グループ構造と選択公理

数学において、群とは、群の公理に従う、乗算と呼ばれる二項演算を伴う集合です。選択公理は、 ZFC集合論の公理であり、ある形式では、すべての集合は整列可能であると述べられています。

ZF集合論、つまり選択公理のない ZFC では、次のステートメントは同等です。

• 空でない集合 Xに対して、( X ,•)が群となるような二項演算•が存在する。 ^[1]
• 選択公理は真です。

このセクションでは、すべての集合Xに群構造( X、•)が備わっていると仮定します。

X を集合とする。ℵ ( X ) をXのハートッグス数とする。これは、 ℵ( X )からXへの単射が存在しない最小の基数である。これは選択公理を仮定しなくても存在する。ここでは証明を技術的に簡単にするために、Xには順序数がないと仮定する。• は群( X ∪ ℵ( X ), •)における乗法を表すものとする。

任意のx ∈ Xに対して、x • α ∈ ℵ( X )となるα ∈ ℵ( X )が存在する。そうでないと仮定する。すると、すべてのα ∈ ℵ( X )に対してy • α ∈ Xとなるy ∈ Xが存在する。しかし、初等群論によれば、 α はℵ( X ) ( i ) にわたるので、 y • αはすべて異なる。したがって、そのようなy はℵ( X )からXへの単射を与える。ℵ ( X )はXへの単射が存在し ない基数であるため、これは不可能である。

ここで、x ∈ Xを、x • α = β となる最小の (α, β) ∈ ℵ( X ) × ℵ( X ) に送ることによって、辞書式順序付けが施されたXのℵ ( X ) × ℵ( X )への写像 j を定義します。上記の推論により、写像j は存在し、順序付けされた集合の部分集合の最小元は一意であるため一意です。初等群論により、写像 j は単射です。

最後に、 j ( x )< j ( y )ならば、x < yによるXの順序付けを定義します。これにより、すべての集合Xは順序付け可能となり、選択公理が真となります。^{[2] [3]}

上記( i )で表現された重要な性質が成り立つためには、したがって証明全体が成り立つためには、Xが相殺マグマ、例えば準群であれば十分である。^[4]相殺性質は、y • αがすべて異なることを保証するのに十分である。

空でない任意の有限集合は、任意の元によって生成される巡回群として群構造を持ちます。選択公理の仮定の下では、すべての無限集合Xは、アレフに等しい唯一の基数 | X | と等価です。選択公理を使用すると、任意の集合族Sに対して| ⋃ S | ≤ | S | × sup { | s | : s ∈ S } ( A ) が成り立つことが示されます。^[5]さらに、タルスキの選択定理により、選択公理と同等の別の式、すべての有限nに対して| X | ⁿ = | X | ( B )が成り立ちます。

X を無限集合とし、FをXのすべての有限部分集合の成す集合とする。 Fには自然な乗法•が存在する。^[6] f、g ∈ Fに対して、f • g = f Δ gとする。ここでΔ は対称差を表す。これにより、( F、 • )は、空集合Øが単位元で各要素が自身の逆元である群になる。 f Δ f = Ø。結合法則、すなわち( f Δ g ) Δ h = f Δ ( g Δ h )は、和集合と差集合の基本的性質を用いて検証される。したがって、F は乗法Δを持つ群である。

群と一対一に対応できる任意の集合は、一対一に対応して群になります。 | X | = | F |であることが示され、したがってXと群( F、 •)の間には 1 対 1 の対応関係が存在します。n = 0,1,2, ...に対して、F _{n を、}ちょうどnの濃度の部分集合すべてからなるFの部分集合とします。すると、F はF _nの互いに素な和集合になります。濃度nのXの部分集合の数は、多くても| X | ⁿです。これは、 n個の要素を持つすべての部分集合が、Xのn重直積X ⁿの要素であるためです。したがって、すべてのn ( C ) by ( B ) に対して| F _n | ≤ | X | ⁿ = | X |です。

これらの結果をまとめると、( A ) と ( C )により、 | F | = | ⋃ _{n ∈ ω} F _n | ≤ ℵ ₀ · | X | = | X |であることがわかります。また、 Fにはすべてのシングルトンが含まれているため、| F | ≥ | X |です。したがって、 | X | ≤ | F |かつ| F | ≤ | X |であるため、シュレーダー・ベルンシュタインの定理により、| F | = | X |となります。これは、 XとFの間に全単射jが存在することを正確に意味します。最後に、x、y ∈ Xについて、 x • y = j ⁻¹ ( j ( x ) Δ j ( y ))を定義します。これにより、 ( X、 •)がグループになります。したがって、すべてのセットはグループ構造を許容します。

ZF のモデルの中には、選択公理が成り立たないものがあります。 ^[7]このようなモデルでは、整列できない集合（これを「整列不可能な」集合と呼びます）が存在します。Xをそのような集合とします。ここで集合 Y = X ∪ ℵ( X ) を考えます。Yが群構造を持つ場合、第 1 セクションの構成により、X は整列できます。この矛盾は、集合Yに群構造が存在しないことを示しています。

集合が群構造を持つことができないような場合、その集合は必然的に非整列化可能となります。そうでない場合、第 2 セクションの構成により群構造が生成されます。ただし、これらの特性は同等ではありません。つまり、整列化できない集合が群構造を持つ可能性があります。

たとえば、が任意の集合である場合、 は群構造を持ち、群演算として対称差を持ちます。 もちろん、 が整列できない場合は、 も整列できません。 群構造を持つことができない集合の興味深い例の 1 つは、次の 2 つの特性を持つ集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$は無限デデキント有限集合です。言い換えると、可算無限部分集合は存在しません。${\displaystyle X}$
2. が有限集合に分割される場合、有限個を除いてすべてがシングルトンになります。${\displaystyle X}$

これら 2 つを組み合わせると群構造を形成できないことを確認するには、このような集合の任意の順列には有限軌道しかなく、そのほとんどが必然的にシングルトンであるため、ほとんどの要素は順列によって移動されないことに注意してください。次に、 が中立要素ではない によって与えられる順列について考えます。となる順列は無限に存在するため、少なくともそのうちの 1 つは中立要素ではありません。 を乗算すると、は実際には単位元になりますが、これは矛盾です。 ${\displaystyle x\mapsto a\cdot x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a\cdot x=x}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle a}$

そのような集合の存在は、例えばコーエンの最初のモデルに示されているように、一貫している。^[8]しかし驚くべきことに、無限デデキント有限集合であることは、群構造を排除するのに十分ではない。なぜなら、デデキント有限冪集合を持つ無限デデキント有限集合が存在することは一貫しているからである。^[9]${\displaystyle X}$

• ハイナル、A. ;ケルテス、A. (1972)。 「選択公理の新しい代数的等価物」。出版物。数学。デブレツェン。19 : 339–340。
• ルビン、ハーマン;ルビン、ジーン E. (1985 年 7 月)。選択公理 II の等価物。ノース ホランド/エルゼビア。ISBN 0-444-87708-8。
• ジェック、トーマス(2002)。集合論、第三千年紀版 (改訂・拡張版)。シュプリンガー。ISBN 3-540-44085-2。
• コーエン、ポール・J. (1966)。集合論と連続体仮説。ベンジャミン、ニューヨーク。
• Adkins、Weintraub (1992)。代数学。Graduate Texts in Mathematics。第136巻。Springer。