ボンドグラフ

ボンドグラフは、物理的な動的システムのグラフィカルな表現です。これにより、システムを状態空間表現に変換できます。これはブロック ダイアグラムや信号フロー グラフに似ていますが、ボンド グラフのアークが物理的エネルギーの双方向の交換を表すのに対し、ブロック ダイアグラムと信号フロー グラフのアークは情報の単方向の流れを表すという大きな違いがあります。ボンド グラフは、複数のエネルギー領域 (機械、電気、油圧など) に対応し、領域に依存しません。つまり、ボンド グラフは複数の領域をシームレスに組み込むことができます。

結合グラフは、「シングルポート」、「ダブルポート」、および「マルチポート」要素をリンクする「結合」で構成されています (詳細は下記を参照)。各結合は、エネルギー ( dE / dt ) または電力の瞬間的な流れを表します。各結合のフローは、電力変数と呼ばれる 1 組の変数で表されます。これは共役変数に似ており、その積が結合の瞬間電力になります。電力変数は、フローおよび努力の 2 つの部分に分かれています。たとえば、電気システムの結合では、フローとは電流であり、努力とは電圧です。この例で電流と電圧を掛け合わせると、結合の瞬間電力が得られます。

ボンドには、ここで簡単に説明し、以下で詳しく説明する 2 つの機能があります。1 つは「半矢印」の符号規則です。これは、正のエネルギー フローの想定方向を定義します。電気回路図や自由体図と同様に、正の方向の選択は任意ですが、アナリストは選択した定義に一貫している必要があります。もう 1 つの機能は「因果関係」です。これは、ボンドの一方の端にのみ配置される垂直バーです。任意ではありません。以下で説明するように、特定のポートに適切な因果関係を割り当てるルールと、ポート間の優先順位のルールがあります。因果関係は、エフォートとフローの数学的関係を説明します。因果関係の位置は、どの電力変数が従属し、どの電力変数が独立しているかを示します。

モデル化される物理システムのダイナミクスが広範囲に変化する時間スケールで動作する場合、ハイブリッドボンドグラフを使用することで、高速連続時間動作を瞬間現象としてモデル化することができます。ボンドグラフはヘンリー・ペインターによって発明されました。^[1]

多くのシステムは、ボンドグラフで使用される用語で表現できます。これらの用語は以下の表で表現されます。

以下の表の規則:

• ${\displaystyle P}$有効電力です。
• ${\displaystyle {\hat {X}}}$行列オブジェクトです。
• ${\displaystyle {\vec {x}}}$ベクトルオブジェクトです。
• ${\displaystyle x^{\dagger}}$はxのエルミート共役です。 xの転置の複素共役です。xがスカラーの場合、エルミート共役は複素共役と同じです。
• ${\displaystyle D_{t}^{n}}$は微分を表すオイラー記法であり、$${\displaystyle D_{t}^{n}f(t)={\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(s)\,ds,&n=-1\\[2pt]f(t),&n=0\\[2pt]{\dfrac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}},&n>0\end{cases}}}$$
• ${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle ^{\alpha }:=|x|^{\alpha }\operatorname {sgn}(x)\\\langle {a}\rangle =k\langle b\rangle ^{\beta }\implies \langle b\rangle =\left({\frac {1}{k}}\langle a\rangle \right)^{1/\beta }\end{件}}}$
• 偏向因子:$${\displaystyle \phi _{L}={\begin{cases}{\textrm {Prismatic}}:\ {\dfrac {\textrm {length}}{{\textrm {cross-sectional}}\ {\textrm {area}}}}\\{\textrm {Cylinder}}:\ {\dfrac {\ln \left({\frac {\mathrm {radius_{out}} }{\mathrm {radius_{in}} }}\right)}{2\pi \cdot {\textrm {length}}}}\\{\textrm {Sphere}}:\ {\dfrac {1}{4\pi \left(\mathrm {radius_{in}} \parallel \mathrm {-radius_{out}} \right)}}\end{cases}}}$$

その他のシステム:

• 熱力学的動力システム（流量はエントロピー率、力は温度）
• 電気化学発電システム（流れは化学活動であり、努力は化学ポテンシャルである）
• 熱化学発電システム（流量は質量速度、努力は質量比エンタルピー）
• マクロ経済学の通貨レートシステム（変位は商品であり、努力は商品あたりの価格である）
• ミクロ経済学の通貨レートシステム（変位は人口、努力は一人当たりのGDP）

状態の四面体は、努力とフローの変換をグラフィカルに示す四面体です。 隣の画像は、一般化された形式の四面体を示しています。 四面体は、エネルギー領域に応じて変更できます。

状態の四面体を使用すると、四面体上の任意の変数間の数学的な関係を見つけることができます。これは、図の周りの矢印に従って、途中で定数を乗算することで行われます。たとえば、一般化されたフローと一般化された変位の関係を見つけたい場合は、f ( t )から始めて、それを積分してq ( t )を取得します。方程式のその他の例については、以下を参照してください。

一般化された変位と一般化された流れの関係。

$${\displaystyle q(t)=\int f(t)\,dt}$$

一般化されたフローと一般化された努力の関係。

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{R}}\cdot e(t)}$$

一般化された流れと一般化された運動量の関係。

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\cdot p(t)}$$

一般化された運動量と一般化された努力の関係。

$${\displaystyle p(t)=\int e(t)\,dt}$$

定数 C を含む、一般化されたフローおよび一般化された努力の関係。

$${\displaystyle e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$$

エネルギー領域を切り替えても、数学的な関係はすべて同じままで、記号のみが変わります。これは次の例で確認できます。

変位と速度の関係。

$${\displaystyle x(t)=\int v(t)\,dt}$$

電流と電圧の関係。これはオームの法則としても知られています。

$${\displaystyle i(t)={\frac {1}{R}}V(t)}$$

力と変位の関係。フックの法則としても知られています。この式では負の符号が省略されています。これは、結合グラフで矢印が指す方向によって符号が考慮されるためです。

$${\displaystyle F(t)=kx(t)}$$

電力システムの場合、共振周波数の式は次のとおりです。 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$$

電力密度システムの場合、共鳴波の速度の式は次のようになります。 $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$$

エンジンがシャフトを介してホイールに接続されている場合、動力は回転機械領域で伝達されます。つまり、力とフローはそれぞれトルク (τ) と角速度 (ω) です。ワード結合グラフは、ワードがコンポーネントを定義する結合グラフへの第一歩です。ワード結合グラフとして、このシステムは次のようになります。 半矢印は符号規則を提供するために使用されます。したがって、τとωが正のときにエンジンが作業を行っている場合は、図が描かれます。 このシステムは、より一般的な方法で表すこともできます。これには、単語の使用から、同じ項目を表す記号への変更が含まれます。これらの記号は、上で説明したように、一般化された形式に基づいています。エンジンがホイールにトルクをかけているため、システムの力の源として表されます。ホイールは、システム上のインピーダンスとして表すことができます。さらに、トルクと角速度の記号は削除され、力とフローの一般化された記号に置き換えられます。この例では必須ではありませんが、方程式で追跡できるように、結合に番号を付けることがよくあります。簡略化された図を以下に示します。 $${\displaystyle {\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;{\text{wheel}}}$$$${\displaystyle {\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{wheel}}}$$

$${\displaystyle {S_{e}}\;{\overset {\textstyle e_{1}}{\underset {\textstyle f_{1}}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}}$$

結合ではエフォートが常にフローより上にあることを考慮すると、関連する情報を失うことなく、エフォートとフローのシンボルを完全に省略することもできます。ただし、結合番号は省略しないでください。以下に例を示します。

$${\displaystyle {S_{e}}\;{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}}$$

結合数は、後で結合グラフから状態空間方程式に変換するときに重要になります。

要素が次の動作をするものとします。 ここで、は汎用関数 (入力を微分/積分することもできます) であり、は要素の定数です。次に、1 接合にこのタイプの要素が多数あるとします。接合全体の合計電圧は次のようになります。 $${\displaystyle e(t)=\alpha g(q(t))}$$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle e(t)=\left(\sum _{i}\alpha _{i}\right)g(q(t))\implies {\begin{array}{||c||}\hline \displaystyle \alpha _{\text{eq}}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}}$$

要素が次の動作をするものとします。 ここでは汎用関数 (入力を微分/積分することもできます) であり、 は要素の定数です。次に、0 ジャンクションにこのタイプの要素が多数あるとします。その場合、次の式は有効です。 $${\displaystyle e(t)=g(\alpha q(t))}$$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle g^{-1}\left(e(t)\right)=\alpha _{i}q_{i}(t)\implies {\frac {1}{\alpha _{i}}}g^{-1}(e(t))=q_{i}(t)\implies \left(\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\right)g^{-1}(e(t))=q(t)\implies g(g^{-1}(e(t)))=g\left({\frac {1}{\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}}}q(t)\right)\implies {\begin{array}{|c|}\hline \alpha _{\text{eq}}=\parallel _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}}$$

シングルポート要素は、ボンドグラフ内で 1 つのポートのみを持つことができる要素です。

ソースは、システムへの入力を表す要素です。ソースは、システムに力またはフローを入力します。ソースは、力またはフローを表す小文字の「e」または「f」が付いた大文字の「S」で表されます。ソースの矢印は常に要素から遠ざかっています。ソースの例には、モーター (力、トルクのソース)、電圧源 (力のソース)、電流源 (フローのソース) などがあります。

$${\displaystyle S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J\qquad {\text{and}}\qquad S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J}$$ ここで、J はジャンクションを示します。

シンクは、システムの出力を表す要素です。ソースと同じように表されますが、矢印は要素から離れる方向ではなく、要素に向かう方向を指します。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{e}\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{f}}$$

慣性要素は大文字の「I」で表され、常に電力が流入します。慣性要素はエネルギーを蓄える要素です。最も一般的な慣性要素は、機械システムの場合は質量、電気システムの場合はインダクタです。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ I}$$

抵抗素子は大文字の「R」で表され、常に電力が流れ込みます。抵抗素子はエネルギーを消散させる素子です。最も一般的な抵抗素子は、機械システムの場合はダンパー、電気システムの場合は抵抗器です。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ R}$$

コンプライアンス要素は大文字の「C」で示され、常に電力が流れています。コンプライアンス要素は、位置エネルギーを蓄える要素です。最も一般的なコンプライアンス要素は、機械システムの場合はスプリング、電気システムの場合はコンデンサです。

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ C}$$

これらの要素には 2 つのポートがあります。これらは、システム間またはシステム内で電力を変更するために使用されます。一方から他方に変換する場合、転送中に電力が失われることはありません。要素には定数が与えられます。定数は、使用されている要素に応じて、変圧器定数またはジャイレータ定数と呼ばれます。これらの定数は、通常、要素の下に比率として表示されます。

変圧器は、流入と流出、および力と力の関係を適用します。例としては、理想的な電気変圧器やレバーなどがあります。

rは変圧器の係数を表します。これ は 、 $${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ TR\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}}$$$${\displaystyle f_{1}r=f_{2}}$$$${\displaystyle e_{2}r=e_{1}}$$

ジャイレータは、流入量と流出量、および流入量と流出量との関係を適用します。ジャイレータの例としては、電圧 (電気的な力) を角速度 (角機械流量) に変換する DC モーターがあります。

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ GY\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}}$$ つまり、$${\displaystyle e_{2}=gf_{1}}$$$${\displaystyle e_{1}=gf_{2}.}$$

ジャンクションは、他の要素とは異なり、入力または出力のポートをいくつでも持つことができます。ジャンクションは、ポート間で電力を分割します。0 ジャンクションと 1 ジャンクションという 2 つの異なるジャンクションがあり、これらはエフォートとフローがどのように伝達されるかという点のみが異なります。直列の同じジャンクションは結合できますが、直列の異なるジャンクションは結合できません。

0 ジャンクションは、すべての努力値 (およびその時間積分/微分) が結合全体で等しくなるように動作しますが、入力フロー値の合計は出力フロー値の合計に等しくなります。つまり、すべてのフローの合計はゼロになります。電気回路では、0 ジャンクションはノードであり、そのノードのすべてのコンポーネントによって共有される電圧を表します。機械回路では、0 ジャンクションはコンポーネント間のジョイントであり、それに接続されているすべてのコンポーネントによって共有される力を表します。

$${\displaystyle {\text{all }}e{\text{'s are equal}}}$$ $${\displaystyle \sum f_{\text{in}}=\sum f_{\text{out}}}$$

以下に例を示します。

$${\displaystyle {\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{0}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}}$$

結果として得られる方程式: $${\displaystyle e_{1}=e_{2}=e_{3}}$$ $${\displaystyle f_{1}=f_{2}+f_{3}}$$

1 ジャンクションは 0 ジャンクションとは逆の動作をします。1 ジャンクションは、すべてのフロー値 (およびその時間積分/微分) が結合全体で等しくなるように動作しますが、入力の努力値の合計は出力の努力値の合計に等しくなります。つまり、すべての努力の合計はゼロになります。電気回路では、1 ジャンクションはコンポーネント間の直列接続を表します。機械回路では、1 ジャンクションはそれに接続されているすべてのコンポーネントによって共有される速度を表します。

$${\displaystyle {\text{all }}f{\text{'s are equal}}}$$ $${\displaystyle \sum e_{\text{in}}=\sum e_{\text{out}}}$$

以下に例を示します。

$${\displaystyle {\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{1}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}}$$

結果として得られる方程式: $${\displaystyle f_{1}=f_{2}=f_{3}}$$ $${\displaystyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$$

ボンド グラフには因果関係の概念があり、ボンドのどちら側が瞬間的な努力を決定し、どちら側が瞬間的な流れを決定するかを示します。システムを記述する動的方程式を定式化する際に、因果関係は各モデリング要素について、どの変数が従属し、どの変数が独立しているかを定義します。因果関係を 1 つのモデリング要素から別のモデリング要素にグラフィカルに伝播させることで、大規模モデルの分析が容易になります。ボンド グラフ モデルで因果関係の割り当てを完了すると、代数ループが存在するモデリング状況、つまり変数がそれ自体の関数として再帰的に定義されている状況を検出できます。

因果関係の例として、バッテリーと直列に接続されたコンデンサを考えてみましょう。コンデンサを瞬時に充電することは物理的に不可能であるため、コンデンサと並列に接続されたものは、必然的にコンデンサの両端の電圧と同じ電圧 (努力変数) になります。同様に、インダクタは磁束を瞬時に変更できないため、インダクタと直列に接続されたコンポーネントは、必然的にインダクタと同じフローになります。コンデンサとインダクタは受動デバイスであるため、それぞれの電圧とフローを無期限に維持することはできません。これらが接続されているコンポーネントは、それぞれの電圧とフローに影響を与えますが、それぞれ電流と電圧に影響を与えるという間接的な影響しかありません。

注: 因果関係は対称的な関係です。一方が努力を「引き起こす」と、もう一方は流れを「引き起こす」ことになります。

ボンドグラフ表記では、因果ストロークをパワーボンドの一方の端に追加して、この側がフローを定義していることを示すことができます。その結果、因果ストロークの反対側が努力を制御します。

フローのソース ( ) はフローを定義するため、原因となるストロークをホストします。 努力のソース ( ) は努力を定義するため、もう一方の端は原因となるストロークをホストします。 ${\displaystyle S_{f}}$$${\displaystyle S_{f}\;|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}$$${\displaystyle S_{e}}$$${\displaystyle S_{e}\;-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}$$

車輪を駆動する定トルクモーター、つまり力の源（）を考えてみましょう。これは次のように描かれます。 ${\displaystyle S_{e}}$$${\displaystyle {\begin{array}{r}{\text{motor}}\\S_{e}\end{array}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;{\text{wheel}}}$$

対称的に、因果ストローク (この場合はホイール) のある側が結合の流れを定義します。

因果関係は互換性制約をもたらします。明らかに、パワー結合の一方の端だけが努力を定義できるため、結合の一方の端（もう一方の端）だけが因果ストロークを持つことができます。さらに、時間依存の動作を持つ 2 つの受動コンポーネント と は、1種類の因果関係しか持てません。つまり、コンポーネントがフローを決定し、コンポーネントが努力を定義します。したがって、ジャンクション から、推奨される因果方向は次のようになります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle J}$$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;I\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;C}$$

これらの要素に対してこれが推奨される方法である理由は、状態の四面体によって示される方程式を考慮するとさらに分析できます。

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt\qquad {\text{and}}\qquad e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$$

結果として得られる方程式には、独立したべき乗変数の積分が含まれます。これは、因果関係を逆にして導関数を得る結果よりも好ましいものです。方程式は以下のとおりです。

$${\displaystyle e(t)=I{\dot {f}}(t)\qquad {\text{and}}\qquad f(t)=C{\dot {e}}(t)}$$

ボンド グラフでは、これらの要素の 1 つに因果バーが非推奨の方法で表示される可能性があります。このような場合、そのボンドで「因果競合」が発生したとみなされます。因果競合の結果は、グラフの状態空間方程式を記述するときにのみ表示されます。詳細については、そのセクションで説明します。

抵抗器には時間に依存する動作はありません。電圧をかけるとすぐに電流が流れ、電流をかけるとすぐに電圧が流れます。したがって、抵抗器は因果関係のどちらの端にでも存在できます。 $${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;R\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;R}$$

変圧器は受動的であり、エネルギーを消散も蓄積もしない。そのため、因果関係は変圧器を通過する。 $${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;}$$

ジャイレータは流れを努力に変換し、努力を流れに変換します。そのため、片側で流れが発生すると、反対側で努力が発生し、その逆も同様です。 $${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;}$$

0 ジャンクションでは、努力は等しく、1 ジャンクションでは、フローは等しくなります。したがって、因果関係の結合では、0 ジャンクションでは 1 つの結合のみが努力を引き起こし、1 ジャンクションでは 1 つの結合のみがフローを引き起こします。したがって、ジャンクションの 1 つの結合の因果関係がわかれば、他の結合の因果関係もわかります。その 1 つの結合は「強い結合」と呼ばれます。 簡単に言えば、0 ジャンクションには 1 つの因果バーが必要であり、1 ジャンクションには 1 つを除くすべての因果バーが必要です。 $${\displaystyle {\text{strong bond}}\rightarrow \;\dashv \!{\overset {\textstyle \top }{\underset {\textstyle \bot }{0}}}\!\dashv \qquad {\text{and}}\qquad {\text{strong bond}}\rightarrow \;\vdash \!{\overset {\textstyle \bot }{\underset {\textstyle \top }{1}}}\!\vdash }$$

ボンド グラフの因果関係を判断するには、特定の手順に従う必要があります。その手順は次のとおりです。

1. ソース因果バーを描く
2. C結合とI結合の好ましい因果関係を描く
3. 0 および 1 のジャンクション、トランスフォーマー、ジャイレータの因果バーを描画します。
4. R結合因果バーを描く
5. 因果関係の矛盾が生じた場合は、CまたはI結合を微分化に変更する

手順のウォークスルーを以下に示します。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

最初のステップは、ソースの因果関係を描くことです。因果関係は 1 つしかありません。その結果が以下のグラフになります。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

次のステップは、C 結合の好ましい因果関係を描くことです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

次に、0 および 1 ジャンクション、トランスフォーマー、ジャイレータに因果関係を適用します。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

ただし、左側の 0 ジャンクションに問題があります。0 ジャンクションにはジャンクションに因果バーが 2 つありますが、0 ジャンクションにはジャンクションに 1 つだけ必要です。これは、優先因果関係にあるために発生しました。これを修正する唯一の方法は、因果バーを反転することです。これにより因果の競合が発生します。修正されたグラフのバージョンを以下に示します。 は因果の競合を表しています。 ${\textstyle C_{2}}$${\textstyle \star }$

$${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\underline {\downharpoonleft }}\star &&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

ボンド グラフを使用する主な利点の 1 つは、ボンド グラフを作成したら、元のエネルギー領域は問題にならないことです。以下は、エネルギー領域からボンド グラフに変換するときに適用する手順の一部です。

電磁気問題をボンドグラフとして解く手順は次のとおりです。

1. 各ノードに0ジャンクションを配置する
2. 1つの接合部を持つソース、R、I、C、TR、およびGY結合を挿入します
3. 接地（変圧器またはジャイレータが存在する場合は両側）
4. 電力フローの方向を割り当てる
5. シンプルにする

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

線形機械問題をボンドグラフとして解く手順は次のとおりです。

1. 異なる速度ごとに1ジャンクションを配置する（通常は質量）
2. R結合とC結合を、それらが作用する1接合部間の0接合部に挿入する。
3. 1接合部にソースとI結合を挿入し、それらが作用する
4. 電力フローの方向を割り当てる
5. シンプルにする

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

システムが電磁気的であるか線形機械的であるかに関係なく、簡略化の手順は同じです。手順は次のとおりです。

1. ゼロパワーの結合を解除する（地面またはゼロ速度による）
2. 3つ未満の結合を持つ0と1の接合を削除します
3. 並列電源を簡素化
4. 0個の接合部を直列に結合する
5. 1つの接合部を直列に結合する

これらの手順は、以下の例でより明確に示されています。

並列電力とは、結合グラフ内で電力が並列に流れることです。並列電力の例を以下に示します。

並列パワーは、0 ジャンクションと 1 ジャンクションの努力とフローの関係を思い出すことで簡略化できます。並列パワーを解くには、まずジャンクションのすべての方程式を書き出す必要があります。提供されている例では、方程式は以下で確認できます。(努力/フロー変数が表す数結合を書き留めてください)。 $${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}}$$

これらの方程式を操作することで、並列電力を記述する 0 および 1 接合の同等のセットを見つけられるように方程式を配置できます。

たとえば、および なので、方程式の変数をに置き換えると となり、 なのでとなることがわかります。2 つの努力変数が等しいというこの関係は、0 ジャンクションによって説明できます。他の方程式を操作すると、1 ジャンクションの関係を説明する を見つけることができます。必要な関係を決定したら、新しいジャンクションを使用して並列電力セクションを再描画できます。例の結果を以下に示します。 ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$${\textstyle e_{2}=e_{7}}$${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$${\displaystyle e_{1}=e_{8}}$${\displaystyle f_{4}=f_{5}}$

電圧源、抵抗器、コンデンサが直列に接続された単純な電気回路。

最初のステップは、すべてのノードに 0 ジャンクションを描画することです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}}$$

次のステップは、それぞれの 1 接合部で動作するすべての要素を追加することです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}}$$

次のステップは、接地を選択することです。接地は、電圧がないと想定される 0 ジャンクションです。この場合、接地は、上記で下線が引かれた左下の 0 ジャンクションとして選択されます。次のステップは、結合グラフのすべての矢印を描くことです。ジャンクションの矢印は、接地の方向を指す必要があります (電流と同様の経路をたどります)。抵抗、イナータンス、コンプライアンス要素の場合、矢印は常に要素の方向を指します。矢印を描いた結果は、以下で確認できます。0 ジャンクションは、接地として星印でマークされています。

これでボンド グラフができたので、これを簡略化するプロセスを開始できます。最初のステップは、すべての接地ノードを削除することです。下部の 0 ジャンクションは両方とも接地されているため、削除できます。結果を以下に示します。

次に、結合数が 3 未満のジャンクションを削除します。これは、フローとエフォートがこれらのジャンクションを変更せずに通過するため、これらを削除して描画量を減らすことができるためです。結果は以下で確認できます。

最後のステップは、因果関係をボンド グラフに適用することです。因果関係の適用については上で説明しました。最終的なボンド グラフを以下に示します。

電流源、抵抗器、コンデンサ、変圧器を備えたより高度な電気システム

この回路の手順に従うと、簡略化される前のボンド グラフが下図のように表示されます。星印の付いたノードはグランドを表します。

結合グラフを簡略化すると、以下の画像のようになります。

最後に、因果関係を適用すると、以下の結合グラフが作成されます。星印の付いた結合は因果関係の矛盾を表します。

壁に取り付けられたバネ上の質量で構成される、単純な線形機械システム。質量には何らかの力が加えられています。システムのイメージを以下に示します。

機械システムの場合、最初のステップは、それぞれの異なる速度に 1 ジャンクションを配置することです。この場合、質量と壁の 2 つの異なる速度があります。通常、参照用に 1 ジャンクションにラベルを付けると便利です。結果は次のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

次のステップは、R 結合と C 結合を、それらが作用する 1 接合間の独自の 0 接合に描くことです。この例では、これらの結合はスプリングの C 結合の 1 つだけです。これは、質量を表す 1 接合と壁を表す 1 接合の間で作用します。結果は以下のとおりです。 $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

次に、ソースと I 結合を、それらが作用する 1 接合部に追加します。 1 つのソース (努力 (力) のソース) と 1 つの I 結合 (質量の質量) があり、どちらも質量の 1 接合部に作用します。 結果を以下に示します。 $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

次に電力フローを割り当てます。電気の例と同様に、電力は地面、この場合は壁の 1 接合部に向かって流れます。例外は R、C、または I 結合で、これらは常に要素の方向を指します。結果として得られる結合グラフは以下のとおりです。

結合グラフが生成されたので、これを簡略化できます。壁は接地されている (速度がゼロである) ため、その接合部を削除できます。したがって、C 結合がある 0 接合部も削除できます。削除すると結合数が 3 つ未満になるからです。簡略化された結合グラフを以下に示します。

最後のステップは因果関係を適用することです。最終的な結合グラフは以下のように表示されます。

より高度なリニア メカニカル システムを以下に示します。

上記の例と同様に、最初のステップは、各遠方速度に 1 ジャンクションを作成することです。この例では、質量 1、質量 2、および壁の 3 つの遠方速度があります。次に、すべての結合を接続して電力フローを割り当てます。結合は以下で確認できます。

次に、壁の 1 接合部を削除し、結合数が 3 未満の接合部を削除して、結合グラフを簡素化するプロセスを開始します。結合グラフを以下に示します。

ボンドグラフには平行累乗があります。平行累乗の解き方は上で説明しました。解き方の結果は以下になります。

最後に因果関係を適用すると、最終的な結合グラフは以下のように表示されます。

結合グラフが完成したら、それを利用してシステムの状態空間表現方程式を生成できます。状態空間表現は、複雑な多階微分システムを代わりに一次方程式のシステムとして解くことができるため、特に強力です。状態方程式の一般的な形式は です。 ここで、は状態変数、つまりシステムの未知数の列行列です。は状態変数の時間微分です。はシステムの入力の列行列です。 そしてと はシステムに基づく定数の行列です。システムの状態変数は であり、因果関係の矛盾のない各 C 結合と各 I 結合の値です。各 I 結合には が与えられ、各 C 結合には が与えられます。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$${\textstyle \mathbf {x} (t)}$${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$${\textstyle \mathbf {u} (t)}$${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {B} }$${\textstyle q(t)}$${\textstyle p(t)}$${\textstyle p(t)}$${\textstyle q(t)}$

例えば、次の債券グラフがあるとします

次の、、および行列が得られます。 ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$${\textstyle \mathbf {x} (t)}$${\textstyle \mathbf {u} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

およびの行列は、状態の四面体で説明したように、状態変数とそれぞれの要素の関係を決定することによって解かれます。状態方程式を解く最初のステップは、結合グラフのすべての支配方程式をリストすることです。次の表は、結合とその支配方程式の関係を示しています。 ${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {B} }$

「♦」は優先因果関係を示します。

提供された例では、

支配方程式は次のとおりです。

1. ${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
2. ${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
3. ${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
4. ${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
5. ${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
6. ${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
7. ${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
8. ${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
9. ${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
10. ${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
11. ${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

これらの方程式を操作して状態方程式を得ることができます。 この例では、、、およびに関して、とを関連付ける方程式を見つけようとしています。 ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$${\textstyle p_{3}(t)}$${\textstyle q_{6}(t)}$${\textstyle e_{1}(t)}$

まず、状態 4 の四面体から、方程式 2 から始めて、 のように並べ替えることができることを思い出してください。を方程式 4 に置き換えることができますが、方程式 4 では、方程式 3 によりを に置き換えることができ、方程式 5 で置き換えることができます。 同様に、方程式 7 を使用して を置き換えることができ、方程式 8 では をに置き換えることができ、方程式 10 で置き換えることができます。 これらの置き換えにより、以下に示す最初の状態方程式が得られます。 ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$${\displaystyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle f_{3}}$${\displaystyle e_{4}}$${\displaystyle e_{5}}$${\displaystyle e_{6}}$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)}$$

2 番目の状態方程式も同様に、 を思い出すことで解くことができます。 2 番目の状態方程式を以下に示します。 ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$

$${\displaystyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)}$$

両方の方程式は、さらに行列形式に再構成することができます。その結果は以下のようになります。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

この時点で、方程式は他の状態空間表現の問題と同じように扱うことができます。

ボンドグラフモデリングに関する参考文献は、次の会議から抽出できます。

• ECMS-2013 第27回ヨーロッパモデリングおよびシミュレーション会議、2013年5月27日～30日、ノルウェー、オーレスン
• ECMS-2008 第22回ヨーロッパモデリングおよびシミュレーション会議、2008年6月3日～6日、キプロス、ニコシア
• ICBGM-2007: 第 8 回ボンド グラフ モデリングおよびシミュレーションに関する国際会議、2007 年 1 月 15 ～ 17 日、米国カリフォルニア州サンディエゴ
• ECMS-2006 第20回ヨーロッパモデリングおよびシミュレーション会議、2006年5月28日～31日、ドイツ、ボン
• IMAACA-2005 国際地中海モデリングマルチカンファレンス
• ICBGM-2005 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議、2005年1月23～27日、米国ルイジアナ州ニューオーリンズ – 論文
• ICBGM-2003 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議 (ICBGM'2003) 2003年1月19日～23日、フロリダ州オーランド、米国 – 論文
• 第14回ヨーロッパシミュレーションシンポジウム 2002年10月23日～26日 ドレスデン、ドイツ
• ESS'2001 第13回ヨーロッパシミュレーションシンポジウム、フランス、マルセイユ、2001年10月18日～20日
• ICBGM-2001 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議 (ICBGM 2001)、米国アリゾナ州フェニックス
• ヨーロッパシミュレーションマルチカンファレンス 2000年5月23日〜26日、ベルギー、ゲント
• 第 11 回ヨーロッパシミュレーションシンポジウム、1999 年 10 月 26 ～ 28 日、ドイツ、エアランゲン ニュルンベルク、フリードリヒ アレクサンダー大学城
• ICBGM-1999 ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議 1999年1月17日～20日 カリフォルニア州サンフランシスコ
• ESS-97 第 9 回ヨーロッパシミュレーションシンポジウムおよび展示会 産業におけるシミュレーション、パッサウ、ドイツ、1997 年 10 月 19 日～22 日
• ICBGM-1997 第3回ボンドグラフモデリングとシミュレーションに関する国際会議、1997年1月12日～15日、アリゾナ州フェニックス、シェラトンクレセントホテル
• 第 11 回ヨーロッパシミュレーション マルチカンファレンス イスタンブール、トルコ、1997 年 6 月 1 日～4 日
• ESM-1996 第10回ヨーロッパシミュレーションマルチカンファレンス ハンガリー、ブダペスト、1996年6月2日～6日
• ICBGM-1995 ボンドグラフモデリングおよびシミュレーションに関する国際会議 (ICBGM'95)、1995 年 1 月 15 ～ 18 日、ネバダ州ラスベガス。

• ボンドグラフ理論に基づく20シミュレーションソフトウェア
• ボンドグラフ理論に基づくAMESimシミュレーションソフトウェア
• ハイブリッドボンドグラフ
• コエナジー

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• Simscape グラフィカルなボンドグラフプログラミングのための公式 MATLAB/Simulink アドオンライブラリ
• BG V.2.1 グラフィカル ボンド グラフ プログラミング用のフリーウェア MATLAB/Simulink アドオン ライブラリ