ナイキスト安定基準

制御理論と安定性理論において、ナイキスト安定条件またはストレッカー・ナイキスト安定条件は、1930年にシーメンスでドイツの電気技師フェリックス・ストレッカー [de] ^{[1] [2] [3]}と1932年にベル電話研究所でスウェーデン系アメリカ人の電気技師ハリー・ナイキスト^{[4]によって独立に発見され、}動的システムの安定性を決定するためのグラフィカルな手法である。

この手法は、開ループ システムのナイキスト線図のみを対象としているため、閉ループ システムまたは開ループ システムの極と零点を明示的に計算しなくても適用できます (ただし、右半平面の各タイプの特異点の数はわかっている必要があります)。その結果、遅延のあるシステムなど、非有理関数によって定義されるシステムに適用できます。ボード線図とは対照的に、右半平面の特異点を持つ伝達関数を処理できます。さらに、飛行機の制御システムなど、 複数の入力と複数の出力を持つより複雑なシステムにも自然に一般化できます。

ナイキスト安定性基準は、電子工学や制御システム工学、その他の分野で、フィードバックを伴うシステムの設計と解析に広く使用されています。ナイキストは最も一般的な安定性テストの1つですが、線形時不変(LTI)システムに限定されています。ただし、円基準や非線形演算子のスケール相対グラフなど、非線形システムに対するナイキスト基準(およびプロット)の一般化があります。^{[5]さらに、}リアプノフ法などの他の安定性基準も非線形システムに適用できます。

ナイキスト法はグラフィカルな手法ですが、システムが安定または不安定である理由や、不安定なシステムを安定させるためにどのように修正するかについて、限られた直感しか提供しません。ボード線図などの手法は、それほど一般的ではありませんが、より便利な設計ツールになる場合があります。

ナイキスト線図は、自動制御および信号処理で使用される周波数応答のパラメトリック プロットです。ナイキスト線図の最も一般的な用途は、フィードバックを備えたシステムの安定性を評価することです。直交座標では、伝達関数の実数部がX軸にプロットされ、虚数部がY軸にプロットされます。周波数はパラメーターとしてスイープされ、周波​​数ごとに 1 つのポイントが生成されます。同じプロットを極座標を使用して記述することもできます。極座標では、伝達関数のゲインが半径座標で、伝達関数の位相が対応する角度座標です。ナイキスト線図は、ベル研究所の元エンジニアであるハリー ナイキストにちなんで名付けられました。

閉ループ負帰還システムの安定性の評価は、ナイキスト安定基準を開ループシステム（つまり、フィードバックループのない同じシステム）のナイキスト線図に適用することによって行われます。この方法は、他の方法では分析が難しいと思われる遅延やその他の非有理伝達関数を持つシステムにも簡単に適用できます。安定性は、点（−1、0）の円の数を見ることによって決定されます。システムが安定するゲインの範囲は、実軸の交差を見ることによって決定できます。

ナイキスト線図は伝達関数の形状に関するいくつかの情報を提供することができます。例えば、この線図は、曲線が原点に近づく角度によって 伝達関数の零点と極の数の差に関する情報を提供します^{[6] 。}

手書きで描く場合、ナイキスト線図の漫画版が使用されることがあります。これは、曲線の直線性を示しますが、関心領域の詳細を表示するために座標が歪められています。計算でプロットする場合は、関心のあるすべての周波数をカバーするように注意する必要があります。これは通常、広範囲の値をカバーするために、パラメータが対数的にスイープされることを意味します。

数学ではラプラス変換を使用します。これは、時間領域の積分と微分をs領域の単純な乗算と除算に変換します。

伝達関数が であるシステムを考えます。負のフィードバック を持つ閉ループに配置すると、閉ループ伝達関数(CLTF) は次のようになります。 ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

安定性は、たとえばラウス配列を使用して、感度係数多項式の根を調べることによって決定できますが、この方法はやや面倒です。結論は、次のように、ボード線図またはここでのようにナイキスト基準を使用して極座標線図を使用して、開ループ伝達関数 (OLTF) を調べることによっても得られます。 ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$${\displaystyle G(s)H(s)}$

任意のラプラス領域の伝達関数は、 2つの多項式の比として表すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

の根はの零点と呼ばれ、 の根はの極と呼ばれます。 の極は特性方程式の根とも呼ばれます。 ${\displaystyle N(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)=0}$

の安定性はその極の値によって決まります。安定性のためには、すべての極の実部は負でなければなりません。 が開ループ伝達関数の周囲に負の単位フィードバックループを閉じることによって形成される場合、 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

すると、特性方程式の根は の零点、つまり単に の根でもあります。 ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$

複素解析から、関数 の任意の数の零点と極を包含するが通過しない複素平面に描かれた等高線は、関数 によって別の平面 (plane と呼ばれる) にマッピングできます。正確には、等高線の各複素点は新しい平面の点にマッピングされ 、新しい等高線が生成されます。 ${\displaystyle \Gamma_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Gamma_{s}}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F(s)}$

のナイキスト線図、つまり等高線は平面の点を で囲みます。ここで、コーシーの論証原理によります。ここで、 と はそれぞれ、等高線 内のの零点の数と の極の数です。平面内の包囲は等高線と同じ意味で数え、反対方向の包囲は負の包囲であることに注意してください。つまり、時計回りの包囲は正、反時計回りの包囲は負とみなします。 ${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$${\displaystyle s={-1/k+j0}}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=PZ}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1+kF(s)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \Gamma_{s}}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \Gamma_{s}}$

1932 年のハリー・ナイキストによる最初の論文では、コーシーの議論原理の代わりに、あまり洗練されていないアプローチが使用されています。ここで説明するアプローチは、同じくベル研究所に勤務していたリロイ・マッコール (サーボ機構の基礎理論 1945 年) やヘンドリック・ボーデ(ネットワーク分析とフィードバック増幅器の設計 1945 年)が使用したアプローチに似ています。このアプローチは、制御理論に関する現代の教科書のほとんどに掲載されています。

まず、複素平面の右半分を囲む ナイキスト曲線を構築します。

• からまで軸に沿って上方向に移動するパス。${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle 0-j\infty}$${\displaystyle 0+j\infty }$
• 半径 の半円弧で、 から始まり、時計回りに まで進みます。${\displaystyle r\to \infty}$${\displaystyle 0+j\infty }$${\displaystyle 0-j\infty}$

関数 を通してナイキスト等高線を写像すると、複素平面におけるのプロットが得られます。議論の原理により、原点を時計回りに囲む回数は、右半複素平面における の零点の数から右半複素平面における の極の数を引いた数でなければなりません。代わりに、等高線を開ループ伝達関数 を通して写像すると、結果はのナイキスト プロットになります。結果として得られる等高線による −1 の囲みを数えることで、右半複素平面における の極と零点の数の差がわかります。 の零点は閉ループ システムの極であり、 の極はの極と同じであることに留意して、ナイキスト基準を述べます。${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle G(s)}$

ナイキスト曲線 が与えられたとき、が で囲まれたの極の数、 がで囲まれたの零点の数であるとします。あるいは、より重要なことに、が右半平面における閉ループ系の極の数であり、 が右半平面における開ループ伝達関数の極の数である場合、結果として生じる -平面の曲線は、 となるように、点を (時計回りに) 回取り囲むことになります。${\displaystyle \Gamma_{s}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \Gamma_{s}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle \Gamma_{s}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$${\displaystyle (-1+j0)}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle N=ZP}$

システムが元々開ループ不安定である場合、システムを安定させるためにはフィードバックが必要です。右半平面 (RHP) の極はその不安定性を表します。システムの閉ループ安定性のためには、s平面の右半分にある閉ループ根の数はゼロでなければなりません。したがって、反時計回りの円周の数は、RHP の開ループ極の数と等しくなければなりません。開ループ周波数応答による臨界点の時計回りの円周は (低周波数から高周波数まで判断した場合)、ループが閉じている場合にフィードバック制御システムが不安定になることを示します。 (RHP ゼロを使用して RHP 極を「キャンセル」しても不安定性は解消されませんが、フィードバックが存在する場合、閉ループ ルートが開ループ極とゼロの間を移動するため、フィードバックが存在する場合でもシステムが不安定なままになります。実際、RHP ゼロによって不安定な極が観測不可能になり、フィードバックによって安定化できなくなります。) ${\displaystyle -1+j0}$

上記の考察は、開ループ伝達関数が虚軸上に極を持たない（つまり、形式の極を持たない）という仮定のもとで行われた。これは、輪郭がマッピング関数のどの極も通過できないという議論原理の要件から生じる。最も一般的なケースは、積分器（極がゼロ）を持つシステムである。 ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle 0+j\omega }$

虚軸上に極があるシステムを解析できるようにするために、ナイキスト等高線を修正して点 を通らないようにすることができます。これを行う 1 つの方法は、を起点として反時計回りに まで進む、の周りに半径 の半円弧を作成することです。このような修正は、位相器が によって無限半径の弧に沿って移動することを意味します。ここで は虚軸上の極の多重度です。 ${\displaystyle 0+j\omega }$${\displaystyle r\to 0}$${\displaystyle 0+j\omega }$${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle -l\pi }$${\displaystyle l}$

このプロセスを通じて、ゲインkを持つユニティフィードバックシステムの伝達関数の安定性を確認することが私たちの目標です。ゲインkは次のように表されます。

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

つまり、上記の伝達関数の特性方程式が、

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

開いた左半平面の外側にゼロを持ちます (通常は OLHP として初期化されます)。

関数の零点や極点を通らないように必要に応じて窪みを付けた時計回り（負の向き）の等高線が右半平面を囲んでいると仮定する。コーシーの議論原理は次のように述べている。 ${\displaystyle \Gamma _{s}}$${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

ここで は等高線に囲まれたの零点の数を表し、 は同じ等高線に囲まれ た の極の数を表します。整理すると となり 、${\displaystyle Z}$${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle Z=N+P}$

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

次に、が とまったく同じ極を持つことに注目します。したがって、の極を数えることで、輪郭内、つまり開いた右半平面 (ORHP) 内に現れる を見つけることができます。 ${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G(s)}$

ここで、上記の積分を置換によって整理してみましょう。つまり、 と設定すると、 ${\displaystyle u(s)=D(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

次に、 と設定してさらに代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

ここで、 は の等高線図、つまりナイキスト線図のイメージを与えることに注意する。積分をさらに簡略化することができる。 ${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

コーシーの積分公式を適用することで、上記の積分はナイキスト線図が時計回りに点を囲む回数と正確に一致することがわかります。したがって、最終的に次のように言えます。 ${\displaystyle -1/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

したがって、上で定義した は、上で評価した が 0 に等しいときに、 安定したユニティフィードバックシステムに対応することがわかります。${\displaystyle T(s)}$${\displaystyle Z}$

ナイキスト安定基準は、フィードバック制御システムなどの動的システムの安定性を決定するグラフィカルな手法です。これは、引数原理とシステムの開ループ伝達関数のナイキスト線図に基づいています。遅延のあるシステムなど、有理関数で定義されていないシステムに適用できます。また、ボード線図とは異なり、右半平面に特異点を持つ伝達関数も処理できます。ナイキスト安定基準は、システムの位相マージンとゲインマージンを見つけるためにも使用できます。これらは、周波数領域コントローラの設計に重要です。^[7]

• 開ループ伝達関数に多重度のゼロ極がある場合、ナイキスト線図は で不連続になります。さらに解析を進めると、位相器は無限半径の半円に沿って時計回りに回移動するものと想定されます。この規則を適用した後は、ゼロ極は無視する必要があります。つまり、他の不安定な極がない場合、開ループ伝達関数は安定していると見なすことができます。${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle l}$${\displaystyle G(s)}$
• 開ループ伝達関数が安定している場合、ナイキスト線図が点 −1 を少なくとも 1 回囲む場合にのみ、閉ループ システムは不安定になります。${\displaystyle G(s)}$
• 開ループ伝達関数が不安定な場合、閉ループシステムが安定するためには、複素平面の右半分の の各極に対して、反時計回りの −1 の円周が1 つ存在する必要があります。${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$
• 余剰包囲の数（N  +  Pが 0 より大きい）は、閉ループ システムの不安定な極の数とまったく同じです。
• しかし、グラフが点を通過する場合、システムの限界安定性を決定することさえ困難になり、グラフから引き出せる唯一の結論は、軸上にゼロが存在するということだけになります。${\displaystyle -1+j0}$${\displaystyle j\omega }$

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• ハンケル特異値

• フォークナー、EA（1969）：線形システム理論入門、チャップマン＆ホール、ISBN 0-412-09400-2 
• ピパード、AB（1985）：レスポンス＆スタビリティ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-31994-3 
• ゲッシング、R. (2004):制御の基礎; シレジア工科大学; ISBN 83-7335-176-0 
• フランクリン、G. (2002):動的システムのフィードバック制御; プレンティスホール、ISBN 0-13-032393-4 

ウィキメディア・コモンズには、ナイキスト図に関連するメディアがあります。

• 変更可能なパラメータを持つアプレット
• EIS スペクトラム アナライザー - インピーダンス スペクトルの分析とシミュレーションを行うフリーウェア プログラム
• 動的システム モデルの周波数応答のナイキスト線図を作成するための MATLAB 関数。
• PID ナイキスト線図の整形 - 無料のインタラクティブ仮想ツール、制御ループ シミュレーター
• ナイキスト線図を作成するための Mathematica 関数
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