古典的制御理論

古典制御理論は、入力を伴う動的システムの動作と、その動作がフィードバックによってどのように変更されるかを扱う制御理論の分野であり、そのようなシステムをモデル化するための基本的なツールとしてラプラス変換を使用します。

制御理論の通常の目的は、プラントと呼ばれるシステムを制御し、その出力が、固定値または変化する値のリファレンスと呼ばれる所望の制御信号に従うようにすることです。これを実現するために、出力を監視し、リファレンスと比較するコントローラが設計されます。実際の出力と所望の出力の差はエラー信号と呼ばれ、システムの入力にフィードバックとして適用され、実際の出力をリファレンスに近づけます。

古典制御理論は線形時不変（LTI）単入力単出力（SISO）システムを扱います。 ^[1]このようなシステムの入力信号と出力信号のラプラス変換を計算することができます。伝達関数は入力と出力のラプラス変換を関連付けます。

オープンループ コントローラの制限を克服するために、古典的制御理論ではフィードバックを導入しています。クローズドループ コントローラはフィードバックを使用して動的システムの状態または出力を制御します。その名前はシステム内の情報パスに由来しています。プロセス入力 (例:電気モーターに適用される電圧) はプロセス出力 (例: モーターの速度またはトルク) に影響を及ぼし、これはセンサーで測定され、コントローラによって処理されます。結果 (制御信号) はプロセスへの入力として「フィードバック」され、ループが閉じます。

クローズドループ コントローラには、オープンループ コントローラに比べて次の利点があります。

• 外乱除去（クルーズコントロールでの坂道など）
• モデル構造が実際のプロセスと完全に一致せず、モデルパラメータが正確でない場合でも、モデルの不確実性があってもパフォーマンスが保証されます。
• 不安定なプロセスは安定化できる
• パラメータの変化に対する感度の低下
• 参照追跡パフォーマンスの向上

一部のシステムでは、クローズドループ制御とオープンループ制御が同時に使用されます。このようなシステムでは、オープンループ制御はフィードフォワードと呼ばれ、リファレンス追跡のパフォーマンスをさらに向上させるのに役立ちます。

一般的な閉ループ コントローラ アーキテクチャはPID コントローラです。

物理システムは「時間領域」でモデル化できます。この場合、特定のシステムの応答は、さまざまな入力、以前のシステム値、および時間の関数になります。時間が経過するにつれて、システムの状態とその応答は変化します。ただし、システムの時間領域モデルは、人間が解くのが不可能になる可能性のある高次微分方程式を使用してモデル化されることが多く、その一部は、現代のコンピュータ システムでも効率的に解くことが不可能になることがあります。

この問題に対処するために、古典的制御理論ではラプラス変換を使用して、時間領域の常微分方程式 (ODE) を周波数領域の通常の代数多項式に変換します。特定のシステムを周波数領域に変換すると、操作がはるかに簡単になります。

現代の制御理論では、時間領域常微分方程式の複雑さを避けるために領域を変更するのではなく、微分方程式を状態方程式と呼ばれる低次の時間領域方程式のシステムに変換し、それを線形代数の手法を使用して操作します。^[2]

古典的制御理論では、ラプラス変換を使用してシステムと信号をモデル化します。ラプラス変換は、システムが安定しているか不安定であるかに関係なく、連続時間信号に対する周波数領域アプローチです。すべての実数t ≥ 0に対して定義される関数 f ( t )のラプラス変換は、関数F ( s )であり、これは次のように定義される片側変換です。

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

ここでsは複素数周波数パラメータ である

${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$実数σとω を持つ。

一般的なフィードバック制御アーキテクチャはサーボ ループです。サーボ ループでは、システムの出力y(t) がセンサーF を使用して測定され、基準値r(t)から減算されてサーボ エラーeが形​​成されます。次に、コントローラC はサーボ エラーe を使用して、プラント (制御対象のシステム) Pへの入力u を調整し、プラントの出力を基準値に近づけます。これは、下のブロック図に示されています。この種類のコントローラは、閉ループ コントローラまたはフィードバック コントローラです。

これは、単一入力単一出力 ( SISO ) 制御システムと呼ばれます。複数の入力/出力を持つMIMO (つまり、複数入力複数出力) システムが一般的です。このような場合、変数は単純なスカラー値ではなくベクトルで表されます。一部の分散パラメータ システムでは、ベクトルは無限次元(通常は関数) になる場合があります。

コントローラC、プラントP、およびセンサーFが線形かつ時間不変（つまり、伝達関数 C(s)、P(s)、およびF(s)の要素が時間に依存しない）であると仮定すると、上記のシステムは変数のラプラス変換を使用して分析できます。これにより、次の関係が得られます。

${\displaystyle Y(s)=P(s)U(s)\,\!}$

${\displaystyle U(s)=C(s)E(s)\,\!}$

${\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y(s).\,\!}$

Y ( s ) をR ( s ) で解くと、

${\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).}$

この式は、システムの閉ループ伝達関数と呼ばれます。分子は からへの順方向（開ループ）ゲインであり、分母は 1 にフィードバック ループを回るゲイン（いわゆるループ ゲイン）を加えたものです。 、つまりsの各値で大きなノルムを持ち、 の場合、 はにほぼ等しくなり、出力は基準入力にほぼ追従します。 ${\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle y}$${\displaystyle |P(s)C(s)|\gg 1}$${\displaystyle |F(s)|\approx 1}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle R(s)}$

PIDコントローラは、おそらく最もよく使われているフィードバック制御設計です（より粗雑なバンバン制御と並んで）。PIDは比例・積分・微分（Proportional-Integral-Derivative）の頭文字で、誤差信号に作用して制御信号を生成する3つの項を指します。 がシステムに送信される制御信号、が測定された出力、 が望ましい出力、トラッキングエラーである場合、PIDコントローラの一般的な形式は次のようになります。 ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle e(t)=r(t)-y(t)}$

${\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int e(t){\text{d}}t+K_{D}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}e(t).}$

望ましい閉ループダイナミクスは、3 つのパラメータ、およびを調整することによって得られます。多くの場合、これは「チューニング」によって反復的に行われ、プラント モデルに関する特定の知識は必要ありません。安定性は、比例項のみを使用して確保できることがよくあります。積分項は、ステップ外乱 (プロセス制御で顕著な仕様となることが多い) の排除を可能にします。微分項は、応答の減衰または成形に使用されます。PID コントローラは、最も確立されたクラスの制御システムですが、特に複数入力複数出力システム (MIMO) が考慮される場合、より複雑ないくつかのケースでは使用できません。 ${\displaystyle K_{P}}$${\displaystyle K_{I}}$${\displaystyle K_{D}}$

ラプラス変換を適用すると、変換されたPIDコントローラ方程式が得られる。

${\displaystyle u(s)=K_{P}e(s)+K_{I}{\frac {1}{s}}e(s)+K_{D}se(s)}$

${\displaystyle u(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right)e(s)}$

PIDコントローラの伝達関数

${\displaystyle C(s)=\left(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s\right).}$

上で述べた閉ループシステムの良い例があります。

PIDコントローラの伝達関数の直列形式

${\displaystyle C(s)=K\left(1+{\frac {1}{sT_{i}}}\right)(1+sT_{d})}$

フィードバックループの1次フィルタ

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{1+sT_{f}}}}$

フィルタリングされた入力を備えたリニアアクチュエータ

${\displaystyle P(s)={\frac {A}{1+sT_{p}}}}$, = 定数${\displaystyle A}$

これを閉ループ伝達関数の式に代入すると、チューニングは非常に簡単になります。 ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle K={\frac {1}{A}},T_{i}=T_{f},T_{d}=T_{p}}$

そして、同じ結果になります。 ${\displaystyle H(s)=1}$

実用的なPIDコントローラでは、システム内のノイズと共振モードの増幅のため、純粋な微分器は物理的に実現不可能であり、望ましくもありません^[3]。そのため、代わりに位相リード補償器タイプのアプローチ、またはローパスロールオフを備えた微分器が使用されます。

古典的制御理論では、システムを分析し、そのようなシステムのコントローラを設計するためにさまざまなツールを使用します。ツールには、根軌跡、ナイキスト安定基準、ボード線図、ゲインマージン、位相マージンが含まれます。より高度なツールには、パフォーマンスの制限とトレードオフを評価するためのボード積分や、周波数領域での非線形性を分析するための関数の記述などがあります。^[4]

• マイナー ループ フィードバックは、フィードバック制御システムを設計するための古典的な方法です。
• 状態空間（制御）