機能の説明

制御システム理論において、1930年代にニコライ・ミトロファノビッチ・クリロフとニコライ・ボゴリュボフによって開発され ^{[1] [2] 、ラルフ・コッヘンブルガー}によって拡張された記述関数（DF）法は、 特定の非線形制御問題を解析するための近似手順です。これは、入力波形の振幅に依存する線形時不変（LTI）伝達関数によって調査中の非線形システムを近似する準線形化に基づいています。定義により、真のLTIシステムの伝達関数は入力関数の振幅に依存できません。これは、LTIシステムが線形であるためです。したがって、この振幅への依存性により、非線形システムの動作の顕著な特徴を捉えるために組み合わされた線形システムのファミリーが生成されます。記述関数は、非線形システムを設計するための数少ない広く適用可能な方法の 1 つであり、産業プロセス制御、サーボ機構、電子発振器などの閉ループ コントローラのリミット サイクルを解析するための標準的な数学ツールとして非常に広く使用されています。

低速で安定した線形システムとカスケード接続された不連続（ただし区分的に連続）な非線形性（飽和した増幅器やデッドバンド効果のある要素など）の周りのフィードバックを考えてみましょう。フィードバックが非線形性に提示される連続領域は、線形システムの出力の振幅によって異なります。線形システムの出力振幅が減衰すると、非線形性は別の連続領域に移動するかもしれません。この 1 つの連続領域から別の連続領域への切り替えにより、周期的な振動が発生する可能性があります。記述関数法では、低速システムが単一の周波数の周りにすべてのエネルギーを集中させるローパス フィルターまたはバンドパス フィルターのように動作すると仮定して、それらの振動の特性（基本周波数など）を予測しようとします。出力波形に複数のモードがある場合でも、この方法では周波数や振幅などの特性について直感的に理解できます。この場合、記述関数法はフィードバック システムのスライディング モードを記述するものと考えることができます。

このローパス仮定を用いると、システム応答は正弦波形の族の 1 つで記述できます。この場合、システムは、振幅 A および周波数 の正弦波からなる入力に対するシステム応答を与える正弦入力記述関数 (SIDF) で特徴付けられます。この SIDF は、線形システムの特徴付けに使用される伝達関数の修正版です。準線形システムでは、入力が正弦波の場合、出力は同じ周波数の正弦波になりますが、振幅はスケーリングされ、位相は で示されるようにシフトされます。多くのシステムは、正弦波への応答が純粋な正弦波ではないものの、出力のエネルギーのほとんどが実際に入力と同じ周波数であるという意味で、ほぼ準線形です。これは、そのようなシステムが固有のローパス特性またはバンドパス特性を備えていて高調波が自然に減衰されるか、この目的で外部フィルターが追加されるためです。 SIDF 技術の重要な応用は、正弦波電子発振器の振動振幅を推定することです。 ${\displaystyle H(A,\,j\omega )}$${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle H(j\omega )}$${\displaystyle H(A,\,j\omega )}$${\displaystyle \omega}$

使用されている他のタイプの記述関数には、レベル入力およびガウス ノイズ入力の DF があります。DF はシステムを完全に記述するものではありません。しかし、多くの場合、制御と安定性に関する特定の質問に答えるには十分です。DF 法は、比較的弱い非線形性を持つシステムを分析するのに最適です。さらに、高次正弦波入力記述関数(HOSIDF) は、正弦波入力の入力周波数の高調波における非線形システムのクラスの応答を記述します。HOSIDF は、応答における非線形性が顕著なシステム用の SIDF の拡張です。

記述関数法は幅広いクラスのシステムに対してかなり正確な結果を生成できますが、他のクラスのシステムではうまく機能しない可能性があります。たとえば、システムが非線形性の高調波を強調する場合、この方法は機能しない可能性があります。このような例は、バンバンシステムについてTzypkinによって提示されています。^[4]かなりよく似た例は、非反転シュミットトリガーと、その出力をシュミットトリガーの入力にフィードバックする反転 積分器で構成される閉ループ発振器です。シュミットトリガーの出力は方形波になり、積分器（後続）の出力は、方形波の遷移と一致するピークを持つ三角波形になります。これらの2つの発振器ステージはそれぞれ、信号を正確に90度（入力に対して）遅らせます。この回路でDF解析を実行すると、シュミットトリガの入力の三角波がその基本波（正弦波）に置き換えられ、トリガを通過すると90度未満の位相シフトが発生します（正弦波は三角波よりも早くトリガするため）。そのため、システムは同じ（単純な）方法で振動しないように見えます。^[5]

また、アイザーマン予想やカルマン予想の条件が満たされる場合、記述関数法による周期解は存在しないが^{[6] [7] 、}隠れた周期アトラクターを持つ反例は知られている。記述関数法に対する反例は、休止セグメントが予測されたリミットサイクルを破壊する不連続力学系に対して構築することができる。^[8]したがって、記述関数法の適用には追加の正当化が必要である。^{[9] [10]}

• 電気工学百科事典: 機能の説明