ベールの所有物

位相空間の部分集合は 、ベールの性質（ベールの性質、ルネ＝ルイ・ベールにちなんで名付けられた）を持ち、あるいは、それが開集合から僅かな集合 だけ異なる場合、すなわち、僅かな開集合 （ここで対称差 を表す）が存在する場合、概開集合と呼ばれる。 ^[1]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A\bigtriangleup U}$${\displaystyle \bigtriangleup }$

位相空間の部分集合はほぼ開集合と呼ばれ、が貧弱な部分集合（ここで は対称差 ）となるような開集合が存在するとき、ベールの性質またはベールの性質を持つと言われます。^[1]さらに、 は、交差のすべての部分集合に対して が に対してベールの性質を持つとき、制限された意味でベールの性質を持ちます。^[2]${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle A\bigtriangleup U}$${\displaystyle \bigtriangleup }$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap E}$${\displaystyle E}$

ベールの性質を持つ集合の族はσ-代数を形成する。つまり、概開集合の補集合は概開集合であり、概開集合の可算和 集合または積集合はいずれも概開集合である。 ^[1] すべての開集合は概開集合である（空集合は乏しい）ので、すべてのボレル集合は概開集合である。

ポーランド空間の部分集合がBaire の性質を持つ場合、それに対応するバナッハ-マズールゲームは決定されます。逆は成り立ちませんが、与えられた適切な点クラス 内のすべてのゲームが決定されている場合、内のすべての集合はBaire の性質を持ちます。したがって、射影的決定性から、そして十分に大きな基数から導かれる、すべての射影集合(ポーランド空間内) は Baire の性質を持つことがわかります。^[3]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$

選択公理から、ベールの性質を持たない実数の集合が存在することがわかる。特に、ヴィタリ集合はベールの性質を持たない。^[4] 選択公理のより弱いバージョンで十分である。ブール素イデアル定理は、自然数の集合に非主超フィルタが存在することを意味する。そのような超フィルタはそれぞれ、実数の2進表現を介して、ベールの性質を持たない実数の集合を誘導する。^[5]

• ほぼオープンなマップ - オープンなマップと同様の条件を満たすマップ。
• ベールのカテゴリ定理 – 可算個数の稠密な開集合の交差が稠密である位相空間について
• 開集合 – 位相空間の基本部分集合

• Springer Encyclopedia of Mathematics のベア特性に関する記事