モデル予測制御

モデル予測制御（MPC ）は、一連の制約を満たしながらプロセスを制御するために使用される高度なプロセス制御方法です。 1980年代から化学工場や石油精製所のプロセス産業で使用されています。近年では、電力システムバランシングモデル^[1]やパワーエレクトロニクス^[2]にも使用されています。モデル予測コントローラは、プロセスの動的モデル、ほとんどの場合はシステム同定によって取得された線形経験モデルに依存しています。MPCの主な利点は、将来のタイムスロットを考慮しながら、現在のタイムスロットを最適化できることです。これは、有限の時間範囲を最適化しますが、現在のタイムスロットのみを実装してから再度最適化することを繰り返し行うことで実現されます。この点が線形2次レギュレータ（LQR）とは異なります。また、MPCは将来のイベントを予測し、それに応じて制御アクションを実行できます。PIDコントローラにはこの予測機能はありません。 MPCはほぼ普遍的にデジタル制御として実装されていますが、特別に設計されたアナログ回路でより高速な応答時間を実現する研究が行われています。^[3]

一般化予測制御（GPC）と動的マトリックス制御（DMC）はMPCの古典的な例である。^[4]

MPC で使用されるモデルは、一般的に、複雑および単純な動的システムの動作を表すことを目的としています。単純なシステムを適切に制御するために、MPC 制御アルゴリズムの追加の複雑さは通常必要ありません。単純なシステムは、一般的なPID コントローラによって適切に制御されることが多いためです。PID コントローラにとって難しい一般的な動的特性には、大きな時間遅延と高次のダイナミクスが含まれます。

MPC モデルは、独立変数の変化によって生じるモデル化されたシステムの従属変数の変化を予測します。化学プロセスでは、コントローラによって調整できる独立変数は、多くの場合、調整 PID コントローラの設定値 (圧力、流量、温度など) または最終制御要素 (バルブ、ダンパーなど) のいずれかです。コントローラによって調整できない独立変数は、外乱として使用されます。これらのプロセスにおける従属変数は、制御目標またはプロセス制約を表す他の測定値です。

MPC は、現在のプラント測定値、プロセスの現在の動的状態、MPC モデル、およびプロセス変数のターゲットと制限を使用して、従属変数の将来の変更を計算します。これらの変更は、独立変数と従属変数の両方の制約を尊重しながら、従属変数をターゲットに近づけるように計算されます。MPC は通常、実装する各独立変数の最初の変更のみを送信し、次の変更が必要になったときに計算を繰り返します。

実際のプロセスの多くは線形ではありませんが、狭い動作範囲ではほぼ線形であると考えられることがよくあります。線形 MPC アプローチは、モデルとプロセス間の構造的な不一致による予測エラーを補正する MPC のフィードバック メカニズムを備えたほとんどのアプリケーションで使用されます。線形モデルのみで構成されるモデル予測コントローラでは、線形代数の重ね合わせ原理により、複数の独立変数の変化の影響を加算して従属変数の応答を予測できます。これにより、制御の問題が、高速で堅牢な一連の直接行列代数計算に簡素化されます。

線形モデルが実際のプロセスの非線形性を表すのに十分正確でない場合は、いくつかのアプローチを使用できます。場合によっては、プロセス変数を線形 MPC モデルの前または後に変換して、非線形性を低減できます。プロセスは、制御アプリケーションで直接非線形モデルを使用する非線形 MPC で制御できます。非線形モデルは、経験的データ フィット (人工ニューラル ネットワークなど) の形式、または基本的な質量とエネルギーのバランスに基づく高忠実度の動的モデルの形式にすることができます。非線形モデルを線形化してカルマン フィルターを導出したり、線形 MPC のモデルを指定したりすることができます。

El-Gherwi、Budman、El Kamelによるアルゴリズム研究では、デュアルモードアプローチを利用することで、変更されていない実装と同等のパフォーマンスを維持しながら、オンライン計算を大幅に削減できることが示されています。提案されたアルゴリズムは、コントローラ間の情報交換に基づいて、N個の凸最適化問題を並列に解決します。^[5]

MPC は、プラント モデルの反復的な有限時間範囲の最適化に基づいています。 時刻 に、現在のプラント状態がサンプリングされ、将来の比較的短い時間範囲 について、コストを最小化する制御戦略が (数値最小化アルゴリズムによって) 計算されます。 具体的には、オンラインまたはオンザフライ計算を使用して、現在の状態から発生する状態軌跡を探索し、時刻 までのコストを最小化する制御戦略を(オイラー–ラグランジュ方程式の解によって) 見つけます。 制御戦略の最初のステップのみが実装され、次にプラント状態が再度サンプリングされ、新しい現在の状態から計算が繰り返され、新しい制御と新しい予測状態パスが生成されます。 予測時間は前方にシフトし続け、このため MPC はReceding Horison Controlとも呼ばれます。 このアプローチは最適ではありませんが、実際に非常に良い結果が得られています。オイラー・ラグランジュ型方程式を解く高速法の発見、MPCの局所最適化のグローバル安定性特性の理解、そしてMPC法全般の改善を目的として、多くの学術研究が行われてきました。^{[6] [7]}${\displaystyle t}$${\displaystyle [t,t+T]}$${\displaystyle t+T}$

モデル予測制御は、以下を使用する多変数制御アルゴリズムです。

• プロセスの内部動的モデル
• 後退する地平線上のコスト関数J
• 制御入力uを使用してコスト関数Jを最小化する最適化アルゴリズム

最適化のための二次コスト関数の例を次に示します。

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{N}w_{x_{i}}(r_{i}-x_{i})^{2}+\sum _{i=1}^{M}w_{u_{i}}{\Delta u_{i}}^{2}}$

制約（下限/上限）に違反することなく

${\displaystyle x_{i}}$:制御^変数（例：測定温度）${\displaystyle i}$

${\displaystyle r_{i}}$:^番目の参照変数（例：必要な温度）${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}}$:操作^変数（例：制御弁）${\displaystyle i}$

${\displaystyle w_{x_{i}}}$: 相対的な重要性を反映する重み係数${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle w_{u_{i}}}$: 相対的に大きな変化を罰する重み係数${\displaystyle u_{i}}$

等

非線形モデル予測制御（NMPC）は、予測に非線形システムモデルを使用することを特徴とするモデル予測制御の一種です。線形MPCと同様に、NMPCでは有限の予測期間における最適制御問題の反復解が必要です。これらの問題は線形MPCでは凸型ですが、非線形MPCでは必ずしも凸型ではありません。これはNMPCの安定性理論と数値解の両方に課題をもたらします。^[8]

NMPC 最適制御問題の数値解は、通常、直接最適制御法に基づいており、ニュートン型最適化スキームには、直接シングル シューティング法、直接マルチ シューティング法、または直接コロケーション法のいずれかのバリエーションがあります。^[9] NMPC アルゴリズムは通常、連続する最適制御問題が互いに類似しているという事実を利用します。これにより、以前に計算された最適解から適切にシフトされた推測によってニュートン型ソリューション プロシージャを効率的に初期化できるため、計算時間を大幅に節約できます。後続の問題の類似性は、パス フォローイング アルゴリズム (または「リアルタイム反復」) によってさらに活用されます。パス フォローイング アルゴリズムは、最適化問題を収束まで反復処理しようとはせず、最新の NMPC 問題の解決に向けて数回の反復処理のみを行ってから、適切に初期化された次の問題に進みます。たとえば、を参照してください。^[10]非線形最適化問題に対するもう 1 つの有望な候補は、ランダム化最適化法を使用することです。最適解は、ソリューション空間内の制約を満たすランダム サンプルを生成し、コスト関数に基づいて最適なものを見つけることによって見つかります。^[11]

NMPCの応用はこれまで、比較的サンプリングレートの低いプロセス産業や化学産業で主に使用されてきたが、コントローラハードウェアや計算アルゴリズム（例えば、前処理）の進歩により、^[12]自動車産業などの高サンプリングレートのアプリケーションや、状態が空間に分散している場合（分散パラメータシステム）にもNMPCが適用されるようになってきている。^[13]航空宇宙分野での応用として、最近では、NMPCは最適な地形追従/回避軌道をリアルタイムで追跡するために使用されている。^[14]

明示的 MPC (eMPC) は、オンライン MPC とはまったく対照的に、一部のシステムの制御法則を高速に評価できます。明示的 MPC はパラメトリック プログラミング手法に基づいており、最適化問題として定式化された MPC 制御問題の解がオフラインで事前計算されます。^{[15]このオフライン ソリューション、つまり制御法則は、}区分的アフィン関数(PWA)の形式であることが多いため、eMPC コントローラーは、状態空間の各サブセット (制御領域) の PWA 係数 (PWA は一定) と、すべての領域のいくつかのパラメトリック表現の係数を格納します。すべての領域は、線形 MPC の場合、幾何学的に凸多面体であることが判明し、通常はその面の係数によってパラメーター化されるため、量子化 精度の分析が必要です。^[16]最適な制御アクションを取得するには、まず現在の状態を含む領域を決定し、次にすべての領域に格納されている PWA 係数を使用して PWA を評価するだけです。領域の総数が少なければ、eMPCの実装には（オンラインMPCと比較して）大きな計算リソースは必要なく、高速ダイナミクスを持つ制御システムに特に適しています。^[17] eMPCの重大な欠点は、制御対象システムのいくつかの主要なパラメータ（状態数など）に対する制御領域の総数が指数関数的に増加し、コントローラのメモリ要件が大幅に増加し、PWA評価の最初のステップ、つまり現在の制御領域の検索が計算コストが高くなることです。

モデル予測制御の堅牢なバリアントは、状態の制約が満たされていることを保証しながら、設定された制限された外乱を考慮することができます。堅牢な MPC への主なアプローチのいくつかを以下に示します。

• 最小最大MPC。この定式化では、外乱のあらゆる可能な進化に関して最適化が実行されます。^[18]これは線形ロバスト制御問題に対する最適解ですが、計算コストが高くなります。最小/最大MPCアプローチの基本的な考え方は、オンラインの「最小」最適化を「最小最大」問題に変更し、不確実性セットからのすべての可能なプラントに対して最大化される目的関数の最悪ケースを最小化するというものです。^[19]
• 制約強化MPC。ここでは、状態制約が与えられたマージンだけ拡大され、どのような外乱の進化の下でも軌道が確実に見つかるようになります。^[20]
• チューブMPC。これはシステムの独立した公称モデルを使用し、フィードバックコントローラを使用して実際の状態が公称状態に収束することを保証します。^[21]状態制約から必要な分離量は、フィードバックコントローラの擾乱によって導入される可能性のあるすべての状態偏差の集合であるロバスト正不変（RPI）セットによって決定されます。
• 多段階MPC。これは、サンプルセットで不確実性空間を近似することによってシナリオツリー定式化を使用します。このアプローチは、測定情報が予測の各段階で利用可能であり、各段階での決定が異なる可能性があり、不確実性の影響を打ち消すための手段として機能できることを考慮に入れているため、非保守的です。ただし、このアプローチの欠点は、問題のサイズが不確実性の数と予測期間とともに指数関数的に大きくなることです。^{[22] [23]}
• チューブ強化型多段MPC。このアプローチは、多段MPCとチューブベースMPCを相乗的に組み合わせたものである。不確実性の分類と予測における制御則の選択によって、最適性と単純性の間の望ましいトレードオフを選択する自由度が高い。^{[24] [25]}

市販の MPC パッケージも利用可能で、通常、モデルの識別と分析、コントローラーの設計と調整、コントローラーのパフォーマンス評価の ためのツールが含まれています。

市販のパッケージに関する調査は、SJ Qin と TA Badgwell によってControl Engineering Practice 11 (2003) 733–764 に掲載されています。

モデル予測制御と線形二次レギュレータはどちらも最適制御の表現ですが、最適化コストを設定するスキームが異なります。

モデル予測コントローラは、多くの場合、固定長で、段階的に重み付けされたエラー関数のセットを参照しますが、線形二次レギュレータはすべての線形システム入力を参照し、状態エラーと入力周波数をトレードオフして、周波数スペクトル全体の合計エラーを削減する伝達関数を提供します。

これらの基本的な違いにより、LQR はグローバルな安定性特性が優れていますが、MPC は多くの場合、よりローカルに最適で複雑なパフォーマンスを発揮します。

MPC とLQRの主な違いは、LQR が時間ウィンドウ (地平線) 全体にわたって最適化するのに対し、MPC は後退する時間ウィンドウで最適化すること、^[4]と、MPC では新しいソリューションが頻繁に計算されるのに対し、LQR は時間ウィンドウ全体で同じ単一の (最適な) ソリューションを使用することです。したがって、MPC は通常、地平線全体よりも小さな時間ウィンドウで最適化問題を解決し、最適ではないソリューションを取得する可能性があります。ただし、MPC は線形性について仮定しないため、LQR の主な欠点であるハード制約や非線形システムの線形化された動作点からの移行を処理できます。

これは、LQR が安定した固定点から離れて動作する場合、弱くなる可能性があることを意味します。MPC はこれらの固定点間のパスを描くことができますが、特に問題空間の凸性と複雑さに関する考慮が無視されている場合、ソリューションの収束は保証されません。

• 制御工学
• 制御理論
• フィードフォワード
• システム識別

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• Rawlings, James B.; Mayne, David Q.; Diehl, Moritz M.;モデル予測制御: 理論、計算、設計(第 2 版)、Nob Hill Publishing, LLC、ISBN 978-0975937730 (2017 年 10 月) 
• ガイヤー、トビアス;高出力コンバーターと産業用ドライブのモデル予測制御、Wiley、ロンドン、ISBN 978-1-119-01090-6、2016年11月 

• ケーススタディ。ランカスター廃水処理工場、Perceptive Engineering のモデル予測制御による最適化
• ACADO ツールキット - 線形および非線形 MPC ツールを提供する自動制御および動的最適化用のオープン ソース ツールキット。(C++、MATLAB インターフェイスが利用可能)
• μAO-MPC - 移植性の高い C コードで組み込みシステム上のモデル予測コントローラ向けにカスタマイズされたコードを生成するオープン ソース ソフトウェア パッケージ。
• GRAMPC - 勾配ベースの拡張ラグランジュ法を使用した組み込み非線形モデル予測制御用のオープンソース ソフトウェア フレームワーク。(プレーン C コード、コード生成なし、MATLAB インターフェイス)
• jMPC ツールボックス - 線形 MPC 用のオープン ソース MATLAB ツールボックス。
• NMPC の超流体極低温への応用に関する研究 (博士課程プロジェクト)。
• MATLAB および Python 向け非線形モデル予測制御ツールボックス
• MATLABおよびSimulinkでのモデル予測制御器の設計とシミュレーションのためのMathWorksのモデル予測制御ツールボックス
• パルスステップモデル予測制御器 - 仮想シミュレータ
• Excel と MATLAB の例を使用した MPC のチュートリアル
• GEKKO: Python によるモデル予測制御