フォン・ノイマン枢機卿の任務

フォン・ノイマン基数割り当ては、順序数を使用する基数割り当てです。順序付け可能な集合Uについて、フォン・ノイマンの順序数定義を使用して、その基数をUと同数である最小の順序数として定義します。より正確には、

${\displaystyle |U|=\mathrm {card} (U)=\inf\{\alpha \in \mathrm {ON} \ |\ \alpha =_{c}U\},}$

ここで、ON は順序数のクラスです。この順序数は基数の 初期順序数とも呼ばれます。

そのような順序数が存在し、一意であることは、置換公理を使用して、 Uが整列可能であり、順序数のクラスが整列しているという事実によって保証されます。完全な選択公理を使用すると、すべてのセットは整列可能 であるため、すべてのセットには基数が存在します。順序数から継承された順序を使用して基数を順序付けます。これは、 ≤ _cを介した順序と一致することが容易にわかります。これは基数の整列です。

各順序数には、関連する基数とその基数があり、これは順序を忘れるだけで得られます。順序型としてその順序数を持つ順序付けられた集合は、すべて同じ基数を持ちます。特定の基数を基数として持つ最小の順序数は、その基数の初期順序数と呼ばれます。すべての有限順序数 (自然数) は初期順序数ですが、ほとんどの無限順序数は初期順序数ではありません。選択公理は、すべての集合は順序付け可能である、つまりすべての基数は初期順序数を持つという命題と同等です。この場合、基数をその初期順序数と同一視するのが慣例であり、初期順序数は基数 であると言います。

番目の無限初期順序数は と書きます。その濃度は(番目のアレフ数)と書きます。たとえば、 の濃度は で、これは、、および(すべて可算順序数)の濃度でもあります。したがって はと同一視されますが、表記法は基数の表記に、順序数の表記にはが使用される点が異なります。これは、基数に関する算術は順序数に関する算術とは異なるため重要です。たとえば = であるのに対し > です。また、は最小の不可算順序数です (これが存在することを確認するには、自然数の整列同値類の集合を考えます。このような整列同値類のそれぞれは可算順序数を定義し、 はその集合の順序型です)、は濃度が より大きい最小の順序数です、などです。また、 は自然数に対するの極限です(基数の任意の極限は基数であるため、この極限はすべての の後の最初の基数です)。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \omega _{0}=\omega }$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \omega^{2}}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \epsilon_{0}}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}^{2}}$${\displaystyle \aleph_{\alpha}}$${\displaystyle \omega _{\alpha }^{2}}$${\displaystyle \omega _{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{n}}$

無限の初期序数は極限序数です。序数算術を使用すると、を暗黙的に示し、1 ≤ α < ω _{β は}α  · ω _β = ω _{β を}暗黙的に示し、2 ≤ α < ω _{β は}α ^{ω _β} = ω _{β を}暗黙的に示します。Veblen 階層を使用すると、β ≠ 0 およびα < ω _{β は}、Γ _{ω β} = ω _βを意味します。実際、これをはるかに超えることができます。したがって、序数として、無限の初期序数は非常に強力な種類の制限になります。 ${\displaystyle \alpha <\omega _{\beta }}$${\displaystyle \alpha +\omega _{\beta }=\omega _{\beta }}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\omega _{\beta })=\omega _{\beta }\,}$

• アレフ数

• YN モスコヴァキス『集合論に関するノート』（1994 Springer）p. 198