フィードバック線形化

フィードバック線形化は、非線形制御において非線形システムを制御するために用いられる一般的な戦略である。フィードバック線形化技術は、次のような非線形制御システムに適用できる。

ここで、は状態、は入力です。このアプローチでは、変数の変更と適切な制御入力を通じて、非線形制御システムを同等の線形制御システムに変換します。特に、座標と制御入力の変更を求め、座標のダイナミクスが 線形で制御可能な制御システムの形をとります。 ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u_{1}(t),\ldots ,u_{m}(t)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=\Phi (x)}$${\displaystyle u=a(x)+b(x)\,v,}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle z(t)}$

結果として得られる線形制御システムの外部ループ制御戦略を適用して、制御目標を達成できます。

ここでは、単一入力単一出力（SISO）システムのフィードバック線形化のケースを考えます。同様の結果は、複数入力複数出力（MIMO）システムに拡張できます。この場合、およびです。目的は、システム（1）をいわゆる正規形に変換する座標変換を見つけることです。これにより、次の形式のフィードバック法則が明らかになります。 ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=T(x)}$

これにより、新しい入力から出力への線形入出力マップが作成されます。変換されたシステムが元のシステムと同等の表現になることを保証するには、変換が微分同相写像でなければなりません。つまり、変換は可逆 (つまり、全単射) であるだけでなく、変換とその逆変換の両方が滑らかで、元の座標系での微分可能性が新しい座標系でも保持される必要があります。実際には、変換は局所的に微分同相であることしかできず、線形化の結果はこのより狭い領域でのみ有効です。 ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$${\displaystyle y}$

この問題を解決するにはいくつかのツールが必要です。

フィードバック線形化の目的は、出力とその1次導関数を状態とする変換されたシステムを生成することである。この対象システムの構造を理解するために、リー導関数を使用する。連鎖律を使用して計算できる(2)の時間導関数を考える。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {{\mathord {\operatorname {d} }}h(x)}{{\mathord {\operatorname {d} }}t}}&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x)+{\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x)u\end{aligned}}}$

ここで、のリー微分を次のように定義できます。 ${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle L_{f}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x),}$

同様に、のリー微分は、 ${\displaystyle h(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle L_{g}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x).}$

この新しい表記法では、次のように表現できます。 ${\displaystyle {\dot {y}}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u}$

リー微分の表記は、同じベクトル場、あるいは異なるベクトル場に関して複数の微分を取るときに便利であることに注意してください。たとえば、

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}f(x),}$

そして

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}g(x).}$

出力の状態ベクトルとその一次導関数から構成されるフィードバック線形化システムでは、入力がどのようにシステムに入るかを理解する必要があります。そのために、相対次数の概念を導入します。(1)と(2)で示されるシステムは、次の場合に 点で相対次数を持つと言われています。${\displaystyle y}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle r\in \mathbb {W} }$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x}$近所の​​${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle k\leq r-2}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

出力の時間微分表現に照らして相対次数のこの定義を考慮すると、システム(1)と(2)の相対次数は、入力が明示的に現れる前に出力を微分しなければならない回数であると考えることができる。LTIシステムでは、相対次数は、伝達関数の分母多項式の次数(つまり、極の数)と分子多項式の次数(つまり、ゼロの数)の差である。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u}$

以下の議論では、システムの相対次数が であると仮定します。この場合、出力時間を微分すると、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}}$

ここで、 という表記はの 番目の導関数を示します。システムの相対次数が であると仮定したため、の形式のリー導関数はすべてゼロになります。つまり、入力はどの 1 番目の導関数にも直接寄与しません。 ${\displaystyle y^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$${\displaystyle i=1,\dots ,n-2}$${\displaystyle u}$${\displaystyle (n-1)}$

システムを正規形にする座標変換は、 1次導関数から得られる。特に、 ${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

は、元の座標系から新しい座標系に軌道を変換します。この変換が微分同相写像である限り、元の座標系での滑らかな軌道は、座標系でも滑らかな軌道を持つ一意の軌道を持ちます。これらの軌道は、新しいシステムによって記述されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.}$

したがって、フィードバック制御法則

${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)}$

は、からへの線形入出力マップを描画します。結果として得られる線形化システム ${\displaystyle v}$${\displaystyle z_{1}=y}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}}$

は積分器のカスケードであり、標準的な線形システム手法を使用して外側のループ制御を選択できます。特に、状態フィードバック制御法則は ${\displaystyle n}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$

ここで状態ベクトルは出力であり、その一次導関数はLTIシステムの結果となる。${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle {\dot {z}}=Az}$

と、

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

したがって、 を適切に選択することで、線形化されたシステムの閉ループ極を任意に配置できます。 ${\displaystyle K}$

フィードバック線形化は、相対次数が 未満のシステムで実現できます。ただし、システムの通常の形式には、不安定な可能性があるゼロダイナミクス（つまり、システムの出力から観測できない状態）が含まれます。実際には、不安定なダイナミクスはシステムに有害な影響を与える可能性があります（たとえば、システムの内部状態が無制限に大きくなると危険な場合があります）。これらの観測できない状態は制御可能であるか、少なくとも安定している可能性があるため、これらの状態が実際に問題を引き起こさないように対策を講じることができます。最小位相システムは、ゼロダイナミクスに関する洞察を提供します。 ${\displaystyle n}$

NDI は必ずしもこのタイプのシステムに限定されるわけではありませんが、以下に示すように、 入力がアフィンである非線形 MIMO システムを考えてみましょう。${\displaystyle \mathbf {\mathbf {u} } }$

入力の数と出力の数は同じであると仮定します。入力と出力があるとします。すると は行列で、 はその列を構成するベクトルです。さらに、および です。SISO の場合と同様の導出を使用するには、式 4 のシステムを、式 5 に示すように、各' 番目の出力を分離して分割できます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle G=[\mathbf {g} _{1}\,\mathbf {g} _{2}\,\cdots \,\mathbf {g} _{m}]}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle \mathbf {g} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {u} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{i}}$

SISOと同様に、の ' 次導関数まではという項が成り立つことが示される。ここで は' 番目の出力の相対次数を指す。同様に、これは次式を与える。 ${\displaystyle (r_{i}-1)}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle L_{g_{j}}h_{i}(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle i}$

これをSISOと同じように計算すると、仮想入力を次のように 定義すると、${\displaystyle v_{i}}$

は、この番目のシステムを線形化します。しかし、 の場合、の値が与えられていると、明らかに解くことができません。しかし、すべての出力に対してこのような方程式を設定すると、式 7 に示す形式の方程式が得られます。これらの方程式を組み合わせると、以下に示すように、 一般に入力 について解くことができる行列方程式が得られます。${\displaystyle i}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {u} }$

• 非線形制御

• Fabio CelaniとAlberto Isidori編 (2009)。「フィードバック線形化」。Scholarpedia 。 2022年12月31日閲覧。
• ECE 758: シングルリンクフレキシブルジョイントマニピュレータのモデリングと非線形制御 - フィードバック線形化の説明と応用を示します。
• ECE 758: ボールインチューブ線形化の例 – すでに正規形になっているシステムに対する線形化の簡単な適用 (つまり、座標変換は不要)。
• フィードバック線形化、相対次数の計算、ゼロダイナミクスの決定を行うWolfram 言語関数。