閉ループコントローラ

閉ループコントローラまたはフィードバック コントローラは、開ループ コントローラまたは非フィードバック コントローラとは対照的に、フィードバックを組み込んだ制御ループです。閉ループ コントローラは、フィードバックを使用して動的システムの状態または出力を制御します。その名前は、システム内の情報パスに由来しています。プロセス入力 (例:電気モーターに適用される電圧) は、センサーで測定され、コントローラによって処理されるプロセス出力 (例: モーターの速度またはトルク) に影響を及ぼします。結果 (制御信号) は、プロセスへの入力として「フィードバック」され、ループが閉じます。^[1]

線形フィードバックシステムの場合、センサー、制御アルゴリズム、アクチュエーターを含む制御ループが、設定値(SP) で変数を調整するために配置されます。日常的な例としては、道路を走行する車両のクルーズ コントロールがあります。クルーズ コントロールでは、坂道などの外部の影響によって速度が変化しますが、ドライバーは希望の設定速度を変更できます。コントローラーのPID アルゴリズムは、車両のエンジンの出力を制御することで、遅延やオーバーシュートを最小限に抑えながら、実際の速度を最適な方法で希望の速度に戻します。達成しようとしている結果をある程度感知する機能を含む制御システムは、フィードバックを利用しており、変化する状況にある程度適応できます。オープン ループ制御システムはフィードバックを利用せず、事前に設定された方法でのみ実行されます。

クローズドループ コントローラには、オープンループ コントローラに比べて次の利点があります。

• 外乱の排除（上記のクルーズコントロールの例の坂道など）
• モデル構造が実際のプロセスと完全に一致せず、モデルパラメータが正確でない場合でも、モデルの不確実性があってもパフォーマンスが保証されます。
• 不安定なプロセスは安定化できる
• パラメータの変化に対する感度の低下
• 参照追跡パフォーマンスの向上
• ランダム変動の修正の改善^[2]

一部のシステムでは、クローズドループ制御とオープンループ制御が同時に使用されます。このようなシステムでは、オープンループ制御はフィードフォワードと呼ばれ、リファレンス追跡のパフォーマンスをさらに向上させるのに役立ちます。

一般的な閉ループ コントローラ アーキテクチャはPID コントローラです。

基本的に、制御ループには、オープンループ制御(フィードフォワード) とクローズドループ制御(フィードバック) の 2 種類があります。

オープンループ制御では、コントローラからの制御アクションは「プロセス出力」（または「制御されたプロセス変数」）とは無関係です。この良い例としては、建物の温度に関係なく、一定時間熱が加えられるようにタイマーのみで制御されるセントラルヒーティングボイラーが挙げられます。制御アクションはボイラーのオン/オフの切り替えですが、制御変数は建物の温度である必要がありますが、これはボイラーのオープンループ制御であり、温度のクローズドループ制御ではないため、そうではありません。

閉ループ制御では、コントローラからの制御動作はプロセス出力に依存します。ボイラーの例えでは、これには建物の温度を監視するサーモスタットが含まれ、それによってコントローラがサーモスタットで設定された温度に建物を維持するように信号をフィードバックします。したがって、閉ループコントローラにはフィードバックループがあり、コントローラが制御動作を実行して「参照入力」または「設定点」と同じプロセス出力を与えることを保証します。このため、閉ループコントローラはフィードバックコントローラとも呼ばれます。^[3]

英国規格協会による閉ループ制御システムの定義は、「監視フィードバックを備えた制御システムであり、このフィードバックの結果として形成された偏差信号は、偏差をゼロに減らす傾向があるように最終制御要素の動作を制御するために使用される。」^[4]

同様に、「フィードバック制御システムとは、あるシステム変数と別のシステム変数の関数を比較し、その差を制御手段として利用することで、あるシステム変数と別のシステム変数の所定の関係を維持するシステムである。」^[5]

システムの出力y ( t ) は、センサー測定Fを介してフィードバックされ、基準値r ( t ) と比較されます。次に、コントローラC は、基準と出力の誤差e (差) を取得して、制御対象システムPへの入力u を変更します。これは図に示されています。この種類のコントローラは、閉ループ コントローラまたはフィードバック コントローラです。

これは、単一入力単一出力 ( SISO ) 制御システムと呼ばれます。複数の入力/出力を持つMIMO (つまり、複数入力複数出力) システムが一般的です。このような場合、変数は単純なスカラー値ではなくベクトルで表されます。一部の分散パラメータ システムでは、ベクトルは無限次元(通常は関数) になる場合があります。

コントローラC、プラントP、およびセンサーFが線形かつ時間不変（つまり、伝達関数 C ( s )、P ( s )、およびF ( s ) の要素が時間に依存しない）であると仮定すると、上記のシステムは変数のラプラス変換を使用して分析できます。これにより、次の関係が得られます。

${\displaystyle Y(s)=P(s)U(s)}$

${\displaystyle U(s)=C(s)E(s)}$

${\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y(s).}$

Y ( s ) をR ( s ) で解くと、

${\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)F(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).}$

この式は、システムのクローズドループ伝達関数と呼ばれます。分子はrからyへの順方向（オープンループ）ゲインであり、分母はフィードバックループを回るゲイン、いわゆるループゲインに 1 を加えたものです。 、つまりsの各値で大きなノルムを持ち、 の場合、Y ( s ) はR ( s )にほぼ等しく、出力は基準入力に厳密に追従します。 ${\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}}$${\displaystyle |P(s)C(s)|\gg 1}$${\displaystyle |F(s)|\approx 1}$

比例・積分・微分コントローラ (PID コントローラ) は、 制御システムで広く使用されている制御ループ フィードバック メカニズムの制御手法です。

PIDコントローラは、所望の設定点と測定されたプロセス変数との差としてエラー値 e ( t )を継続的に計算し、比例項、積分項、微分項に基づいて補正を適用します。PIDは、比例・積分・微分項の頭文字で、エラー信号に作用して制御信号を生成する 3 つの項を指します。

理論的な理解と応用は 1920 年代に始まり、ほぼすべてのアナログ制御システムに実装されています。最初は機械式コントローラで、その後は個別電子機器を使用して、さらに産業用プロセス コンピュータで実装されました。PID コントローラは、おそらく最もよく使用されるフィードバック制御設計です。

u ( t )がシステムに送られる制御信号、y ( t )が測定された出力、r ( t )が望ましい出力、e ( t ) = r ( t ) − y ( t )が追跡誤差である場合、PIDコントローラの一般的な形式は次のようになります 。

${\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int ^{t}e(\tau ){\text{d}}\tau +K_{D}{\frac {{\text{d}}e(t)}{{\text{d}}t}}.}$

望ましい閉ループダイナミクスは、3 つのパラメータK _P、K _I、K _{D を}調整することで得られます。多くの場合、これは「チューニング」によって反復的に行われ、プラント モデルに関する特定の知識は必要ありません。安定性は、比例項のみを使用して確保できる場合が多いです。積分項は、ステップ外乱 (プロセス制御で顕著な仕様となることが多い) の排除を可能にします。微分項は、応答の減衰または成形に使用されます。PID コントローラは、最も確立されたクラスの制御システムですが、特にMIMOシステムを考慮する 場合、より複雑ないくつかのケースでは使用できません。

ラプラス変換を適用すると、変換されたPIDコントローラ方程式が得られる。

${\displaystyle u(s)=K_{P}\,e(s)+K_{I}\,{\frac {1}{s}}\,e(s)+K_{D}\,s\,e(s)}$

${\displaystyle u(s)=\left(K_{P}+K_{I}\,{\frac {1}{s}}+K_{D}\,s\right)e(s)}$

PIDコントローラの伝達関数

${\displaystyle C(s)=\left(K_{P}+K_{I}\,{\frac {1}{s}}+K_{D}\,s\right).}$

閉ループシステムH ( s )におけるPIDコントローラの調整例として、次式で表される1次プラントを考える。

${\displaystyle P(s)={\frac {A}{1+sT_{P}}}}$

ここでAとT _Pは定数である。プラントの出力は

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{1+sT_{F}}}}$

ここでT _Fも定数です。ここで、K _D = KT _Dと設定すると、PIDコントローラの伝達関数は次のように級数形式で表すことができます。 ${\displaystyle K_{P}=K\left(1+{\frac {T_{D}}{T_{I}}}\right)}$${\displaystyle K_{I}={\frac {K}{T_{I}}}}$

${\displaystyle C(s)=K\left(1+{\frac {1}{sT_{I}}}\right)(1+sT_{D})}$

P ( s )、F ( s )、C ( s )を閉ループ伝達関数H ( s )に代入すると、次のように設定できます。

${\displaystyle K={\frac {1}{A}},T_{I}=T_{F},T_{D}=T_{P}}$

H ( s ) = 1。この例では、この調整により、システム出力は参照入力に正確に従います。

しかし、実際には、純粋な微分器は、システム内のノイズと共振モードの増幅のため、物理的に実現可能でも望ましくもありません^{[6] 。そのため、代わりに}位相リード補償器タイプのアプローチまたはローパスロールオフを備えた微分器が使用されます。