文（数学的論理）

数理論理学において、述語論理の文（または閉じた式）^[1]は、自由変数を持たないブール値の整形式の式である。文は、真か偽かのいずれかである命題を表現していると考えることができる。自由変数を持たないという制約は、文が具体的で固定された真理値を持つことができるようにするために必要である。つまり、（一般的な）式の自由変数は複数の値をとる可能性があるため、そのような式の真理値は変化する可能性がある。

論理接続詞や量指定子を含まない文は、原子式に類似して原子文と呼ばれます。文は、接続詞と量指定子を適用することで原子文から構築されます。

一組の文は理論と呼ばれ、したがって個々の文は定理 と呼ばれることがあります。文の真偽を適切に評価するには、理論の解釈を参照する必要があります。一階の理論の場合、解釈は一般に構造と呼ばれます。構造または解釈が与えられると、文は固定の真理値を持ちます。理論は、そのすべての文が真となる解釈を提示できる場合に満足可能です。すべての文が真となる理論の解釈を自動的に発見するアルゴリズムの研究は、理論を法とする満足可能性問題として知られています。

式の解釈については、正の実数、実数、複素数の構造を考慮してください。次の一階述語論理の例

${\displaystyle \forall y\ \exists x\ (y=x^{2})}$

は文です。この文は、すべての y に対して、次の条件を満たす x が存在することを意味します 。この文は、正の実数の場合は真、実数の場合は偽、複素数の場合は真です。 ${\textstyle y=x^{2}.}$

しかし、式

${\displaystyle \exists x\ (y=x^{2})}$

自由変数yが存在するため、この式は文ではありません。実数の場合、この式は（任意に）代入すれば真ですが、 ${\textstyle y=2,}$${\textstyle y=-2.}$

重要なのは、不変の真理値ではなく、自由変数の存在です。たとえば、式が常に真である複素数であっても、それは文とは見なされません。そのような式は、述語と呼ばれることがあります。

• 地上表現
• オープンフォーミュラ
• ステートメント（ロジック）
• 命題

• Hinman, P. (2005).数学論理学の基礎. AK Peters. ISBN 1-56881-262-0。
• ラウテンバーグ、ヴォルフガング（2010）、数学論理学の簡潔な入門（第3版）、ニューヨーク：シュプリンガーサイエンス+ビジネスメディア、doi：10.1007 / 978-1-4419-1221-3、ISBN 978-1-4419-1220-6。