状態変数

状態変数は、動的システムの数学的な「状態」を記述するために使用される変数のセットの 1 つです。直感的に、システムの状態は、システムに影響を与える外部力が存在しない場合に、システムの将来の動作を決定するのに十分な情報を提供します。結合された 1 次微分方程式で構成されるモデルは、状態変数形式であると言われています。^[1]

• 機械システムでは、機械部品の位置座標と速度は典型的な状態変数であり、これらを知ることで、システム内のオブジェクトの将来の状態を判断することができます。
• 熱力学では、状態変数は状態関数の独立変数です。例としては、内部エネルギー、エンタルピー、温度、圧力、体積、エントロピーなどがあります。熱と仕事は状態関数ではなく、プロセス関数です。
• 電子/電気回路では、通常、回路内のノードの電圧とコンポーネントを流れる電流が状態変数になります。どの電気回路でも、状態変数の数は、インダクタとコンデンサである (独立した) ストレージ要素の数に等しくなります。インダクタの状態変数はインダクタを流れる電流であり、コンデンサの状態変数はコンデンサにかかる電圧です。
• 生態系モデルでは、植物、動物、資源（栄養素、有機物）の個体数（または濃度）が典型的な状態変数です。

制御工学やその他の科学および工学の分野では、状態変数は一般的なシステムの状態を表すために使用されます。状態変数値の可能な組み合わせの集合は、システムの状態空間と呼ばれます。システムの現在の状態を最新の入力および過去の状態に関連付ける方程式は状態方程式と呼ばれ、状態変数と入力に関して出力変数の値を表す方程式は出力方程式と呼ばれます。以下に示すように、線形時間不変システムの状態方程式と出力方程式は、係数行列A、B、C、およびDを使用して表すことができます。

${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{N\times N},\quad B\in \mathbb {R} ^{N\times L},\quad C\in \mathbb {R} ^{M\times N},\quad D\in \mathbb {R} ^{M\times L},}$

ここで、N、L、Mはそれぞれ状態、入力、出力を記述するベクトルの次元です。

離散時間システム（つまりデジタルシステム）の現在の状態を表す状態ベクトル（状態変数のベクトル）は であり、ここでnはシステムが評価されている離散的な時点です。離散時間状態方程式は ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle x[n+1]=Ax[n]+Bu[n],}$

これはシステムの現在の状態と入力u [ n ]に対するシステムの次の状態（x [ n +1]）を記述する。出力方程式は

${\displaystyle y[n]=Cx[n]+Du[n],}$

これは現在の状態に対する出力y [ n ]を記述し、 u [ n ]をシステムに入力します。

連続時間システム（すなわちアナログシステム）の現在の状態を表す状態ベクトルは であり、状態ベクトルの発展を与える連続時間状態方程式は ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t),}$

これはシステムの現在の状態x ( t )と入力u ( t )に対するシステム状態の連続的な変化率を表す。出力方程式は ${\textstyle {\frac {dx(t)}{dt}}}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t),}$

これは現在の状態x ( t )に対する出力y ( t )を記述し、システムへの 入力u ( t )を表します。