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非線形制御理論は、非線形、時変、またはその両方であるシステムを扱う制御理論の分野です。制御理論は、入力を持つ動的システムの挙動、およびフィードバック、フィードフォワード、または信号フィルタリングを使用して入力の変化によって出力をどのように変更するかに関心を持つ、工学と数学の学際的な分野です。制御されるシステムは「プラント」と呼ばれます。システムの出力を望ましい基準信号に追従させる方法の1つは、プラントの出力を望ましい出力と比較し、プラントにフィードバックを与えて出力を修正し、望ましい出力に近づけることです。
制御理論は2つの分野に分けられます。 線形制御理論は、重ね合わせの原理に従う装置で構成されるシステムに適用されます。これらのシステムは線形微分方程式によって記述されます。主要なサブクラスは、時間とともに変化しない線形時不変（LTI）システムです。これらのシステムは、ラプラス変換、フーリエ変換、 Z変換、ボード線図、根軌跡、ナイキスト安定判別法などの周波数領域の数学的手法を用いて解くことができます。
非線形制御理論は、重ね合わせの原理に従わないより広いクラスの現実世界のシステムに適用されます。これらのシステムは、多くの場合、非線形微分方程式によって支配されます。これらを扱うために開発された数学的手法は、あまり一般的ではなく、多くの場合、狭いカテゴリのシステムにのみ適用されます。これらには、リミットサイクル理論、ポアンカレ写像、リアプノフ安定性理論、および記述関数が含まれます。特定の状況では、関心のある安定点の近くで、これらのシステムは線形化によって線形システムとして近似でき、線形手法を使用できます。[ 1 ]非線形システムは、多くの場合、コンピュータ上の数値的手法 を使用して解析されます。たとえば、シミュレーション言語を使用してその動作をシミュレートします。プラントが線形であっても、非線形コントローラは、より簡単な実装、より速い速度、より高い精度、または制御エネルギーの削減などの魅力的な特徴を持つことが多く、より困難な設計手順を正当化します。
非線形制御システムの例として、サーモスタット制御の暖房システムが挙げられます。暖房炉などの建物暖房システムは、温度変化に対して非線形な応答を示します。つまり、「オン」か「オフ」のどちらかしか選択できず、比例制御（線形制御）装置のように温度差に応じて細かく制御することはできません。そのため、サーモスタットの「オン」設定温度を下回るまで暖房炉はオフの状態であり、設定温度を下回るとオンになります。暖房炉から加えられる熱によって温度は上昇し、サーモスタットの「オフ」設定温度に達すると暖房炉はオフになり、このサイクルが繰り返されます。このように、目標温度付近で温度が周期的に変動することをリミットサイクルと呼び、これは非線形制御システムの特徴です。
非線形動的システムのいくつかの特性は[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]である。
非線形フィードバックシステムを解析するための十分に開発された手法がいくつか存在する（例えば、[ 5 ]および[ 2 ]を参照）。
非線形システムに対する制御設計手法も存在する。これらは、限られた動作範囲内でシステムを線形システムとして扱い、各領域で（よく知られた）線形設計手法を用いる手法と、非線形システムに対する制御設計手法に分類できる。
制御設計の目的でシステムを線形として扱うことができるように、補助的な非線形フィードバックを導入しようとするもの：
そして、リアプノフに基づく手法：
初期の非線形フィードバックシステム解析問題は、AI Lur'eによって定式化された。Lur'eの問題で記述される制御システムは、線形かつ時不変な順方向経路と、記憶を持たず、場合によっては時間変化する静的な非線形性を含むフィードバック経路を持つ。
線形部分は4つの行列（ A、B、C、D ）で特徴付けられ、非線形部分はΦ( y )で表され、（セクター非線形性）
考慮する：
ルレ問題（絶対安定性問題とも呼ばれる）は、伝達行列H ( s ) と { a , b }のみを含む条件を導出し、 x = 0 がシステムのグローバルに一様漸近安定な平衡点となるようにすることです。
絶対安定性問題には、よく知られた誤った予想が2つある。
グラフィカルには、これらの予想は、Φ( y ) x yのグラフ、またはd Φ/ dy x Φ/ yのグラフ上のグラフィカルな制約として解釈できます。[ 6 ]アイザーマンとカルマンの予想には反例があり、非線形性は線形安定性のセクターに属し、唯一の安定平衡が安定な周期解（隠れた振動）と共存します。
ルレ問題に関する主な定理は2つあり、これらは絶対安定性の十分条件を与える。
フロベニウスの定理は微分幾何学における重要な定理です。非線形制御に適用すると、次のようになります。
どこ、 分布に属するベクトル場そしては制御関数であり、次元の多様体に限定されるもしそしてこれは対合分布である。
![{\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7048320c87b1cf436bd2b2b628a236e176b62da7)
