分散パラメータシステム

U、X、Yヒルベルト空間と${\displaystyle A\,}$ ∈ L ( X ) 、 ${\displaystyle B\,}$ ∈ L ( U , X )  ${\displaystyle C\,}$ ∈ L ( X , Y ) かつ  ${\displaystyle D\,}$ ∈ L ( U , Y ) において、以下の差分方程式は離散時間線形時不変システムを決定する。  

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

と${\displaystyle x\,}$（状態）Xの値を持つシーケンス、${\displaystyle u\,}$（入力または制御）Uと${\displaystyle y\,}$（出力）Yの値のシーケンス。

連続時間の場合も離散時間の場合と同様ですが、差分方程式の代わりに微分方程式を考慮します。

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$、

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$。

しかし、偏微分方程式や遅延微分方程式などの興味深い物理的例をこの抽象的な枠組みに含めるには、非有界演算子を考慮する必要があるという新たな問題が生じます。通常、Aは状態空間X上に強連続半群を生成すると仮定されます。B、C、D が有界演算子であると仮定すると、多くの興味深い物理的例を包含できますが、^{[ 1 ]}他の多くの興味深い物理的例を包含するには、BとCも非有界である必要があります。

離散時間では、伝達関数は状態空間パラメータを用いて次のように表される。${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$そして、原点を中心とする円盤内では正則である。^{[ 4 ]} 1/ zがAのレゾルベント集合に属する場合(これは、原点を中心とするより小さな円盤の場合である)、伝達関数は${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$興味深い事実として、ゼロに関して正則な関数はすべて、何らかの離散時間システムの伝達関数である。

Aが強連続半群を生成し、B、C、Dが有界作用素である場合、 ^{[ 5 ]}伝達関数は状態空間パラメータに関して次のように与えられる。${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$sの実部がAによって生成される半群の指数的成長限界よりも大きい場合。より一般的な状況では、この式はそのままでは意味をなさないかもしれないが、この式の適切な一般化は依然として有効である。^{[ 6 ]} 伝達関数の簡単な表現を得るには、上記の例で以下に示すように、状態空間の式を使用するよりも、与えられた微分方程式でラプラス変換を行う方が良い場合が多い。

初期条件の設定${\displaystyle w_{0}}$をゼロに等しくし、 tに関するラプラス変換を大文字で表すと、上記の偏微分方程式から次の式が得られます。

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

これは非斉次線形微分方程式であり、${\displaystyle \xi }$変数として、パラメータとしてs 、初期条件としてゼロ。解は${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$これをYの式に代入して積分すると、${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$伝達関数は${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$。

偏微分方程式の例と同様に進めて、遅延方程式の例の伝達関数は^{[ 7 ]である。}${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$。

地図は重要な役割を果たしている${\displaystyle \Phi _{n}}$これらはすべてのU値シーケンスの集合をX にマッピングし、次のように与えられます。${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$解釈としては、${\displaystyle \Phi _{n}u}$は、初期条件がゼロのときに、入力シーケンスuを適用することによって到達する状態です。このシステムは、

• 時間nの範囲で正確に制御可能${\displaystyle \Phi _{n}}$Xに等しい、
• 時間nの範囲がほぼ制御可能であれば、${\displaystyle \Phi _{n}}$Xにおいて密である、
• ヌルは時間nで制御可能であり、範囲は${\displaystyle \Phi _{n}}$A ⁿの範囲を含みます。

連続時間システムの可制御性において、マップ${\displaystyle \Phi _{t}}$によって与えられた${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$の役割を果たす${\displaystyle \Phi _{n}}$離散時間で動作します。ただし、この演算子が作用する制御関数の空間が定義に影響を与えます。通常の選択は、区間 ( 0, ∞) 上のU値二乗可積分関数(の同値類) の空間であるL ²  (0, ∞; U ) ですが、 L ¹ (0, ∞; U )などの他の選択も可能です。異なる可制御性の概念は、定義域が決定された後に定義できます。  ${\displaystyle \Phi _{t}}$が選ばれます。このシステムは^{[ 8 ]と呼ばれます。}

• 時間tで正確に制御可能であれば、範囲は${\displaystyle \Phi _{t}}$Xに等しい、
• 時間tにおいて、範囲がほぼ制御可能であれば、${\displaystyle \Phi _{t}}$Xにおいて密である、
• 範囲が時間tで null 制御可能であれば${\displaystyle \Phi _{t}}$範囲を含む${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$。

地図は重要な役割を果たしている${\displaystyle \Psi _{n}}$これらはXをすべてのY値シーケンスの空間にマッピングし、次のように与えられる。${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$k  ≤ nの場合は0、 k > nの場合は 0 となります。解釈としては、   ${\displaystyle \Psi _{n}x}$は、初期条件xと制御ゼロによる切り捨て出力です。このシステムは、

• あるk _n > 0が存在して、時間nで正確に観測可能となる場合、  ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$すべてのx  ∈ Xに対して、 
• 時間nにおいて近似的に観測可能${\displaystyle \Psi _{n}}$単射である、
• 最終状態は、k _n > 0 が存在して、  ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$すべてのx  ∈ Xに対して。 

連続時間システムの可観測性において、マップ${\displaystyle \Psi _{t}}$によって与えられた${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$s ∈ [0,t]の場合、s>tの場合はゼロとなり、${\displaystyle \Psi _{n}}$離散時間で動作します。ただし、この演算子が写像する関数の空間が定義に影響を与えます。通常の選択は、区間(0, ∞) 上のY値二乗可積分関数(の同値類) の空間であるL ²  (0, ∞, Y )ですが、 L ¹ (0, ∞, Y )などの他の選択も可能です。異なる可観測性の概念は、値域が定義されると定義できます。   ${\displaystyle \Psi _{t}}$が選ばれます。このシステムは^{[ 9 ]と呼ばれます。}

• 時刻tにおいて正確に観測可能となるのは、 k _t  >  0 が存在し、${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$すべてのx  ∈ Xに対して、 
• 時間tにおいて近似的に観測可能となる場合${\displaystyle \Psi _{t}}$単射である、
• 最終状態は、あるk _t > 0が存在して、  ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$すべてのx  ∈ Xに対して。