後退

力学系を考えてみよう

どこ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle z_{1}}$はスカラーです。このシステムは、xサブシステムと積分器のカスケード接続です（つまり、入力uが積分器に入り、積分が${\displaystyle z_{1}}$xサブシステムに入る）。

私たちは次のように仮定します${\displaystyle f_{x}(\mathbf {0} )=0}$、だからもし${\displaystyle u_{1}=0}$、${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$そして${\displaystyle z_{1}=0}$、 それから

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} })+(g_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} }))(\underbrace {0} _{z_{1}})=0+(g_{x}(\mathbf {0} ))(0)=\mathbf {0} &\quad {\text{ (i.e., }}\mathbf {x} =\mathbf {0} {\text{ is stationary)}}\\{\dot {z}}_{1}=\overbrace {0} ^{u_{1}}&\quad {\text{ (i.e., }}z_{1}=0{\text{ is stationary)}}\end{cases}}}$

つまり起源は${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$はシステムの平衡点（すなわち、定常点）です。システムが原点に到達すると、その後は永遠にそこに留まります。

この例では、バックステッピング法を用いて、式（1 ）の単一積分器システムを原点の平衡点の周りで安定化させます。より大まかに言えば、制御則を設計したいのです。 ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$それは州が${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$戻る${\displaystyle (\mathbf {0} ,0)}$システムが任意の初期状態から起動された後。

• まず、仮定として、サブシステム

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )\qquad {\text{where}}\qquad F(\mathbf {x} )\triangleq f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

と${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$リアプノフ関数を持つ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )>0}$そのため

${\displaystyle {\dot {V}}_{x}={\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))\leq -W(\mathbf {x} )}$

どこ${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$は正定値関数です。つまり、既存のより単純なxサブシステムが（リアプノフの意味で）安定であることを既に示していると仮定します。大まかに言うと、この安定性の概念は次のことを意味します。

• • 機能${\displaystyle V_{x}}$これは、 xサブシステムの「一般化されたエネルギー」のようなものです。システムのx状態が原点から離れるにつれて、エネルギーは${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$成長する。
  • 時間の経過とともにエネルギーが${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} (t))}$ゼロに崩壊すると、x状態は崩壊しなければならない${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$つまり、起源${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$これはシステムの安定した平衡状態であり、時間の経過とともにxの状態は継続的に原点に近づいていきます。
  • そう言うと${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$正定値とは${\displaystyle W(\mathbf {x} )>0}$を除くすべての場所${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$、 そして${\displaystyle W(\mathbf {0} )=0}$。
  • 声明${\displaystyle {\dot {V}}_{x}\leq -W(\mathbf {x} )}$つまり${\displaystyle {\dot {V}}_{x}}$すべての点においてゼロから離れて制限されるが、${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$つまり、システムが原点で平衡状態にない限り、その「エネルギー」は減少し続けるということである。
  • エネルギーは常に減衰していくため、システムは安定していなければならず、その軌道は原点に近づくはずである。

私たちの課題は、カスケード接続を実現する制御u を見つけることです。${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$このシステムも安定しています。したがって、この新しいシステムに対して新しいリアプノフ関数の候補を見つける必要があります。その候補は制御uに依存しますが、制御を適切に選択することで、それがどこでも減衰することを保証できます。

• 次に、足し算と引き算によって${\displaystyle g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$（つまり、正味の効果はないので、システムを一切変更しません）${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$より大きなものの一部${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$システムでは、

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}+{\mathord {\underbrace {\left(g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )-g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{0}}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

再編成して

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\mathord {\underbrace {\left(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{F(\mathbf {x} )}}}+g_{x}(\mathbf {x} )\underbrace {\left(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{z_{1}{\text{ error tracking }}u_{x}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

つまり、私たちのカスケード型スーパーシステムは既知の安定性をカプセル化しています${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$サブシステムに加えて、積分器によって発生する誤差摂動。

• これで変数を変更できます${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$に${\displaystyle (\mathbf {x} ,e_{1})}$許可することによって${\displaystyle e_{1}\triangleq z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )}$。 それで

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=u_{1}-{\dot {u}}_{x}\end{cases}}}$

さらに、${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$となることによって${\displaystyle u_{1}=v_{1}+{\dot {u}}_{x}}$そして

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=v_{1}\end{cases}}}$

我々は、新しい制御によるフィードバックによってこの誤差システムを安定化させることを目指す。${\displaystyle v_{1}}$システムを安定させることにより${\displaystyle e_{1}=0}$州${\displaystyle z_{1}}$目的の制御を追跡します${\displaystyle u_{x}}$これにより、内部のxサブシステムが安定化される。

• 既存のリアプノフ関数から${\displaystyle V_{x}}$拡張リアプノフ関数候補を定義する

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,e_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}e_{1}^{2}}$

それで

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\left(2e_{1}{\dot {e}}_{1}\right)\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}{\dot {e}}_{1}\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}\overbrace {v_{1}} ^{{\dot {e}}_{1}}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\dot {\mathbf {x} }} _{{\text{(i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} ^{{\dot {V}}_{x}{\text{ (i.e.,}}{\frac {\operatorname {d} V_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}+e_{1}v_{1}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\left((f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\right)} _{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {V}}_{x}}+e_{1}v_{1}\end{aligned}}}$

配布することで${\displaystyle \partial V_{x}/\partial \mathbf {x} }$我々は、

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))} ^{{}\leq -W(\mathbf {x} )}+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}\leq -W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}}$

確実にするために${\displaystyle {\dot {V}}_{1}\leq -W(\mathbf {x} )<0}$（つまり、スーパーシステムの安定性を確保するために）制御法則を選択します。

${\displaystyle v_{1}=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}}$

と${\displaystyle k_{1}>0}$、 など

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=-W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}\overbrace {\left(-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}\right)} ^{v_{1}}}$

配布後${\displaystyle e_{1}}$を通して、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&=-W(\mathbf {x} )+{\mathord {\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}-e_{1}{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )} ^{0}}}-k_{1}e_{1}^{2}\\&=-W(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}^{2}\leq -W(\mathbf {x} )\\&<0\end{aligned}}}$

したがって、候補となるリアプノフ関数は${\displaystyle V_{1}}$これは真のリアプノフ関数であり、この制御法則の下ではシステムは安定している。${\displaystyle v_{1}}$（これは制御法則に対応する）${\displaystyle u_{1}}$なぜなら${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$) 元の座標系の変数を使用して、等価なリアプノフ関数

後述するように、この手順を多重積分器問題に反復的に適用する際に、このリアプノフ関数が再び使用されます。

• 我々の選択による制御${\displaystyle v_{1}}$最終的には、すべての元の状態変数に依存します。特に、実際のフィードバック安定化制御法則

状態xと${\displaystyle z_{1}}$および機能${\displaystyle f_{x}}$そして${\displaystyle g_{x}}$システムから取得されます。${\displaystyle u_{x}}$既知の安定版から${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$サブシステム。ゲインパラメータ${\displaystyle k_{1}>0}$これはシステムの収束速度に影響を与えます。この制御法則の下では、システムは原点で安定します。${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$。

思い出してください${\displaystyle u_{1}}$式 （３）は、制御法則によってフィードバック安定化されるサブシステムに接続された積分器の入力を駆動する。${\displaystyle u_{x}}$当然のことながら、コントロール${\displaystyle u_{1}}$持っている${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$安定化制御法則に従うように統合される項${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$それに加えて、いくらかのオフセットがあります。その他の項は、そのオフセットと、積分器によって増幅される可能性のあるその他の摂動効果を除去するための減衰を提供します。

このシステムはフィードバック安定化されているため、${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$そしてリアプノフ関数を持つ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$と${\displaystyle {\dot {V}}_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\leq -W(\mathbf {x} )<0}$また、別の単一積分器カスケードシステムの上位サブシステムとして使用することもできます。

一般的な多重積分器の場合の再帰手順を議論する前に、2つの積分器の場合に存在する再帰を研究することは有益である。つまり、次の動的システムを考える。

どこ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle z_{1}}$そして${\displaystyle z_{2}}$ はスカラーです。このシステムは、式（1 ）の単一積分器システムと別の積分器（すなわち入力）のカスケード接続です。${\displaystyle u_{2}}$ は積分器を通して入力され、その積分器の出力は式（１）のシステムに入力される。${\displaystyle u_{1}}$入力）。

許可することで

• ${\displaystyle \mathbf {y} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\z_{1}\end{bmatrix}}\,}$、
• ${\displaystyle f_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}}\,}$、
• ${\displaystyle g_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}},\,}$

 すると、式（4 ）の2つの積分器システムは、1つの積分器システムになる。

単一積分器手順により、制御法則${\displaystyle u_{y}(\mathbf {y} )\triangleq u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$上部を安定させる${\displaystyle z_{2}}$-to -yサブシステムをリアプノフ関数を用いて解析する${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$したがって、式 （5  ）は、式（1 ）の単一積分器システムと構造的に等価な新しい単一積分器システムである。したがって、安定化制御${\displaystyle u_{2}}$は、 を見つけるために使用されたのと同じ単一積分器手順を使用して見つけることができます。${\displaystyle u_{1}}$。

2つの積分器の場合、上側の単一積分器サブシステムが安定化され、同様に安定化可能な新しい単一積分器システムが生成されます。この再帰的な手順は、任意の有限個の積分器を扱うように拡張できます。この主張は、数学的帰納法を用いて形式的に証明できます。ここでは、安定化された多重積分器システムが、既に安定化された多重積分器サブシステムのサブシステムから構築されます。

• まず、力学系を考えてみましょう。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}}$

スカラー入力を持つ${\displaystyle u_{x}}$出力状態${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}}$と仮定する

• • ${\displaystyle f_{x}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$そのため、ゼロ入力（つまり、${\displaystyle u_{x}=0}$システムは原点で静止している${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$この場合、原点はシステムの平衡点と呼ばれます。
  • フィードバック制御法則${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$原点における平衡状態でシステムを安定化させる。
  • このシステムに対応するリアプノフ関数は次のように記述される。${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$。

つまり、出力状態xが入力にフィードバックされる場合${\displaystyle u_{x}}$規制法によって${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$すると、出力状態（およびリアプノフ関数）は、単一の摂動（例えば、非ゼロの初期条件や急激な外乱の後）の後、原点に戻ります。このサブシステムはフィードバック制御則によって安定化されます。${\displaystyle u_{x}}$。

• 次に、入力に積分器を接続します。${\displaystyle u_{x}}$拡張システムが入力を持つように${\displaystyle u_{1}}$（積分器へ）および出力状態x。結果として得られる拡張された動的システムは

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

 この「カスケード」システムは式（1 ）の形式に一致するため、単一積分器バックステッピング手順により式 （3）の安定化制御則が得られます。つまり、状態をフィードバックすると${\displaystyle z_{1}}$そしてxを入力する${\displaystyle u_{1}}$規制法によれば

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})}$

利益を得て${\displaystyle k_{1}>0}$そして、各州${\displaystyle z_{1}}$そしてxは${\displaystyle z_{1}=0}$そして${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$単一の摂動後、このサブシステムはフィードバック制御則によって安定化される。${\displaystyle u_{1}}$ 、そして式（2） から得られる対応するリアプノフ関数は次のようになる。

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

つまり、フィードバック制御法則の下では${\displaystyle u_{1}}$リアプノフ関数${\displaystyle V_{1}}$状態が原点に戻るにつれて、ゼロに減衰する。

• 新しい積分器を入力に接続します${\displaystyle u_{1}}$拡張システムが入力を持つように${\displaystyle u_{2}}$そして出力状態x。結果として得られる拡張された動的システムは

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

これは単一積分器システム に相当する。

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{1}(\mathbf {x} _{1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{1}(\mathbf {x} _{1})}z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

これらの定義を使用して${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$、${\displaystyle f_{1}}$、 そして${\displaystyle g_{1}}$このシステムは次のように表現することもできます。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

 このシステムは式（1 ）の単一積分器構造に一致するため、単一積分器バックステッピング手順を再度適用できます。つまり、状態をフィードバックすると、${\displaystyle z_{1}}$、${\displaystyle z_{2}}$、xを入力する${\displaystyle u_{2}}$規制法によれば

${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=-{\frac {\partial V_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}g_{1}(\mathbf {x} _{1})-k_{2}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))+{\frac {\partial u_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}(f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2})}$

利益を得て${\displaystyle k_{2}>0}$そして、各州${\displaystyle z_{1}}$、${\displaystyle z_{2}}$そして、xは${\displaystyle z_{1}=0}$、${\displaystyle z_{2}=0}$、 そして${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$単一の摂動後、このサブシステムはフィードバック制御則によって安定化される。${\displaystyle u_{2}}$、対応するリアプノフ関数は

${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} _{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))^{2}}$

つまり、フィードバック制御法則の下では${\displaystyle u_{2}}$リアプノフ関数${\displaystyle V_{2}}$状態が原点に戻るにつれて、ゼロに減衰する。

• 積分器を入力に接続します${\displaystyle u_{2}}$拡張システムが入力を持つように${\displaystyle u_{3}}$そして出力状態x。結果として得られる拡張された動的システムは

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

これは単一の積分器システム として再編成することができる。

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{2}\\z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\0\\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

定義によれば${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$、${\displaystyle f_{1}}$、 そして${\displaystyle g_{1}}$前のステップから、このシステムは次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

さらに、これらの定義を使用すると${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$、${\displaystyle f_{2}}$、 そして${\displaystyle g_{2}}$このシステムは次のように表現することもできます。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

 したがって、再編成されたシステムは式（1 ）の単一積分器構造を持ち、単一積分器バックステッピング手順を再び適用できます。つまり、状態をフィードバックすると、${\displaystyle z_{1}}$、${\displaystyle z_{2}}$、${\displaystyle z_{3}}$、xを入力する${\displaystyle u_{3}}$規制法によれば

${\displaystyle u_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=-{\frac {\partial V_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}g_{2}(\mathbf {x} _{2})-k_{3}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))+{\frac {\partial u_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}(f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3})}$

利益を得て${\displaystyle k_{3}>0}$そして、各州${\displaystyle z_{1}}$、${\displaystyle z_{2}}$、${\displaystyle z_{3}}$そして、xは${\displaystyle z_{1}=0}$、${\displaystyle z_{2}=0}$、${\displaystyle z_{3}=0}$、 そして${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$単一の摂動後、このサブシステムはフィードバック制御則によって安定化される。${\displaystyle u_{3}}$、対応するリアプノフ関数は

${\displaystyle V_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=V_{2}(\mathbf {x} _{2})+{\frac {1}{2}}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))^{2}}$

つまり、フィードバック制御法則の下では${\displaystyle u_{3}}$リアプノフ関数${\displaystyle V_{3}}$状態が原点に戻るにつれて、ゼロに減衰する。

• このプロセスは、システムに追加される各インテグレータに対して継続でき、したがって、次の形式のシステムであればどれでも継続できます。

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

再帰構造を持つ

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

単一積分器に対するフィードバック安定化制御とリアプノフ関数を見つけることで、フィードバック安定化が可能となる。${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$サブシステム（つまり、入力付き）${\displaystyle z_{2}}$そして出力x ) を、最終的なフィードバック安定化制御uが判明するまでその内部サブシステムから反復します。反復iでは、等価システムは

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i-2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=u_{i}\end{cases}}}$

対応するフィードバック安定化制御法則は

${\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})=-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})}$

利益を得て${\displaystyle k_{i}>0}$対応するリアプノフ関数は

${\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}}$

この構造により、究極の制御${\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})}$（つまり、最終的な制御は最終反復で見つかる）${\displaystyle i=k}$)