Z変換

数学と信号処理において、Z変換は実数または複素数の列である離散時間信号を複素数値の周波数領域（Z領域またはZ平面）表現に変換します。^{[1] [2]}

これはラプラス変換（s領域またはs平面）の離散時間版と考えることができる。^{[3]この類似性は}時間スケール計算の理論で探求されている。

連続時間フーリエ変換はs 領域の垂直軸 (虚軸) 上で評価されますが、離散時間フーリエ変換はz 領域の単位円に沿って評価されます。s 領域の左半平面は z 領域の単位円の内側の領域にマッピングされ、s 領域の右半平面は z 領域の単位円の外側の領域にマッピングされます。

信号処理において、デジタル フィルタを設計する手段の 1 つは、アナログ設計をs 領域から z 領域にマッピングする双線形変換にかけ、検査、操作、または数値近似によってデジタル フィルタを作成することです。このような方法は、複素数単位の近傍、つまり低周波数以外では正確ではない傾向があります。

現在ではデジタル制御システムの解析と設計の要となる Z 変換として認識されている基本概念は、20 世紀半ばに登場した当時はまったく新しいものではなかった。その萌芽的な原理はフランスの数学者ピエール＝シモン・ラプラスの研究に遡ることができる。ラプラスは、密接に関連する数学的手法であるラプラス変換でよく知られている。しかし、現在 Z 変換として理解されているものの明示的な定式化と応用は、1947 年にWitold Hurewiczと同僚によって大幅に進歩した。彼らの研究は、当時レーダー技術の文脈でますます重要になってきていたサンプルデータ制御システムによってもたらされた課題に動機づけられた。Z 変換は、離散時間信号とシステムの解析で広く使用されている定数係数の線形差分方程式を解くための体系的かつ効果的な方法を提供した。^{[4] [5]}

この方法は、コロンビア大学のサンプルデータ制御グループの一員であったジョン・R・ラガッツィーニとロトフィ・A・ザデーの努力により、1952年にさらに改良され、「Z変換」という公式名称が付けられました。彼らの研究は、Z変換の数学的枠組みを固めただけでなく、特に電気工学と制御システムの分野でその応用範囲を拡大しました。^{[6] [7]}

改良Z変換または高度Z変換として知られる注目すべき拡張は、後にEliahu I. Juryによって導入されました。Juryの研究は、特に初期条件の処理とデジタル制御システムの解析のためのより包括的なフレームワークの提供において、Z変換の適用性と堅牢性を拡張しました。この高度な定式化は、離散時間制御システムの設計と安定性の解析において極めて重要な役割を果たし、デジタル信号処理の分野に大きく貢献しました。^{[8] [9]}

興味深いことに、Z 変換の概念的基礎は、組合せ論と確率論の強力なツールである生成関数法として知られるより広範な数学的概念と交差しています。このつながりは、確率論の発展における先駆者であるアブラハム・ド・モアブルによって 1730 年にはすでに示唆されていました。ド・モアブルは生成関数を利用して確率の問題を解き、最終的に Z 変換へと発展するものの基礎を築きました。数学的な観点からは、Z 変換はローラン級数の特定のインスタンスと見なすことができます。ローラン級数では、調査対象の数のシーケンスが解析関数の (ローラン) 展開の係数として解釈されます。この観点は、Z 変換の深い数学的ルーツを強調するだけでなく、数学と工学のさまざまな分野にわたるその汎用性と幅広い適用性を示しています。^[10]

Z変換は片側変換または両側変換として定義できます。（片側ラプラス変換と両側ラプラス変換があるのと同じです。）^[11]

離散時間信号の両側 Z 変換は、次のように定義される正式なべき級数です。 ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$

ここでは整数で、は一般に複素数です。極形式では、次のように表すことができます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })}$

ここで、は の大きさ、は虚数単位、 はラジアン単位の複素引数（角度または位相とも呼ばれる）です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle z}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \phi }$

あるいは、 がに対してのみ定義されている場合、片側Z 変換は次のように定義されます。 ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle n\geq 0}$

信号処理では、この定義を使用して、離散時間因果システムの単位インパルス応答の Z 変換を評価することができます。

一方向 Z 変換の重要な例としては、確率生成関数が挙げられます。ここで、 は離散確率変数が値を取る確率です。 Z 変換の特性 (§ 特性にリストされています) は、確率論の文脈で有用な解釈ができます。 ${\displaystyle x[n]}$

逆Z 変換は次のとおりです 。

ここで、 は原点を囲み、収束領域(ROC) 内に完全に含まれる反時計回りの閉じた経路です。ROC が因果関係にある場合 (例 2 を参照)、これは経路が のすべての極を囲む必要があることを意味します。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X(z)}$

この輪郭積分の特殊なケースは、 が単位円であるときに発生します。この輪郭は、ROC が単位円を含むときに使用できます。これは、 が安定しているとき、つまりすべての極が単位円の内側にあるときに常に保証されます。この輪郭を使用すると、逆 Z 変換は、単位円の周りの Z 変換の周期値の逆離散時間フーリエ変換、またはフーリエ級数に簡略化されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle X(z)}$

の有限範囲と有限個の均一に間隔を置いた値を持つ Z 変換は、Bluestein の FFT アルゴリズムによって効率的に計算できます。離散時間フーリエ変換(DTFT) (離散フーリエ変換(DFT)と混同しないでください) は、を単位円上に 制限することによって得られる Z 変換の特殊なケースです。${\displaystyle n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

逆変換の評価には、次の3つの方法がよく使用されます。

この方法では、コーシー留数定理を適用して逆 Z 変換を評価します。複素平面の閉じた輪郭の周りを積分することにより、ROC 内の Z 変換関数の極の留数が合計されます。この手法は、複素変数で表される関数を扱う場合に特に便利です。

この方法では、Z 変換はべき級数に展開されます。このアプローチは、Z 変換関数が有理数である場合に役立ち、級数に展開して項ごとに信号係数を決定することで逆関数の近似が可能になります。

この手法では、Z 変換を、それぞれが既知の Z 変換ペアに対応する、より単純な分数の合計に分解します。次に、Z 変換ペアの標準テーブルで各項を検索して、逆 Z 変換を決定します。この方法は、その効率性と単純さから広く使用されており、特に元の関数を認識可能なコンポーネントに簡単に分解できる場合によく使用されます。

A) 級数展開法によって次の逆Z変換を決定する。

$${\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-1.5z^{-1}+0.5z^{-2}}}}$$

解決：

ケース1:

中華人民共和国:${\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}$

ROC は円の外部であるため、因果関係があります (n≥0 の場合に信号が存在します)。 ${\displaystyle x(n)}$

$${\displaystyle X(z)={1 \over 1-{3 \over 2}z^{-1}+{1 \over 2}z^{-2}}=1+{{3 \over 2}z^{-1}}+{{7 \over 4}z^{-2}}+{{15 \over 8}z^{-3}}+{{31 \over 16}z^{-4}}+....}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\left\{1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}},{\frac {31}{16}}\ldots \right\}\\&\qquad \!\uparrow \\\end{aligned}}}$$（矢印はx(0)=1の項を示す）

長除算プロセスの各ステップで、 の最小のべき乗項を削除することに注意してください。 ${\displaystyle z^{-1}}$

ケース2:

中華人民共和国:${\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}$

ROC は円の内部であるため、反因果的です (n<0 の場合に信号が存在します)。 ${\displaystyle x(n)}$

長除算を実行すると、

$${\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-{\frac {3}{2}}z^{-1}+{\frac {1}{2}}z^{-2}}}=2z^{2}+6z^{3}+14z^{4}+30z^{5}+\ldots }$$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\{30,14,6,2,0,0\}\\&\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\uparrow \\\end{aligned}}}$（矢印はx(0)=0の項を示す）

長除算プロセスの各ステップで、 の最小のべき乗項を削除することに注意してください。 ${\displaystyle z}$

注記：

1. 信号が因果関係にある場合、 の正の累乗が得られ、信号が反因果関係にある場合、 の負の累乗が得られます。${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$
2. ${\displaystyle z^{k}}$は の期間を示し、は の期間を示します。${\displaystyle x(-k)}$${\displaystyle z^{-k}}$${\displaystyle x(k)}$

B) 級数展開法によって次の逆Z変換を決定する。

負の累乗を消去し、を で割ると、 ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\frac {X(z)}{z}}={\frac {z^{2}}{z(z^{2}-1.5z+0.5)}}={\frac {z}{z^{2}-1.5z+0.5}}}$$

部分分数展開により、

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {z}{(z-1)(z-0.5)}}={\frac {A_{1}}{z-0.5}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}\\[4pt]&A_{1}=\left.{\frac {(z-0.5)X(z)}{z}}\right\vert _{z=0.5}={\frac {0.5}{(0.5-1)}}=-1\\[4pt]&A_{2}=\left.{\frac {(z-1)X(z)}{z}}\right\vert _{z=1}={\frac {1}{1-0.5}}={2}\\[4pt]{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {2}{z-1}}-{\frac {1}{z-0.5}}\end{aligned}}}$$

ケース1:

中華人民共和国:${\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}$

どちらの用語も因果関係があり、したがって因果関係があります。 ${\displaystyle x(n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=2{(1)^{n}}u(n)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=(2-0.5^{n})u(n)\\\end{aligned}}}$$

ケース2:

中華人民共和国:${\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}$

どちらの用語も反因果的であるため、 は反因果的です。 ${\displaystyle x(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-(-1{(0.5)^{n}}u(-n-1))\\&=(0.5^{n}-2)u(-n-1)\\\end{aligned}}}$

ケース3:

中華人民共和国:${\displaystyle 0.5<\left\vert Z\right\vert <1}$

項の 1 つは因果関係があり (p=0.5 は因果関係の部分を提供)、もう 1 つは反因果関係があり (p=1 は反因果関係の部分を提供)、したがって両側性です。 ${\displaystyle x(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=-2u(-n-1)-0.5^{n}u(n)\\\end{aligned}}}$

収束領域( ROC) は、Z 変換の合計が収束する(つまり、大きさが無限大に爆発しない) 複素平面上の点の集合です。

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

間隔を 広げると${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\ .}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(.5)^{-3},(.5)^{-2},(.5)^{-1},1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

合計を見ると

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

したがって、この条件を満たす の値は存在しません。${\displaystyle z}$

（ここで はヘヴィサイドのステップ関数）とする。区間を展開すると、 ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

合計を見ると

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}.}$

最後の等式は無限等比級数から生じ、等式は の場合にのみ成立し、 は として書き直すことができます。したがって、ROC はこの場合、ROC は原点に半径 0.5 の円盤が「打ち抜かれた」複素平面です。${\displaystyle |(.5)z^{-1}|<1,}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|>(.5).}$${\displaystyle |z|>(.5).}$

（ここで はヘヴィサイドのステップ関数）とする。区間を展開すると、 ${\displaystyle x[n]=-(.5)^{n}\,u[-n-1]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(.5)^{-3},-(.5)^{-2},-(.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}$

合計を見ると

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(.5)^{-1}z}{1-(.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}}$

そして、再び無限等比級数を使用すると、等式は の場合にのみ成立し、 はとして書き直すことができます。したがって、ROC はこの場合、ROC は原点を中心とし、半径 0.5 の円盤です。 ${\displaystyle |(.5)^{-1}z|<1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|<(.5).}$${\displaystyle |z|<(.5).}$

この例と前の例の違いは、ROC だけです。これは、変換結果だけでは不十分であることを示すために意図的に行われています。

例 2 と 3 は、ROC を指定した場合のみ、Z 変換が一意であることを明確に示しています。因果関係のあるケースと反因果関係のあるケースの極ゼロ プロットを作成すると、どちらのケースの ROC にも 0.5 の極が含まれていないことがわかります。これは、複数の極がある場合にも当てはまります。ROC に極が含まれることはありません。 ${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle x[n]}$

例2では、​​因果関係のシステムではROCが生成され、例3では反因果関係のシステムではROCが生成され、${\displaystyle |z|=\infty }$${\displaystyle |z|=0.}$

複数の極を持つシステムでは、ROCに極も極も含まれない可能性がある。ROCは円形のバンドを作成する。例えば、 ${\displaystyle |z|=\infty }$${\displaystyle |z|=0.}$

${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]-(.75)^{n}\,u[-n-1]}$

0.5と0.75に極があります。ROCは0.5 < | z | < 0.75となり、原点も無限大も含まれません。このようなシステムは因果項と反因果項を含むため、混合因果システムと呼ばれます。${\displaystyle (.5)^{n}\,u[n]}$${\displaystyle -(.75)^{n}\,u[-n-1].}$

システムの安定性は、ROC のみを知ることによっても判断できます。ROC に単位円が含まれている場合 (つまり、| z | = 1)、システムは安定しています。上記のシステムでは、因果システム (例 2) は、| z | > 0.5 に単位円が含まれているため安定しています。

ROC のないシステムの Z 変換 (つまり、あいまいな ) が提供されていると仮定します。次の条件を満たす場合に、 一意の を決定できます。${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x[n]}$

• 安定性
• 因果関係

安定性のためには、ROC に単位円が含まれている必要があります。因果システムが必要な場合は、ROC に無限大が含まれている必要があり、システム関数は右側のシーケンスになります。反因果システムが必要な場合は、ROC に原点が含まれている必要があり、システム関数は左側のシーケンスになります。安定性と因果性の両方が必要な場合は、システム関数のすべての極が単位円の内側にある必要があります。

そうすれば、ユニークなものが見つかります。 ${\displaystyle x[n]}$

パーセバルの定理

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

初期値定理： が因果関係にある場合、 ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

最終値定理： の極が単位円の内側にある場合、 ${\displaystyle (z-1)X(z)}$

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

ここ：

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

は単位（またはヘヴィサイド）ステップ関数であり、

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

は離散時間単位インパルス関数です（連続時間版の ディラックデルタ関数を参照）。2 つの関数は、単位ステップ関数が単位インパルス関数の累積（実行合計）になるように一緒に選択されます。

単位円として知られる領域 内の の値に対して、変換を 1 つの実変数の関数として定義して表すことができます。また、この双方向変換はフーリエ級数に簡約されます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|{=}1}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle z{=}e^{j\omega }.}$

これは、シーケンスの離散時間フーリエ変換(DTFT)としても知られています。この-周期関数は、フーリエ変換の周期的な合計であり、広く使用されている分析ツールとなっています。これを理解するために、を、ある間隔でのサンプルがシーケンスに等しい任意の関数 のフーリエ変換とします。すると、シーケンスの DTFT は次のように記述できます。 ${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x[n]}$

ここで、は秒単位、はヘルツ単位です。2 つの系列を比較すると、 はサンプルあたりラジアン単位の正規化された周波数であることがわかります。値は に対応します。そして、 を代入すると、式 1 は（フーリエ変換） で表すことができます。${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \omega {=}2\pi fT}$${\displaystyle \omega {=}2\pi }$${\textstyle f{=}{\frac {1}{T}}}$${\textstyle f{=}{\frac {\omega }{2\pi T}},}$ ${\displaystyle X({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}})}$

パラメータT が変化すると、式 2の個々の項はf軸に沿って離れたり近づいたりします。ただし、式 3では、中心は 2 π離れたままですが、幅は拡大または縮小します。シーケンスがLTI システムのインパルス応答を表す場合、これらの関数は周波数応答とも呼ばれます。シーケンスが周期的である場合、その DTFT は 1 つ以上の高調波周波数で発散し、他のすべての周波数では 0 になります。これは、高調波周波数で振幅可変のディラック デルタ関数を使用することでよく表されます。周期性のため、一意の振幅は有限の数しか存在せず、これははるかに単純な離散フーリエ変換(DFT)によって簡単に計算できます。(離散時間フーリエ変換 § 周期データを参照してください。) ${\displaystyle x(nT)}$${\displaystyle x(nT)}$

双線形変換を使用すると、連続時間フィルタ (ラプラス領域で表現) を離散時間フィルタ (Z 領域で表現) に変換したり、その逆を行ったりすることができます。次の置換が使用されます。

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

ラプラス領域の関数をZ領域の関数に変換する（タスティン変換）、または ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

Z 領域からラプラス領域へ。双線形変換により、複素s平面 (ラプラス変換) は複素 z 平面 (z 変換) にマッピングされます。このマッピングは (必然的に) 非線形ですが、s平面の軸全体を z 平面の単位円にマッピングするという点で便利です。このように、フーリエ変換 (軸上で評価されるラプラス変換) は離散時間フーリエ変換になります。これは、フーリエ変換が存在すること、つまり軸がラプラス変換の収束領域にあることを前提としています。 ${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$

時間サンプリングされた関数の片側 Z 変換が与えられると、対応する星印付きの変換によってラプラス変換が生成され、(サンプリング パラメータ) への依存性が復元されます。 ${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

逆ラプラス変換は、インパルスサンプリング関数として知られる数学的な抽象化です。

線形定係数差 (LCCD) 方程式は、自己回帰移動平均方程式に基づく線形システムの表現です。

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}.}$

上の式の両辺はゼロでなければ で割ることができる。LCCDで正規化すると、次の式が書ける。 ${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{0}{=}1,}$

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}$

この形式のLCCD方程式は、「現在の」出力が過去の出力、現在の入力、および以前の入力の関数であることをより明確にするために有利である。${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle y[n-p],}$${\displaystyle x[n],}$${\displaystyle x[n-q].}$

上記の式を Z 変換すると (線形性と時間シフトの法則を使用)、次のようになります。

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

ここで、およびはそれぞれ、およびの z 変換です。(表記規則では通常、大文字を使用して、対応する小文字で表された信号の z 変換を参照します。これは、ラプラス変換の表記規則に似ています。) ${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle Y(z)}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n],}$

システムの伝達関数を整理すると次のようになります。

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

代数学の基本定理から、分子には根（の零点に対応）があり、分母には根（極に対応）がある。伝達関数を零点と極の観点から書き直すと、${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}$

ここで、 は零点、 は極です。零点と極は一般に複素数であり、複素平面 (z 平面) 上にプロットすると極零点プロットと呼ばれます。 ${\displaystyle q_{k}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle k^{\text{th}}}$

さらに、 および にも零点と極が存在する可能性があります。これらの極と零点、および多次の零点と極を考慮すると、零点と極の数は常に等しくなります。 ${\displaystyle z{=}0}$${\displaystyle z{=}\infty .}$

分母を因数分解することで部分分数分解が可能になり、それを時間領域に戻すことができます。これにより、システムの インパルス応答と線形定数係数差分方程式が得られます。

このようなシステムが信号によって駆動される場合、出力は の部分分数分解を実行してから逆 Z 変換を行うことで、出力を見つけることができます。実際には、その量を で乗算する前に分数分解して、簡単に計算できる逆 Z 変換を持つ項を持つの形式を生成することが役立つことがよくあります。 ${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle X(z)}$${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z).}$${\displaystyle Y(z)}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle Y(z)}$

• 高度なZ変換
• 双一次変換
• 差分方程式（再帰関係）
• 離散畳み込み
• 離散時間フーリエ変換
• 有限インパルス応答
• 形式冪級数
• 生成関数
• 生成関数変換
• ラプラス変換
• ローランシリーズ
• 最小二乗スペクトル解析
• 確率生成関数
• スター変換
• ザックトランスフォーム
• ゼータ関数の正規化

• Refaat El Attar、「Z変換に関する講義ノート」、Lulu Press、ノースカロライナ州モリスビル、2005年。ISBN 1-4116-1979 -X。 
• 緒方克彦「離散時間制御システム第2版」 Prentice-Hall Inc、1995年、1987年。ISBN 0-13-034281-5。 
• Alan V. Oppenheim および Ronald W. Schafer (1999)。離散時間信号処理、第 2 版、Prentice Hall 信号処理シリーズ。ISBN 0-13-754920-2。 

• 「Z変換」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• Merrikh-Bayat, Farshad (2014). 「Z 変換の数値逆変換のための 2 つの方法」. arXiv : 1409.1727 [math.NA].
• 一般的なラプラス変換の Z 変換表
• MathworldのZ変換に関する記事
• Comp.DSP の Z 変換スレッド
• ラプラス変換のs平面とZ変換のZ平面の関係を示すグラフ
• エンジニア向けのZ変換のビデオによる説明
• z 変換とは何ですか?