立ち上がり時間

システムがガウス応答を持つとは、そのシステムが以下の周波数応答によって特徴付けられる場合をいう。

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}}$

ここでσ > 0は定数であり、^{[ 14 ]}は高カットオフ周波数と次の関係で結び付けられます。

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

たとえこのような周波数応答が因果フィルタでは実現できないとしても、^{[ 15 ]}その有用性は、1次ローパスフィルタのカスケード接続の挙動が、カスケード接続段数が漸近的に無限大に近づくにつれて、このシステムの挙動にますます近づくという事実にある。^{[ 16 ]}対応するインパルス応答は、示された周波数応答の逆フーリエ変換を用いて計算できる。

$\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}e^{i\omega t}}\,d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

ステップ応答の定義を直接適用すると、

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\sigma t/2}e^{-\tau ^{2}}\,d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

システムの10%から90%までの立ち上がり時間を求めるには、次の2つの式を時間について解く必要があります。

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

誤差関数の既知の性質を利用すると、 t = − t ₁ = t ₂の値が得られます。t r ₌ t ₂ − t ₁ = 2 t    なので、

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

そして最後に

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^{[ 17 ]}

単純な1段ローパスRCネットワークの場合、^{[ 18 ]} 10%から90%までの立ち上がり時間はネットワーク時定数τ = RCに比例します。

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau }$

_{比例定数は、}振幅V0の単位ステップ関数入力信号に対するネットワークのステップ応答を知ることによって導き出すことができる。

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

時間を求める

$\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

そして最後に、

$\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

t ₁とt ₂は、

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

これらの式を解くと、 t ₁とt ₂の解析的表現が得られます。

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}}$

したがって、立ち上がり時間は時定数に比例します。^{[ 19 ]}

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

さて、

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$^{[ 20 ]}

それから

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

高周波カットオフは帯域幅に等しいので、

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^{[ 17 ]}

最後に、20%から80%までの立ち上がり時間を考慮すると、t _rは次のようになることに注意してください。

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

単純な1段ローパスRLネットワークであっても、10%から90%までの立ち上がり時間はネットワークの時定数τ = L ⁄ Rに比例します。この主張の正式な証明は、前のセクションで示したとおりに行われます。立ち上がり時間の最終的な式の違いは、2つの異なる回路の時定数τの式の違いによるものであり、この場合、次の結果が得られます。

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$