アモルファスセット

集合論において、非晶質集合とは、 2つの無限集合の互いに交わらない和集合ではない無限 集合のことである。^[1]

選択公理が仮定されている場合、非晶質集合は存在できない。 フランケルは、原子の集合が非晶質集合である、ツェルメロ・フランケルの原子による順列モデルを構築した。 ^[2] 1963年のコーエンの強制に関する最初の研究の後、非晶質集合とツェルメロ・フランケル集合論との一貫性の証明が得られました。^[3]

すべての非晶質集合はデデキント有限であり、つまりそれ自身の真部分集合への一対一性を持たない。これを確かめるために、 が真部分集合への一対一性を持つ集合であると仮定しよう。各自然数 に対して、はfのそれ自身との- 倍合成の像には属するが - 倍合成の像には属さない要素の集合であると 定義する。するとそれぞれが空でなくなるので、偶数添字を持つ集合の和集合は無限集合となり、その補集合も無限となり、 は非晶質ではあり得ないことがわかる。しかし、逆は必ずしも真ではない。非晶質ではない無限のデデキント有限集合が存在することは矛盾しない。^[4]${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i\geq 0}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

非晶質集合は線形順序付けすることはできない。^{[5] [6]}非晶質集合の像はそれ自体が非晶質か有限であるため、非晶質集合から線形順序付けされた集合へのすべての関数は有限の像しか持たないことになる。

非晶質集合上のコ有限フィルターはウルトラフィルターです。これは、各無限部分集合の補集合が無限であってはならないため、すべての部分集合が有限かコ有限のいずれかになるからです。

が非晶質集合の有限部分集合への分割である場合、 がサイズ の部分集合を無限に多く持つような整数がちょうど 1 つ存在しなければなりません。なぜなら、すべてのサイズが有限回使用されたり、複数のサイズが無限回使用されたりした場合、この情報を使用して分割を粗くし、2 つの無限部分集合に分割できるからです。非晶質集合が、すべての分割 に対して という追加の特性を持つ場合、それは厳密に非晶質または強く非晶質と呼ばれ、 に有限の上限がある場合、集合は有界非晶質と呼ばれます。非晶質集合が存在し、すべて有界であるか、またはすべて有界ではないということは、ZF と一致しています。^[1]${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle n(\Pi )}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle \Pi}$${\displaystyle n(\Pi )=1}$${\displaystyle n(\Pi )}$