入力から状態への安定性

入力状態安定性（ISS）^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]は、外部入力を持つ非線形}制御システムの安定性を研究するために広く使用されている安定性の概念です。大まかに言えば、外部入力がない場合に大域的に漸近的に安定であり、十分に長い時間にわたってその軌跡が入力のサイズの関数によって制限される場合、制御システムはISSです。ISSが重要なのは、この概念が、制御システムコミュニティで広く使用されている入力出力法と状態空間法の間のギャップを埋めたという事実によるものです。

ISS は、リャプノフ安定性理論と入出力安定性理論を統合し、非線形システムの安定化、堅牢な非線形オブザーバの設計、非線形相互接続制御システムの安定性、非線形検出可能性理論、および監視適応制御に関する私たちの考え方に革命をもたらしました。これにより、ISS は非線形制御理論における支配的な安定性パラダイムとなり、ロボット工学、メカトロニクス、システム生物学、電気工学、航空宇宙工学など、さまざまな分野で応用されています。

ISSの概念は、1989年にエドゥアルド・ソンタグによって常微分方程式で記述されるシステムのために導入されました。 ^[7]

それ以来、この概念は偏微分方程式に従うシステム、遅延システム、ハイブリッドシステムなど、他の多くのクラスの制御システムにうまく適用されてきました。^[5]

次の形式の 時間不変常微分方程式系を考える。

ここで、はルベーグ測定可能な本質的に有界な外部入力であり、は第1引数に関して第2引数に関して一様であるリプシッツ連続関数である。これにより、システム( 1 )の唯一の絶対連続解が存在することが保証される。 ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

ISS と関連する特性を定義するために、次の比較関数のクラスを利用します。 を を伴う 連続増加関数の集合で表し、 を伴う 連続厳密減少関数の集合で表します。次に、を関数として表すことができます。 ここで、すべての に対して、すべての に対してです。${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \gamma (0)=0}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\gamma (r)=0}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}}}$${\displaystyle r>0}$

システム（１ ）は、対応するシステムがゼロ入力を持つ場合、 ゼロで大域的に漸近安定（０−ＧＡＳ）と呼ばれる。

は大域的に漸近的に安定であり、すなわち、すべての初期値 とすべての時間に対して、次の推定値が（WithoutInputs） の解に対して有効となるようなものが存在する。 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle t\geq 0}$

システム（１ ）は、関数が存在し 、 すべての初期値、すべての許容入力、すべての時間に対して次の不等式が成り立つ 場合、入力状態安定（ISS）と呼ばれます。${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle t\geq 0}$

上記の不等式の関数 はゲインと呼ばれます。 ${\displaystyle \gamma }$

明らかに、ISS システムは 0-GAS かつBIBO 安定です(出力をシステムの状態と等しくした場合)。逆の含意は一般には当てはまりません。

の場合には となることも証明できます。 ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|u(t)|=0}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|x(t)|=0}$

ISS を理解するには、他の安定性特性の観点から ISS を再表現することが非常に重要です。

システム( 1 )は、が​​存在するとき 大域的 に安定(GS)と呼ばれ、${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \forall x_{0}}$${\displaystyle \forall u}$${\displaystyle \forall t\geq 0}$

システム（１）は、次 が存在する場合に 漸近的ゲイン（AG）特性を満たす。${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \forall x_{0}}$${\displaystyle \forall u}$

以下の文は十分に正規な右辺に対しては同値である^[8]${\displaystyle f}$

1. （1）はISS

2. （1）はGSであり、AG特性を持つ

3. （1）は0-GASであり、AG特性を持つ。

この結果の証明とISSの他の多くの特徴付けは、論文 ^[8]と^[9]で見つけることができます。右辺の正則性に関する非常に緩やかな制限の下で有効であり、より一般的な無限次元システムに適用可能な ISSの他の特徴付けは、 ^{[10]で示されています。}${\displaystyle f}$

ISS の検証に重要なツールは ISS-Lyapunov 関数です。

滑らかな関数は、( 1 )に対してISS-リャプノフ関数と呼ばれ、正定値関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

そして それは成り立ちます: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$

この関数はリアプノフゲインと呼ばれます。 ${\displaystyle \chi }$

システム（１）に入力がない場合（すなわち）は、最後の含意は条件 ${\displaystyle u\equiv 0}$

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$

これは、 が「古典的な」リャプノフ関数であることを示しています 。 ${\displaystyle V}$

E.ソンタグとY.ワンによる重要な結果は、システム( 1 )がISSであるためには、それに対して滑らかなISS-リャプノフ関数が存在する必要があるということである。^[9]

システムを検討する

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$

候補となるISS-リャプノフ関数を次のように 定義する。${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$

リャプノフゲインを選択する ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$。

すると、次の式が 成り立つ。 ${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$

これは、 リャプノフゲイン を持つ対象システムの ISS-リャプノフ関数であること を示しています。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \chi }$

ISS フレームワークの主な特徴の 1 つは、入力から状態までの安定したシステムの相互接続の安定性特性を研究できることです。

次に示すシステムを考える。

ここで、、およびは、 - 番目のサブシステムからの入力に関して一様的にリプシッツ連続です。 ${\displaystyle u\in L_{\infty }(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle x_{i}(t)\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$

( WholeSys )の -番目のサブシステムの場合、ISS-Lyapunov関数の定義は次のように記述できます。 ${\displaystyle i}$

滑らかな関数とは、( WholeSys ) の 番目のサブシステムに対する ISS-Lyapunov 関数 (ISS-LF) であり、次のような関数、、 、および正定値関数が存在する場合です。 ${\displaystyle V_{i}:\mathbb {R} ^{p_{i}}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \psi _{i1},\psi _{i2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$${\displaystyle \chi _{ij},\chi _{i}\in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle \chi _{ii}:=0}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \psi _{i1}(|x_{i}|)\leq V_{i}(x_{i})\leq \psi _{i2}(|x_{i}|),\quad \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$

そしてそれは ${\displaystyle \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle V_{i}(x_{i})\geq \max\{\max _{j=1}^{n}\chi _{ij}(V_{j}(x_{j})),\chi _{i}(|u|)\}\ \Rightarrow \ \nabla V_{i}(x_{i})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\leq -\alpha _{i}(V_{i}(x_{i})).}$

カスケード相互接続は、 -番目のサブシステムのダイナミクスがサブシステムの状態に依存しない特殊なタイプの相互接続です。正式には、カスケード相互接続は次のように記述できます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle 1,\ldots ,i-1}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{i},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.}$

上記システムのすべてのサブシステムがISSである場合、カスケード接続全体もISSである。^{[7] [4]}

ISSシステムのカスケード接続とは対照的に、0-GASシステムのカスケード接続は一般に0-GASではありません。次の例はこの事実を示しています。次に示すシステムを考えてみましょう。

このシステムの両方のサブシステムは 0-GAS ですが、十分に大きい初期状態と特定の有限時間に対してはそれが成り立ちます。 つまり、システム ( Ex_GAS ) は有限の脱出時間を示し、したがって 0-GAS ではありません。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle t^{*}}$${\displaystyle x(t)\to \infty }$${\displaystyle t\to t^{*}}$

サブシステムの相互接続構造は、内部のリアプノフゲインによって特徴付けられる。相互接続（WholeSys ）がISSであるかどうかは、次のように定義される ゲイン演算子の特性に依存する。${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{n}}$

${\displaystyle \Gamma (s):=\left(\max _{j=1}^{n}\chi _{1j}(s_{j}),\ldots ,\max _{j=1}^{n}\chi _{nj}(s_{j})\right),\ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}.}$

次の小ゲイン定理は、 ISSシステムの相互接続のISSの十分条件を確立する。を、対応するゲイン、を持つ( WholeSys )の番目のサブシステムのISS-Lyapunov関数とします。非線形小ゲイン条件${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \chi _{ij}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

が成り立つ場合、全体の相互接続はISSである。^{[11] [12]}

小ゲイン条件（SGC）は、 の各サイクル に対して（つまり、すべてに対して）成立し、 すべてに対して成立する。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (k_{1},...,k_{p})\in \{1,...,n\}^{p}}$${\displaystyle k_{1}=k_{p}}$${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle \gamma _{k_{1}k_{2}}\circ \gamma _{k_{2}k_{3}}\circ \ldots \circ \gamma _{k_{p-1}k_{p}}(s)<s.}$

この形式の小ゲイン条件は、巡回小ゲイン条件とも呼ばれます。

システム（１ ）は、関数が存在し、 すべての初期値、すべての許容入力、すべての時間に対して次の不等式が成り立つ 場合、積分入力状態安定（ISS）と呼ばれる。${\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle t\geq 0}$

ISSシステムとは対照的に、システムが積分ISSである場合、その軌道は有界入力に対しても有界ではない可能性がある。これを確認するには、すべての を とし、 を取る。すると推定値( 3 )は次の形になる。 ${\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle u\equiv c=const}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}$

そして右辺は として無限大に増大します 。 ${\displaystyle t\to \infty }$

ISS フレームワークと同様に、リャプノフ法は iISS 理論において中心的な役割を果たします。

滑らかな関数は、( 1 )に対して、かつ正定値関数である場合に、iISS-リャプノフ関数と呼ばれる。 ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

そして それは成り立ちます: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|)+\gamma (|u|).}$

D. Angeli、E. Sontag、Y. Wangによる重要な結果は、システム( 1 )が積分ISSであるためには、それに対するiISS-Lyapunov関数が存在する必要があるということである。

上記の式ではが正定値のみであると仮定されていることに注意してください。 がのiISS-リャプノフ関数である場合、 は実際にはシステム( 1 )のISS-リャプノフ関数であることが簡単に証明できます。 ^[13]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {K}}_{\infty }}$${\displaystyle V}$

これは特に、すべてのISSシステムが積分ISSであることを示しています。次の例が示すように、逆の含意は正しくありません。システムを考えてみましょう。

${\displaystyle {\dot {x}}=-\arctan {x}+u.}$

このシステムはISSではない。なぜなら、十分に大きな入力に対しては軌道が無限だからである。しかし、これは次のように定義される iISS-リャプノフ関数を持つ積分ISSである。${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(x)=x\arctan {x}.}$

ISSプロパティのローカルバージョンも重要な役割を果たします。定数と関数 が存在する場合、システム（ 1 ）はローカルISS（LISS）と呼ばれます。${\displaystyle \rho >0}$

${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$そして、 すべての、すべての許容される入力とすべての時間に対して、 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }$${\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }$${\displaystyle t\geq 0}$

興味深い観察結果は、0-GASがLISSを意味するということです。^[14]

ISS安定性に関連する他の多くの概念が導入されている：増分ISS、入力から状態への動的安定性（ISDS）^[15] 、入力から状態への実用的安定性（ISpS）、入力から出力への安定性（IOS）^[16]など。

時間不変の時間遅延システムを考える

ここでは、時刻 におけるシステム ( TDS ) の状態を示しており、システム ( TDS ) の解の存在と一意性を保証するために特定の仮定を満たしています。 ${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$

システム（TDS ）がISSであるのは、あらゆる、あらゆる許容入力、すべてのに対して、次が成り立つよう な関数とが存在する場合のみである。${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$

時間遅れシステムに対するISS理論では、2つの異なるリャプノフ型十分条件が提案されている。ISSリャプノフ-ラズミキン関数^[17]とISSリャプノフ-クラソフスキー関数^[18]である。時間遅れシステムに対する逆リャプノフ定理については、^{[19]を参照。}

時間不変常微分方程式に基づくシステムの入力から状態への安定性は、かなり発達した理論です。最近のモノグラフを参照してください。^[6]しかし、他のクラスのシステムのISS理論も、時間変動ODEシステム^[20]とハイブリッドシステムについて研究されています。^{[21] [22]}最近、ISS概念の無限次元システムへの一般化も提案されました。^{[23] [24] [3] [25]}

1. オンラインセミナー: 入力から状態への安定性とその応用

2. ISSのYouTubeチャンネル