リードラグ補償装置

リードラグ補償器は、フィードバックおよび制御システムにおける望ましくない周波数応答を改善する制御システムのコンポーネントであり、古典的制御理論の基本的な構成要素です。

リードラグ補償器は、ロボット工学、 衛星制御、自動車診断、LCD、レーザー周波数安定化など、さまざまな分野に影響を与えます。アナログ制御システムの重要な構成要素であり、デジタル制御にも使用できます。

制御プラントが与えられれば、補償器を使用して所望の仕様を達成できます。I、P、PI、PD、およびPID は、システムパラメータを改善するために使用される最適化コントローラです（定常誤差の低減、共振ピークの低減、立ち上がり時間の短縮によるシステム応答の改善など）。これらすべての操作は、カスケード補償技術で使用される補償器によっても実行できます。

リード補償器とラグ補償器は両方とも、開ループ伝達関数に極零点対を導入する。伝達関数はラプラス領域で次のように表される。

${\displaystyle {\frac {Y}{X}}={\frac {sz}{sp}}}$

ここで、 X は補償器への入力、 Y は出力、 s は複素ラプラス変換変数、 z はゼロ周波数、 p は 極周波数です。極とゼロは通常、両方とも負、つまり複素平面で原点の左側にあります。進み補償器では 、遅れ補償器では です。 ${\displaystyle |z|<|p|}$${\displaystyle |z|>|p|}$

リードラグ補償器は、リード補償器とラグ補償器をカスケード接続したものから構成されます。全体の伝達関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {Y}{X}}={\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})}{(s-p_{1})(s-p_{2 })}}.}$

通常、ここでz ₁とp ₁は進み補償器のゼロと極、z ₂とp _{2 は}遅れ補償器のゼロと極です。進み補償器は、高周波数で位相進みを提供します。これにより、ルート軌跡が左にシフトし、システムの応答性と安定性が向上します。遅れ補償器は、低周波数で位相遅れを提供し、定常誤差を減らします。 ${\displaystyle |p_{1}|>|z_{1}|>|z_{2}|>|p_{2}|}$

極とゼロの正確な位置は、閉ループ応答の望ましい特性と制御対象のシステムの特性の両方に依存します。ただし、ラグ補償器の極とゼロは、極が右にシフトして不安定になったり収束が遅くなったりしないように、互いに近い位置に配置する必要があります。極とゼロの目的は低周波の動作に影響を与えることであるため、原点の近くに配置する必要があります。

アナログ制御システムとデジタル制御システムの両方で、リードラグ補償器が使用されます。実装に使用されるテクノロジはそれぞれ異なりますが、基本的な原理は同じです。伝達関数は、出力が入力を含む項の合計と、入力と出力の積分で表されるように再配置されます。たとえば、

${\displaystyle Y=X-(z_{1}+z_{2}){\frac {X}{s}}+z_{1}z_{2}{\frac {X}{s^{2}} }+(p_{1}+p_{2}){\frac {Y}{s}}-p_{1}p_{2}{\frac {Y}{s^{2}}}.}$

積分器が高価なアナログ制御システムでは、必要な積分器の数を最小限に抑えるために項をグループ化するのが一般的です。

${\displaystyle Y=X+{\frac {1}{s}}\left((p_{1}+p_{2})Y-(z_{1}+z_{2})X+{\frac {1}{s}}(z_{1}z_{2}X-p_{1}p_{2}Y)\right).}$

アナログ制御では、制御信号は通常、電圧または電流です(油圧 などの他の信号を使用することもできます)。この場合、リードラグ補償器は、積分器および 加重加算器として接続された演算増幅器(「オペアンプ」)のネットワークで構成されます。リードラグ補償器の可能な物理的実現例を以下に示します (オペアンプはネットワークを分離するために使用されることに注意してください)。

デジタル制御では、微分と積分の離散化によって演算が数値的に実行されます。

伝達関数を積分方程式として表現する理由は、信号を微分すると信号上のノイズが増幅されるからです。これは、非常に小さな振幅のノイズであっても、周波数が高い場合は導関数が大きくなるためです。一方、信号を積分するとノイズが平均化されます。これにより、積分器による実装が最も数値的に安定します。

リードラグ補償装置の設計を始めるには、エンジニアは、補正が必要なシステムがリードネットワーク、ラグネットワーク、または 2 つの組み合わせであるリードラグネットワーク (「リードラグ補償装置」という名前が付けられている) のどれに分類できるかを検討する必要があります。このネットワークの入力信号に対する電気的応答は、ネットワークのラプラス領域伝達関数によって表されます。これは、それ自体が 2 つの方法のいずれかで表すことができる複雑な数学関数です。電流ゲイン比伝達関数または電圧ゲイン比伝達関数です。複雑な関数は一般に と表すことができます。 ここで、は単一変数関数 の実数部、は虚数部です。 ${\displaystyle F(x)=A(x)+iB(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle F(x)}$

ネットワークの位相角は の引数です。左半平面ではこれは です。ネットワーク内のすべての信号周波数に対して位相角が負の場合、ネットワークは遅れネットワークに分類されます。ネットワーク内のすべての信号周波数に対して位相角が正の場合、ネットワークは進みネットワークに分類されます。ネットワーク全体の位相角が周波数の関数として正位相と負位相の組み合わせを持つ場合、それは進み遅れネットワークです。 ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \arctan \!{\bigl (}B(x)/A(x){\bigr )}}$

アクティブ フィードバック制御下のシステムの公称動作設計パラメータによっては、遅延ネットワークまたはリード ネットワークによって不安定性が生じ、速度と応答時​​間が低下する可能性があります。

1. Nise, Norman S. (2004);制御システムエンジニアリング(第 4 版); Wiley & Sons; ISBN  0-471-44577-0
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3. Cathey, JJ (1988);電子デバイスと回路 (Schaum's Outlines シリーズ) ; McGraw-Hill ISBN 0-07-010274-0 

• Matlab 制御チュートリアル: リード補償器とラグ補償器
• Matlabを使用したリードコントローラ
• MathPages のリードラグ周波数応答
• MathPages のリードラグアルゴリズム