可観測性

観測可能性は、システムの内部状態が外部出力の知識からどの程度推測できるかを示す尺度です。制御理論では、線形システムの観測可能性と制御可能性は数学的な双対です。

観測可能性の概念は、ハンガリー系アメリカ人エンジニアのルドルフ・E・カルマンによって線形動的システムに対して導入されました。^{[1] [2]}出力の測定からシステムの状態を推定するように設計された動的システムは、カルマンフィルタなどのそのシステムの状態観測器と呼ばれます。

状態空間表現でモデル化された物理システムを考えてみましょう。状態ベクトルと制御ベクトルのあらゆる可能な進化に対して、出力からの情報のみを使用して現在の状態を推定できる場合（物理的には、これは通常、センサーによって取得される情報に対応します）、システムは観測可能であると言われます。言い換えれば、システムの出力からシステム全体の動作を判断できます。一方、システムが観測可能でない場合は、出力を測定するだけでは区別できない状態の軌跡が存在します。

状態空間表現における時間不変線形システムの場合、システムが観測可能かどうかを確認する便利なテストがあります。状態変数（MIMOシステムの詳細については状態空間を参照）を持つ SISOシステムを考えてみましょう。${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

観測可能性行列の列ランクが、次のように定義される とき、かつその場合に限り、

${\displaystyle {\mathcal {O}}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

が に等しい場合、システムは観測可能です。このテストの根拠は、列が線形独立である場合、各状態変数は出力変数の線形結合を通じて観測可能であるということです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$

線形時間不変離散システムの観測可能性指数は 、以下を満たす最小の自然数である。ここで、 ${\displaystyle v}$${\displaystyle {\text{ランク}}{({\mathcal {O}}_{v})}={\text{ランク}}{({\mathcal {O}}_{v+1})} }$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}={\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

線形システムの観測不可能な部分空間は 、^[3]で与えられる線形写像の核である。${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\\x(0)&\mapsto Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}$

ここで はからまでの連続関数の集合である。 は次のようにも書ける^[3]${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {\mathcal {O}}}$

システムが観測可能であるのは の場合のみなので 、システムが観測可能であるのは がゼロ部分空間である場合のみである。 ${\displaystyle \operatorname {rank} ({\mathcal {O}})=n}$${\displaystyle N}$

観測不可能な部分空間には以下の性質がある: ^[3]

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• ${\displaystyle N=\bigcup \{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C),A(S)\subset N\}}$

観測可能性よりも少し弱い概念が検出可能性である。観測不可能な状態がすべて安定している場合、システムは検出可能である。^[4]

検出可能性条件はセンサーネットワークの文脈において重要である。^{[5] [6]}

連続 線形 時間変化システムを考える

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\,}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t).\,}$

行列、 およびが与えられ、すべての入力と出力、およびに対して、次のように定義される 零空間にある加法定数ベクトル内で を決定することが可能である。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}];}$${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)^{T}C(t)\varphi (t,t_{0})\,dt}$

ここで は状態遷移行列です。 ${\displaystyle \varphi}$

が特異でない場合は、を一意に決定できます。実際、が のヌル空間内にある場合、の初期状態との初期状態を区別することはできません。 ${\displaystyle x(t_{0})}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}-x_{2}}$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

上記のように定義された行列には、次のプロパティがあることに注意してください。 ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$対称的である
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$は、​${\displaystyle t_{1}\geq t_{0}}$
• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$線形行列微分方程式を満たす

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1})A(t)-C(t)^{T}C(t),\;M(t_{1},t_{1})=0}$

• ${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$方程式を満たす

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0},t)+\varphi (t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi (t,t_{0})}$^[7]

システムが で観測可能であるのは、行列が特異でないような に区間が存在する場合のみです。 ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M(t_{0},t_{1})}$

が解析的である場合、系は区間[ , ]で観測可能であるためには、次を満たす正の整数kが存在する必要がある^[8]。${\displaystyle A(t),C(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle {\bar {t}}\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}&N_{0}({\bar {t}})&\\&N_{1}({\bar {t}})&\\&\vdots &\\&N_{k}({\bar {t}})&\end{bmatrix}}=n,}$

ここで、およびは再帰的に次のように定義される。 ${\displaystyle N_{0}(t):=C(t)}$${\displaystyle N_{i}(t)}$

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N_{i}(t),\ i=0,\ldots ,k-1}$

および行列が 解析的に変化するシステムを考える${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\,C(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

すると、この行列の階数は 3 なので、システムは のすべての非自明な区間で観測可能です 。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{0}(0)\\N_{1}(0)\\N_{2}(0)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

システム が与えられます。ここで、状態ベクトル、入力ベクトル、および出力ベクトル は滑らかなベクトル場になります。 ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}}$${\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle f,g,h}$

観測空間をすべての繰り返しリー導関数を含む空間として定義すると、 のときのみ、システムは で観測可能となる。ここで ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \dim(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n}$

${\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\operatorname {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .}$^[9]

非線形動的システムにおける観測可能性の初期の基準は、グリフィスとクマール^[10]、コウ、エリオットとターン^{[11] 、およびシン[12]}によって発見されました。

非線形時間変動システムに対する観測可能性基準も存在する。^[13]

観測可能性は、定常システム（通常は代数方程式と不等式で定義されるシステム）や、より一般的には 内の集合に対して特徴付けられることもあります。^{[14] [15]動的システムの場合に}カルマンフィルタやその他の観測者の動作を予測するために観測可能性基準が使用されるのと同様に、 内の集合に対する観測可能性基準は、データ調整やその他の静的推定器の動作を予測するために使用されます。非線形の場合、観測可能性は個々の変数に対して特徴付けられ、また、全体的な動作だけでなく局所的な推定器の動作に対しても特徴付けられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• 制御性
• ハウトゥス・レマ
• 識別可能性
• 州監視員
• 状態空間（コントロール）

• 「観測可能性」。PlanetMath 。
• システムの観測可能性をチェックするためのMATLAB関数
• システムの観測可能性をチェックするためのMathematica関数