ハーン埋め込み定理

数学、特にアーベル群上の順序構造を扱う抽象代数学の分野では、ハーンの埋め込み定理は、すべての線形順序アーベル群の簡単な記述を与える。これはハンス・ハーンにちなんで名付けられた。^{[ 1 ] [ 2 ]}

この定理は、線形順序付けられたアーベル群G はすべて、加法群の順序付き部分群として埋め込むことができると述べている。$\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$辞書的な順序を備えている、${\displaystyle \mathbb {R} }$は実数の加法群（標準順序付き）、ΩはGのアルキメデス同値類の集合、$\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$は、 Ωからのすべての関数の集合です。${\displaystyle \mathbb {R} }$整列した集合の外では消滅する。

Gの単位元を 0 とする。Gの任意の非零元gに対して、 gまたは−gのいずれか一方だけが 0 より大きい。この元を | g | と表す。Gの2 つの非零元gとhは、自然数NとMが存在してN | g | > | h | かつM | h | > | g |となる場合、アルキメデス同値である。直感的には、これはgもhも他方に対して「無限小」ではないことを意味する。群Gは、すべての非零元がアルキメデス同値である場合、アルキメデス的である。この場合、Ωは単元集合であるため、    $\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$これは実数の群です。すると、ハーンの埋め込み定理はヘルダーの定理に帰着します。ヘルダーの定理は、線形順序付けられたアーベル群がアルキメデス的で あるのは、それが実数の順序付けられた加法群の部分群である場合に限ると述べています。

Gravett (1956) は、この定理の明確な記述と証明を与えている。 ^{[ 3 ]} Clifford (1954) ^{[ 4 ]}とHausner & Wendel (1952) ^{[ 5 ]} の論文は、別の証明を提供している。^{[ 4 ] [ 5 ]} Fuchs & Salce (2001 、p. 62)も参照のこと。 

• アルキメデス群

• フックス、ラースロー；サルチェ、ルイージ（2001）「非ネーター領域上のモジュール」、Mathematical Surveys and Monographs、第 84巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1963-0MR 1794715​ 
• Ehrlich, Philip (1995)、「Hahnの『非アルキメデス的大きさ体系について』と、大きさおよびそれを測定する数の現代理論の起源」、Jaakko Hintikka編『デデキントからゲーデルへ：数学の基礎の発展に関するエッセイ』（PDF）、Kluwer Academic Publishers、pp. 165–213 、 2014年10月27日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、2015年3月27日に取得 
• Hahn, H. (1907)、「Über die nichtarchimedischen Größensysteme.」、Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften、ウィーン、数学 - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (ドイツ語)、116 : 601– 655