従属選択公理

数学において、従属選択公理はと表記され、選択公理( )の弱い形式であるが、それでも実解析の大部分を展開するには十分である。これは、解析を展開するためにどの集合論的公理が必要であるかを探る逆数学の 1942 年の論文でポール・バーネイズによって導入された。^[a]${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$

任意の に対してが真であるようなものが存在する場合、上の同次関係は 全関係と呼ばれます。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\in X,}$${\displaystyle b\in X}$${\displaystyle a\,R~b}$

従属選択公理は次のように述べることができる。任意の空でない集合 と上の任意の全関係 に対して、次を満たす 数列が存在する。${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$全ての${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

実際、x _{0 は}Xの任意の要素としてとることができます。(これを確認するには、x ₀で始まり、後続の項が の関係にある有限シーケンスの集合に上記の公理を適用し、この集合上の 2 番目のシーケンスの全体的な関係が、1 つの項を追加することによって最初のシーケンスから取得されます。) ${\displaystyle R}$

上記の集合が実数全体の集合に制限される場合、結果として得られる公理は次のように表される。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

このような公理がなくても、任意の に対して、通常の数学的帰納法を使用して、そのようなシーケンスの最初の項を形成できます。従属選択公理によれば、この方法で全体の（可算無限の）シーケンス を形成できます。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

この公理は、各ステップで選択を行う必要があり、それらの選択の一部が以前の選択とは独立して行うことができない場合に、可算長の超限再帰によって構築されたシーケンスの存在を示すために必要な、 のフラグメントです。 ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$

（選択公理のないツェルメロ-フランケル集合論）は、完全計量空間のベールのカテゴリ定理と同値である。^[1]${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$

これは下向きのレーヴェンハイム・スコーレム定理とも同値である。^{[b] [2]}${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$は、レベルを持つすべての剪定された木には枝があるという主張と同等です(証明は下記)。 ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$${\displaystyle \omega}$

さらに、はゾルンの補題の弱められた形に相当し、具体的には、すべての整列した連鎖が有限かつ有界であるような任意の半順序は、必ず最大元を持つという主張に相当します。^[3]${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$

完全な とは異なり、 は、( が与えられた場合) 実数の非測定可能な集合が存在すること、またはベールの性質や完全集合の性質を持たない実数の集合が存在することを証明するには不十分です。 これは、ソロヴェイモデルがを満たし、このモデル内の実数の集合はすべてルベーグ測定可能であり、ベールの性質を持ち、完全集合の性質を持つ ために成り立ちます。${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$

従属選択公理は可算選択公理を意味し、厳密にはより強い。^{[4] [5]}

この公理を一般化して超限シーケンスを生成することが可能です。これらが任意の長さになることが許される場合、それは完全な選択公理と同等になります。

• ジェック、トーマス (2003)。集合論(第 3 千年紀版)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-44085-2。OCLC  174929965。Zbl 1007.03002  。