従来のコンピュータモデルよりも微分方程式の方が認知のモデル化に適していると主張する。
数学において、非線形システムとは、線形ではないシステム、すなわち重ね合わせの原理を満たさないシステムのことです。より分かりやすく言えば、非線形システムとは、解くべき変数が独立成分の線形和として表せない問題のことです。独立変数の関数が存在する点を除けば線形である非同次システムは、厳密な定義によれば非線形ですが、特定の解が分かっていれば線形システムに変換できるため、通常は線形システムと並行して研究されます。
スポーツバイオメカニクスでは、運動科学において、運動能力と効率をモデル化するための有効な枠組みとして、力学系理論が登場しました。力学系理論は解析力学にルーツを持つため、これは驚くべきことではありません。精神生理学的観点から見ると、人間の運動システムは、相互依存するサブシステム（呼吸器系、循環器系、神経系、骨格筋系、知覚系など）の非常に複雑なネットワークであり、多数の相互作用する構成要素（血液細胞、酸素分子、筋肉組織、代謝酵素、結合組織、骨など）で構成されています。力学系理論では、運動パターンは、物理システムと生物システムに見られる一般的な自己組織化プロセスを通じて出現します。[ 4 ]この枠組みの概念的応用に関連する主張のいずれについても、研究による検証はありません。
動的システム理論は、神経科学や認知発達の分野、特に新ピアジェ派の認知発達理論において応用されてきた。認知発達は、構文やAIに基づく理論よりも物理理論によって最もよく説明できると考えられている。また、微分方程式は人間の行動をモデル化する上で最も適切なツールであると考えられている。これらの方程式は、状態空間におけるエージェントの認知軌跡を表すものと解釈される。言い換えれば、動的システム論者は、心理学とは、特定の環境的および内部的圧力下におけるエージェントの認知と行動を（微分方程式を用いて）記述するものであるべきだ（あるいは既に記述している）と主張している。カオス理論の用語も頻繁に採用されている。
この段階では、学習者の心は古いパターンが崩壊した不均衡な状態に達します。これが認知発達の相転移です。活動レベルが互いに結びつくにつれて、自己組織化（一貫性のある形態の自発的な生成）が始まります。新たに形成された巨視的および微視的な構造が互いに支え合い、プロセスを加速させます。これらのつながりは、スカラップ（複雑なパフォーマンスの繰り返し構築と崩壊）と呼ばれるプロセスを通じて、心の中に新しい秩序状態の構造を形成します。この新しい斬新な状態は、漸進的で、離散的で、特異で、予測不可能です。[ 5 ]
動的システム理論は最近、児童発達におけるA-not-Bエラーと呼ばれる長年未解決だった問題を説明するために使用されている。[ 6 ]
さらに、1990年代半ば以降[ 7 ] 、システム理論的コネクショニズムを志向する認知科学は、（非線形）「動的システム理論（DST）」の手法をますます採用するようになった。[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]現代のコネクショニズムにおけるさまざまな神経記号的認知ニューロアーキテクチャは、その数学的構造的コアを考慮すると、（非線形）動的システムとして分類できる。[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]神経認知におけるコネクショニスト認知ニューロアーキテクチャとDSTを融合しようとするこれらの試みは、ニューロインフォマティクスやコネクショニズムだけでなく、最近では発達心理学（「動的場理論（DFT）」[ 14 ] [ 15 ]）や、「進化的ロボティクス」および「発達ロボティクス」[ 16 ]から、数学的手法「進化的計算（EC）」に関連して来ている。概要についてはMaurerを参照。[ 17 ] [ 18 ]
第二言語習得の研究に動的システム理論を適用したのは、ダイアン・ラーセン＝フリーマンである。彼女は1997年に論文を発表し、第二言語習得は言語の喪失と習得の両方を含む発達過程として捉えるべきだと主張した。 [ 19 ]彼女は論文の中で、言語は動的で複雑、非線形、混沌としており、予測不可能で、初期条件に敏感で、開放的で、自己組織化しており、フィードバックに敏感で、適応性のある動的システムとして捉えるべきだと主張した。